Analisi matematica di base

Ciao a tutti, ho un problema nel dimostrare che $\forall n\in N$ $\frac{(2n)!}{n!2^n}$ è un numero dispari. Per $n=0$ viene $\frac{1}{1}=1$ e quindi è ok. La suppongo vera per $n$ e la dimostro per $n+1$. Dunque devo dimostrare che $\frac{(2n+2)!}{(n+1)!2^(n+1)}$ è un intero dispari. Sapendo che $((2n+2)!)=(2n+2)(2n+1)!$ e che $((n+1)!)=(n+1)n!$ l'ho riscritta cosi $\frac{2(n+1)(2n+1)!}{(n+1)n!2^n2}=\frac{(2n+1)!}{n!2^n}$ ma da qui non riesco piu ad andare avanti e dimostrare che è un numero dispari. Grazie a tutti ...

E' possibile in qualche modo, dato un numero primo qualsiasi, determinare quale sia la possibilità di trovare un'altro primo aggiungendo 2 al numero dato? spiegato meglio: dato un primo N qual'è la possibilità che N+2 sia primo?

Ciao a tutti amici del forum, sono nuovo e i moderatori mi perdoneranno se sbaglio a postare l'argomento o se farò qualche errore evitabile, prometto che imparerò presto A breve avrò l'esame di matematica all'università e vorrei iniziare a capirci qualcosa... Alle superiori non ho mai avuto grossi problemi con la matematica ma una volta andato all'università è finito il mondo, capisco i concetti ma non riesco a svolgere gli esercizi... Ora pian piano posterò gli 8 esercizi presenti sul ...

Se ho $a_n$ a termini positivi e se ho la serie con $n$ che va da $0$ a $+oo$ di $sqrt(a_n)$ che diverge...si può dire qualcosa sulla serie con $n$ che va da $0$ a $+oo$ di $a_n$ ?

Ciao a tutti, mi trovo di fronte a questo esercizio che non so se l'ho svolto correttamente, soprattutto alla terza domanda. Controllate e ditemi per favore. Grazie in anticipo. Sia $f:[1/2,+\infty)\to\mathbb{R}$ definita da $f(x)=x^2+(\sin x)(\cos x)$ 1. Dimostrare che $f$ è iniettiva 2. Determinare l'insieme $A=f([1/2,+\infty))$ 3. Calcolare $D(f^(-1))(\pi^2/16+1/2)$, ove $f^(-1) $ denota la funzione inversa di $f:[1/2,+\infty)\to A$ ho pensato di svolgere così l'esercizio PUNTO 1 ho calcolato la ...

scusate ma non saprei come procedere per risolvere questo limite: $ lim_(n->infty)(sqrt(4+4log(n+1)-4logn)-2)/(e^(1-cos(1/sqrt(n)))-1) *[(-1)^(n+n!)] $ so che il -1 è sempre positivo in questo caso, che cosa potrei applicare? mettere in evidenza mi da solo forme indeterminate...

salve a tutti. Ho questo esercizio e non so da dove cominciare.Ne ho diversi impostati cosi ma punti svolti. Scrivere l'approssimazione di McLaurin di ordine 2n+2 della funzione sin(x), usarla per calcolare l'approssimazione di ordine 26 della funzione f(x)=sin\$x^5\$ e determinare D^25 f(0). spero di aver scritto bene il punto è che lo sviluppo di McLaurin di "sen(x)" lo so, ma non so come usarlo per questo esercizio... se riseco a capire questo probabilmente mi riescono anche gli ...

Ho sempre pensato al differenziale di una funzione $f:A\subseteq RR\to RR$ nel punto $x_0$ come l'applicazione (lineare) $\text{d}f_{x_0}$ definita ponendo $\forall h\in RR$, $\text{d}f_{x_0}(h): =f'(x_0)h$, e questa è anche la definizione che ha fornito il mio Prof. a lezione. Acerbi-Buttazzo, Primo corso di Analisi matematica, invece, inizia il capitolo sulla derivabilità con questa definizione: "Acerbi-Buttazzo": Se $x_0$ è un punto del dominio di $f$ ed è ...

L'esercizio è questo: Sia: $f(x,y)=xy(x-1)^2 -y^2$ Esistono punti del grafico di $f$ in cui il piano tangente è parallelo al piano $z=y$ ? Mi indirizzate un pò sul da farsi?

La funzione è $f(x,y)= xy(e^(x-1) -1)$ 1) Classificare gli eventuali punti critici 2)Scrivere l'equazione delle retta tangente alla linea di livello $f(x,y)= 2e-2$ nel punto $(2,1)$ 3)Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $(2,0,0)$. Allora i candidati ad essere punti critici sono i punti di non derivabilità, e direi non ce ne sono, e i punti dove $gradf=0$ Mi calcolo $f_x=y(e^(x-1) +xe^(x-1) -1)$ $f_y= xe^(x-1)- x $ Ho il sistema di due ...

Giorno a tutti, vi chiedo consulenza sullo svolgimento di una serie perchè non sono troppo ferrato sull'argomento e volevo capire se era giusto muovermi in questa maniera.. $\sum_{k=1}^infty ((5^-)+sqrt(n^2+2n+2))/(cos(n!)+3^(-n)+ln(4^n+2))$ studiando il limite che tende ad infinito abbiamo che $5^(-n)$ --> 0 $cos(n!)$ --> oscilla tra -1 e 1 e $3^(-n)$ -->0 quindi risulta asintoticamente $\lim_{n\to\infty} (sqrt(n^2+2n+2))/ln(4^n+2)$ ora io ho ragionato cosi : $ln(4^n+2)$ --> $4^n$ asintoticamente per il denominatore, ...

