Far convergere una serie non convergente
Poniamoci il seguente problema. Vogliamo stabilire se la seguente formula (di Grandi)
\[
1-1+1-1+1-1+... = \frac{1}2{}
\]
è corretta oppure no.
La risposta è: dipende. Infatti, se accettiamo la classica definizione di serie (di Cauchy) come "limite della successione delle somme parziali", la risposta è no: la serie non converge. Infatti le somme parziali sono
\[
1 \qquad
1-1 = 0\qquad
1-1+1 = 1\qquad
1-1+1-1 = 0\qquad
1-1+1-1+1 = 1\qquad
\dots
\]
Quindi le somme parziali oscillano tra zero e uno e non hanno limite.
Se invece usiamo la definizione (di Cesàro) di serie come "limite della successone delle medie delle somme parziali", la risposta è sì: ora la serie converge. Infatti le medie delle somme parziali sono:
\[
\frac{1}{1}=1 \qquad
\frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}\qquad
\frac{1+0+1}{3} = \frac{2}{3} \qquad
\frac{1+0+1+0}{4} = \frac{1}{2} \qquad
\frac{1+0+1+0+1}{5} = \frac{3}{5}\qquad
\dots
\]
e convergono a $1/2$.
Se una serie converge con il vecchio metodo, la somma non cambia con il nuovo, ma alcune delle serie che non convergono con il vecchio metodo convergono invece con il nuovo.
La cosa è sorprendente? Non più di tanto. È come chiedersi se l'equazione
\[
x^2+1=0
\]
abbia soluzioni o no. La risposta è: dipende. Se $x$ è un numero reale, la risposta è no. Se $x$ è complesso, la risposta è sì.
Se un'equazione ha soluzioni reali, queste non cambiano usando i numeri complessi, ma le equazioni impossibili in campo reale diventano risolubili in campo complesso. La definizione di "risolvibilità in campo complesso" estende la definizione di "risolvibilità in campo reale".
Quanto alla formula (intuita da Eulero)
\[
1−2+3−4+···= \frac{1}{4}
\]
vale un discorso analogo. La definizione di Cesàro non basta per dimostrarla, perché di questa serie non solo non convergono le somme parziali, ma neppure le loro medie. Convergono però le medie delle medie. Quindi estendendo la definizione di somma di una serie si può dimostrare che la formula è corretta: questa generalizzazione della somma di Cesàro si chiama somma di Hölder.
Chiudiamo con la celebre formula di Ramanujan:
\[
1+2+3+4+\dots= - \frac{1}{12}
\]
Per dimostrala, la somma di Hölder non basta, visto che le serie divergenti secondo Cauchy continuano a divergere anche nel senso di Hölder.
Che sappia io, nessuno ha ancora trovato una definizione di serie che generalizzi la definizione di Cauchy e che permetta di dimostrare la formula di Ramanujan.
Cito una frase di Luca Lussardi:
Vi domando: ho detto qualche sciocchezza?
\[
1-1+1-1+1-1+... = \frac{1}2{}
\]
è corretta oppure no.
La risposta è: dipende. Infatti, se accettiamo la classica definizione di serie (di Cauchy) come "limite della successione delle somme parziali", la risposta è no: la serie non converge. Infatti le somme parziali sono
\[
1 \qquad
1-1 = 0\qquad
1-1+1 = 1\qquad
1-1+1-1 = 0\qquad
1-1+1-1+1 = 1\qquad
\dots
\]
Quindi le somme parziali oscillano tra zero e uno e non hanno limite.
Se invece usiamo la definizione (di Cesàro) di serie come "limite della successone delle medie delle somme parziali", la risposta è sì: ora la serie converge. Infatti le medie delle somme parziali sono:
\[
\frac{1}{1}=1 \qquad
\frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}\qquad
\frac{1+0+1}{3} = \frac{2}{3} \qquad
\frac{1+0+1+0}{4} = \frac{1}{2} \qquad
\frac{1+0+1+0+1}{5} = \frac{3}{5}\qquad
\dots
\]
e convergono a $1/2$.
