Funzione derivata parziale e suo calcolo
Perché il solito meccanismo di calcolo della funzione derivata parziale di una funzione $f(x,y)$ (meccanismo che consiste nel vedere la variabile rispetto alla quale non bisogna derivare come una costante) non funziona per la funzione $ysqrtx$?
Infatti, secondo tale meccanismo la funzione derivata parziale rispetto ad x dovrebbe essere $y/(2sqrtx)$, che quindi non esiste in $(0,0)$, contrariamente al fatto che la funzione di partenza è derivabile nell'origine con d.p nulla.
Grazie!
Infatti, secondo tale meccanismo la funzione derivata parziale rispetto ad x dovrebbe essere $y/(2sqrtx)$, che quindi non esiste in $(0,0)$, contrariamente al fatto che la funzione di partenza è derivabile nell'origine con d.p nulla.
Grazie!
Risposte
Devi applicare la definizione, in quel tipo di punti. Si ha
\[f_x(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{y\sqrt{h}}{h}=\left\{\begin{array}{lcl}
\infty & & y\ne 0\\ & & \\ 0 & & y=0
\end{array}\right.\]
\[f_x(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{y\sqrt{h}}{h}=\left\{\begin{array}{lcl}
\infty & & y\ne 0\\ & & \\ 0 & & y=0
\end{array}\right.\]
perche considerando y costante e derivando rispetto a x non ottengo la funzione derivata p. rispetto a x?
Ma sentito parlare di "derivabilità" di una funzione?
Allora, non ho capito. Cerco di essere più preciso. Per le funzioni di una variabile esiste la definizione di derivata prima in un punto (il limite del rapporto incrementale), e la definizione di FUNZIONE DERIVATA PRIMA, cioè di quella funzione che associa ad ogni elemento del dominio della $f(x)$ la sua derivata prima in quel punto (ammesso che esista). L'espressione analitica della funzione derivata della funzione seno è il coseno, del coseno è -sin, della funzione $|x|$ è la funzione $sgnx$ al cui dominio sia stato tolto $0$ e così via. La funzione derivata di funzioni del tipo $x^a$ è $ax^(a-1)$ e via dicendo. Inoltre i teoremi sulla derivata della somma, prodotto, sottrazione, divisione e della derivata di funzioni composte permettono di calcolare la funzione derivata di una funzione $f(x)$.
Passiamo ora alle funzioni di due variabili. Esiste la definizione di derivata parziale prima rispetto a x in un punto. Poi esiste anche la definizione di FUNZIONE DERIVATA PARZIALE PRIMA RISPETTO A X, definmita come quella funzione che associa ad ogni elemento del dominio di $f(x,y)$ la sua derivata parziale prima rispetto a x calcolata in quel punto, ammesso che esista.
Ora, data una funzione $f(x,y)$, come si calcola la funzione derivata parziale prima rispetto a x? I libri dicono che può essere calcolata con questo artifizio (che non capisco se è un vero e proprio teorema o semplicemente un trucchetto non giustificato): si considera la variabile rispetto alla quale non bisogna derivare come una costante, e quindi si deriva la funzione rispetto a x come si fa con una funzione di una variabile. La maggior parte delle fonti che ho consultato enuncia questo metodo per il calcolo delle funzioni derivate parziali e quindi fa degli esempi sul calcolo di derivate parziali sfruttanto questo procedimento. Il bramanti pagani salsa, però, fa notare questa cosa. Si supponga di voler calcolare la derivata parziale rispetto a x in $(0,0)$ di $ysqrtx$. Il libro dice che se si trova la funzione derivata parziale rispetto ad x mediante il metodo precedente (e cioè considerando y costante e derivando rispetto a x, ottenendo $y/(2sqrtx)$)) e poi si tenta di valutare in $(0,0)$ la funzione derivata parziale prima, si giungerebbe alla conclusione che la funzione $ysqrtx$ non è derivabile in $(0,0)$ (infatti $y/(2sqrtx)$ non è definita in $(0,0)$); pertanto dice che bisogna applicare la definizione, per mezzo della quale si ottiene 0. Quindi in questo caso il medoto empirico di calcolo delle funzioni derivata parziale non ha funzionato, visto che $y/(2sqrtx)$ NON E' LA FUNZIONE DERIVATA PARZIALE PRIMA RISPETTO A x della funzione $ysqrtx$. Mi chiedo, dunque:
1) Perché il metodo per questa funzione non ha funzionato (cioè non mi ha restituito la funzione derivata parziale rispetto a x)?