Salve a tutti. Devo studiare la seguente funzione (quindi differenziabilità, limitatezza, punti critici etc etc): $f(x,y)=|x+y-1|$ che può anche essere riscritta come: A) $f(x,y)=x+y-1$ SE $x+y-1>0$ B) $f(x,y)=-x-y+1$ SE $x+y-1<0$ C) $f(x,y)=0$ SE $x+y-1=0$ Saltando differenziabilità, continuità, derivabilità e limitatezza, che ho già avuto modo di verificare, mi trovo ora a dover calcolare il gradiente per trovare i punti critici di f(x,y), che è ...

Si determini per quali x la serie converge e calcolarne la somma: $sum_{n=0}^(+oo) (4^n*(1-x)^n)/(n+1)$ Innanzitutto io ho imposto che $lim_(n->+oo) (4-4x)^n/(n+1)=0$ perché è la condizione necessaria per la convergenza di una serie, quindi $|4-4x|<1$ ovvero $x in (3/4,5/4]$. Ora avrei 2 domande: 1) per quegli x il limite fa 0 ma devo dimostrare con qualche criterio che la serie converge? Perché in realtà quella è solo una condizione necessaria 2)Come calcolo la somma?

Salve a tutti. Avrei bisogno di un aiuto "teorico". Sul mio libro ("Elementi di Analisi Matematica due", Marcellini-Sbordone) non è presente la dimostrazione del Teorema di Stokes in R^3. Il teorema è il seguente: Sia \(\phi : D \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) una superficie regolare con bordo e sia \(F : A \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) un campo vettoriale di classe \(C^{1}\) in un aperto \(A \subseteq \mathbb{R}^{3}\) contenente il sostegno S della superficie. Si ha allora \(\int_{S}{\left( ...

Perché il solito meccanismo di calcolo della funzione derivata parziale di una funzione $f(x,y)$ (meccanismo che consiste nel vedere la variabile rispetto alla quale non bisogna derivare come una costante) non funziona per la funzione $ysqrtx$? Infatti, secondo tale meccanismo la funzione derivata parziale rispetto ad x dovrebbe essere $y/(2sqrtx)$, che quindi non esiste in $(0,0)$, contrariamente al fatto che la funzione di partenza è derivabile nell'origine ...

$int_(0)^(+infty)(xlog((1+x^4)/(2+x^4)))dx$ Ciao Sono uno studente universitario, studio ingegneria informatica ed ho un professore un pò particolare di analisi I, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere quest'esercizio ?! Grazie in anticipo

Ho dei dubbi su questi due integrali tripli. $ int int int_D (dx dy dz)/((x+y+z+1)^3 $ $ D={ x>=0 , y>=0 , z>=0 , x+y+z<=1} $ Ora, io lo ho risolto integrando per fili (su sugerimento della professoressa) quindi ho fatto i seguenti passaggi: $ in int_(D') dx dy int_0 ^ ((1-x-y)) dx/(x+y+z+1)^3 = $ $=int_0 ^1 dx int_0 ^(1-x) dy int_0 ^(1-x-y) dz/(x+y+z+1)^3 = $ $ =int_0 ^1 dx int_0 ^(1-x) -1/2 (x+y+1)^(-2)|_0 ^(1-x-y) dy=$ $ = -1/2 int_0 ^1 dx int_0 ^1 1/4 - 1/(x+y+1)^2 dy =$ $=-1/2 int_0 ^1 [1/4 y]_0 ^(1-x) + 1/(x+y+1)|_0 ^(1-x)=$ $ = -1/2 int_0 ^1 1/4(1-x) + 1/2 -1/(1+x) dx=$ $= -1/2 [1/4 x - x^2 /8 +1/2x - ln(1+x)]_0 ^1=$ $= -1/2 [1/4-1/8+1/2-ln2]= -5/16 + 1/2 ln2 $ Temo di aver sbagliato qualche conto/passaggio...perchè il risultato (non ho la soluzione) mi sembra un po' strano...rispetto ad altri integrali ...

Qualcuno potrebbe aiutarmi? Non ho ben compreso come risolvere l'integrale x log x dx

Ciao a tutti, ho problemi nel studiare l'iniettività e la suriettività di questa banale funzione: $ { ( \frac{n^2}{4}-5n+25 \mbox{ se }n\mbox{ pari} ),( \frac{n+3}{2} \mbox{ se }n\mbox{ dispari} ):} $ Nelle soluzioni del professore lui la fa corta dicendo che non è iniettiva perche $f(8)=1=f(12)$ mentre è suriettiva perchè $\forall y \ge 2 $ è $y=f(2y-3)$ (essendo $2y-3$ dispari). Mentre $f(10)=0$ e $f(8)=1$ cosicchè $f(N)=N$. Ma io questo ragionamento non lo avrei mai fatto nel compito perchè non mi sarebbe mai venuto in ...

Salve a tutti, sto facendo lo studio di codesta funzione: $f(x)=e^(-x) (1-e^(-2x))$ Per calcolarmi il massimo e minimo di tale funzione ho calcolato la derivata prima: $e^(-x) (3 e^(-2x)-1)$ $>=$ 0 $e^(-x)$ sempre $>=$ 0 $3 e^(-2x)-1>= 0 $ = $e^(-2x) >= 1/3$ e ORA? Come faccio a trasformare $e^(-2x) >= 1/3$ ? Devo fare il logaritmo in base e di 1/3? Vi chiedo un aiuto... Grazie in anticipo