Se una serie converge con il vecchio metodo, la somma non cambia con il nuovo, ma alcune delle serie che non convergono con il vecchio metodo convergono invece con il nuovo.
La cosa è sorprendente? Non più di tanto. È come chiedersi se l'equazione
\[
x^2+1=0
\]
abbia soluzioni o no. La risposta è: dipende. Se $x$ è un numero reale, la risposta è no. Se $x$ è complesso, la risposta è sì.
Se un'equazione ha soluzioni reali, queste non cambiano usando i numeri complessi, ma le equazioni impossibili in campo reale diventano risolubili in campo complesso. La definizione di "risolvibilità in campo complesso" estende la definizione di "risolvibilità in campo reale".
Quanto alla formula (intuita da Eulero)
\[
1−2+3−4+···= \frac{1}{4}
\]
vale un discorso analogo. La definizione di Cesàro non basta per dimostrarla, perché di questa serie non solo non convergono le somme parziali, ma neppure le loro medie. Convergono però le medie delle medie. Quindi estendendo la definizione di somma di una serie si può dimostrare che la formula è corretta: questa generalizzazione della somma di Cesàro si chiama somma di Hölder.
Chiudiamo con la celebre formula di Ramanujan:
\[
1+2+3+4+\dots= - \frac{1}{12}
\]
Per dimostrala, la somma di Hölder non basta, visto che le serie divergenti secondo Cauchy continuano a divergere anche nel senso di Hölder.
Che sappia io, nessuno ha ancora trovato una definizione di serie che generalizzi la definizione di Cauchy e che permetta di dimostrare la formula di Ramanujan.
Cito una frase di Luca Lussardi:
Volendo tirare qualche conclusione sembra assodato che estendere il concetto di convergenza alla Cauchy alle serie indeterminate sia relativamente semplice: a forza di medie aritmetiche, uno riesce a trattare gran parte dei casi più interessanti. Ben diverso e piu` problematico è il caso delle serie divergenti: in questo caso risulta difficile assegnare a esse un valore reale. Forse quindi il prof. Hill di Londra, quando disse a Ramanujan che bisogna prendere le dovute precauzioni con le serie divergenti, non si sbagliava del tutto.
Vi domando: ho detto qualche sciocchezza?
Risposte
Basta dare una definizione appropriata. Potrei proporre la mia definizione di serie convergente e di somma della serie:
ogni serie è convergente e la somma è 0
Quindi siamo alle solite, le definizioni devono essere "sensate" per essere utili.
Se l'idea di somma di una serie è quella di associare a una serie un numero reale, che chiameremo somma della serie, non vedo come si possa cavare un ragno dal buco (imponendo la condizione di "sensatezza").
Supponiamo di associare come somma della serie che proponi il numero 7051950. Più o meno tutti coloro che usano pascolare da queste parti immaginano e individuano immediatamente una serie convergente (nel senso usuale, addirittura basta una sommatoria) con le seguenti caratteristiche:
- tutti i termini stanno sotto quelli della tua serie
- la serie converge a un numero più grosso di 7051950
Cosa ce ne facciamo, allora?
Ecco, ho dimostrato la mia ristrettezza di vedute. Attendo pareri più illuminati del mio, non sarà difficile.
O pareri più colti, idem (basta Wikipedia?). Magari che converga a un numero negativo (-1/12) rende la cosa più facile.
[size=85]PS: piacere di averti rivisto su questi pascoli[/size]
ogni serie è convergente e la somma è 0
Quindi siamo alle solite, le definizioni devono essere "sensate" per essere utili.
Se l'idea di somma di una serie è quella di associare a una serie un numero reale, che chiameremo somma della serie, non vedo come si possa cavare un ragno dal buco (imponendo la condizione di "sensatezza").
Supponiamo di associare come somma della serie che proponi il numero 7051950. Più o meno tutti coloro che usano pascolare da queste parti immaginano e individuano immediatamente una serie convergente (nel senso usuale, addirittura basta una sommatoria) con le seguenti caratteristiche:
- tutti i termini stanno sotto quelli della tua serie
- la serie converge a un numero più grosso di 7051950
Cosa ce ne facciamo, allora?
Ecco, ho dimostrato la mia ristrettezza di vedute. Attendo pareri più illuminati del mio, non sarà difficile.
O pareri più colti, idem (basta Wikipedia?). Magari che converga a un numero negativo (-1/12) rende la cosa più facile.
[size=85]PS: piacere di averti rivisto su questi pascoli[/size]
"Fioravante Patrone":
Ogni serie è convergente e la somma è 0
La tua provocazione non va bene, naturalmente. La nuova definizione di convergenza deve essere un'estensione di quella vecchia, e la tua non lo è.
"Fioravante Patrone":
Le definizioni devono essere "sensate" per essere utili.
D'accordissimo. Per esempio, perché non definiamo la divisione per zero? Niente ci impedisce di definire due nuovi numeri
\[
\infty= 1/0 \qquad\perp= 0/0
\]
proprio come facciamo quando per definire i numeri complessi aggiungiamo ai numeri reali l’unità immaginaria.
Con le due "definizioni" precedenti otteniamo una struttura algebrica detta "ruota", in cui la divisione è sempre definita, anche quando si divide per zero.
https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_the ... ed%20by%20⊥).
Il prezzo da pagare, però, è la rinuncia a molte regole di calcolo per adottarne di molto più complicate. Per esempio, in una ruota non è più vero che un numero moltiplicato per zero faccia sempre zero né che un numero diverso da zero diviso per sé stesso faccia sempre uno.
"Fioravante Patrone":
Se l'idea di somma di una serie è quella di associare a una serie un numero reale, che chiameremo somma della serie, non vedo come si possa cavare un ragno dal buco (imponendo la condizione di "sensatezza").
In realtà, la somma di Cesàro, che estende la somma di Cauchy, è sensatissima, così come lo è il risultato
\[
1-1+1-1+1-1+\dots = \frac{1}{2}
\]
Anche la somma di Hölder, che estende la somma di Cesàro, lo è. Ma le serie di Grandi ed Eulero sono indeterminate (nel senso di Cauchy), non divergenti.
Si tratta di definire in modo sensato la somma di una serie divergente (nel senso di "tendente all'infinito"), come quella di Ramanujan. E non è affatto detto che non si possa fare.
La mia opinione personale è che la formula di Ramanujan sia troppo bella per essere falsa: ci vuole "solo" una definizione solida e sensata che la giustifichi. La definizione deve essere una generalizzazione di quella di Cauchy, nel senso che tutte le serie che convergono con il metodo vecchio devono dare la stessa somma con il metodo nuovo, ma che con il metodo nuovo sia possibile definire cose come $1+2+3+4+\ldots$.
Usare il prolungamento della zeta di Riemann non funziona, perché (ho letto che) il risultato dipende da come si fa il prolungamento.
"Fioravante Patrone":
[size=85]PS: piacere di averti rivisto su questi pascoli[/size]
Piacere mio, Fioravante!
Terry Tao ha un bel post su questo argomento:
https://terrytao.wordpress.com/about/go ... -123-1-12/
Specialmente interessante, ma molto più complicato, è il suo post su come ottenere queste somme esotiche senza analisi complessa:
https://terrytao.wordpress.com/2010/04/ ... ent-265849
P.S.: Un grande abbraccio a Fioravante che sono sempre contento di ritrovare di tanto in tanto.
https://terrytao.wordpress.com/about/go ... -123-1-12/
Specialmente interessante, ma molto più complicato, è il suo post su come ottenere queste somme esotiche senza analisi complessa:
https://terrytao.wordpress.com/2010/04/ ... ent-265849
P.S.: Un grande abbraccio a Fioravante che sono sempre contento di ritrovare di tanto in tanto.
Sei familiare con le ultrametriche e la convergenza p-adica di una serie?
"dissonance":
Terry Tao ha un bel post su questo argomento [...].
Ci ho dato un'occhiata. Ma non mi pare he contenga quello che cerco: un criterio di convergenze, cioè, che estenda quello di Cauchy e per cui la somma di tutti i naturali dia meno un dodicesimo.
"megas_archon":
Sei familiare con le ultrametriche e la convergenza p-adica di una serie?
No.
Immaginavo.
"megas_archon":
Immaginavo.
Ci sono infinite cose che non so (ma sono quasi sicuro che lo stesso valga per te).
Ripeto: c'è un sistema per estendere il criterio di convergenza di Cauchy in modo tale che la somma di Ramanujan sia corretta?
Se c'è e lo conosci, mi posti il link? Sono addirittura disposto a imparare qualcosa di nuovo...
https://x.com/MathMatize/status/1702351 ... 16712?s=20
La continuazione analitica e la nozione di somma di una serie sono concetti differenti.
La continuazione analitica e la nozione di somma di una serie sono concetti differenti.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="dissonance"]Terry Tao ha un bel post su questo argomento [...].
Ci ho dato un'occhiata. Ma non mi pare he contenga quello che cerco: un criterio di convergenze, cioè, che estenda quello di Cauchy e per cui la somma di tutti i naturali dia meno un dodicesimo.[/quote]
https://terrytao.wordpress.com/2010/04/ ... ent-265849
Equazione (12).
Questo non è l'unico modo possibile. Alternativamente, e anzi molto più spesso, si ragiona per continuazione analitica. Immagino che i criteri di cui parla megas_archon siano relazionati a questo punto di vista.
P.S.: Nel post di Terry Tao, la discussione della serie di Grandi è molto più semplice da capire che l'equazione (12). Cercare "However, smoothing can greatly improve the convergence properties of a divergent sum. The simplest example is Grandi’s series"
"dissonance":
Equazione (12).
Prolungando analiticamente la zeta di Riemann, dunque.
Tuttavia, pare che non funzioni.
https://www.matematicamente.it/magazine ... -serie.pdf
Riottenere proprio il valore $-1$ prolungando analiticamente la zeta di Riemann appare $-1/12$ un po’ misterioso; il mistero si infittisce quando uno osserva che non si tratta di un risultato generale: se uno cambia regolarizzazione il valore formalmente assegnato alla serie $1 + 2 + 3 + \cdots$ potrebbe essere diverso.
Volendo tirare qualche conclusione sembra assodato che estendere il concetto di convergenza alla Cauchy alle serie indeterminate sia relativamente semplice: a forza di medie aritmetiche, uno riesce a trattare gran parte dei casi più interessanti. Ben diverso e più problematico è il caso delle serie divergenti: in questo caso risulta difficile assegnare ad esse un valore reale. Forse quindi il prof. Hill di Londra, quando disse a Ramanujan che bisogna prendere le dovute precauzioni con le serie divergenti, non si sbagliava del tutto.
Insomma, da quello che ho capito tutto dipende da come si fa il prolungamento analitico: a seconda di come lo si fa, la serie di Ramanujan può dare qualunque risultato.
Ecco perché Wiki definisce "falsa" senza mezzi termini la relazione di Ramanujan.
"megas_archon":
https://x.com/MathMatize/status/1702351042581516712?s=20
Questo meme non dice niente. È ovvio che il risultato di un'operazione dipende da "dove si è": 8 + 5 fa 13 se parliamo di euro, ma fa 1 se parliamo di ore.
"megas_archon":
La continuazione analitica e la nozione di somma di una serie sono concetti differenti.
Ovvio. Ma c'è chi dice che è possibile definire la somma di una serie attraverso il prolungamento analitico di una funzione.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="dissonance"]
Equazione (12).
Prolungando analiticamente la zeta di Riemann, dunque.[/quote]
No. Il punto di quel blog post di Tao è esattamente di mostrare un metodo reale, ovvero che non usa l'analisi complessa, per ottenere queste somme. È diverso da ciò che fa Luca nel link che hai postato. Se ti interessa questo metodo, leggi la descrizione della serie \(\sum (-1)^n\), che è molto più semplice tecnicamente.
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