2) come faccio a sapere quando funziona e quando no?
Spero di essere stato più chiaro, grazie!
Passiamo ora alle funzioni di due variabili. Esiste la definizione di derivata parziale prima rispetto a x in un punto. Poi esiste anche la definizione di FUNZIONE DERIVATA PARZIALE PRIMA RISPETTO A X, definmita come quella funzione che associa ad ogni elemento del dominio di $f(x,y)$ la sua derivata parziale prima rispetto a x calcolata in quel punto, ammesso che esista.
Ora, data una funzione $f(x,y)$, come si calcola la funzione derivata parziale prima rispetto a x? I libri dicono che può essere calcolata con questo artifizio (che non capisco se è un vero e proprio teorema o semplicemente un trucchetto non giustificato): si considera la variabile rispetto alla quale non bisogna derivare come una costante, e quindi si deriva la funzione rispetto a x come si fa con una funzione di una variabile. La maggior parte delle fonti che ho consultato enuncia questo metodo per il calcolo delle funzioni derivate parziali e quindi fa degli esempi sul calcolo di derivate parziali sfruttanto questo procedimento. Il bramanti pagani salsa, però, fa notare questa cosa. Si supponga di voler calcolare la derivata parziale rispetto a x in $(0,0)$ di $ysqrtx$. Il libro dice che se si trova la funzione derivata parziale rispetto ad x mediante il metodo precedente (e cioè considerando y costante e derivando rispetto a x, ottenendo $y/(2sqrtx)$)) e poi si tenta di valutare in $(0,0)$ la funzione derivata parziale prima, si giungerebbe alla conclusione che la funzione $ysqrtx$ non è derivabile in $(0,0)$ (infatti $y/(2sqrtx)$ non è definita in $(0,0)$); pertanto dice che bisogna applicare la definizione, per mezzo della quale si ottiene 0. Quindi in questo caso il medoto empirico di calcolo delle funzioni derivata parziale non ha funzionato, visto che $y/(2sqrtx)$ NON E' LA FUNZIONE DERIVATA PARZIALE PRIMA RISPETTO A x della funzione $ysqrtx$. Mi chiedo, dunque:
1) Perché il metodo per questa funzione non ha funzionato (cioè non mi ha restituito la funzione derivata parziale rispetto a x)?
2) come faccio a sapere quando funziona e quando no?
Spero di essere stato più chiaro, grazie!
Effettivamente fai un po' di confusione: il concetto di derivata parte da quella puntuale, per arrivare a definire una funzione. Con le derivate parziali accade esattamente lo stesso di quanto accade con le derivate di funzioni di una variabile. Per definire la derivata, si parte dalla derivata di una funzione in un punto, definendo, come dicevi, il limite del rapporto incrementale. Fatto questo si osserva che, nel caso tu faccia questo limite per tutti i punti di un dato intervallo e tale limite assuma sempre valore finito, allora puoi dire che la funzione è derivabile sull'intervallo in ogni suo punto e, quindi, quello che accade è che esiste una nuova funzione che ad ogni punto dell'intervallo associa il valore della derivata della funzione stessa in tale punto. Infine scopri che usando le regole "pratiche" per il calcolo della derivata, tale funzione coincide proprio con la derivata calcolata nel senso precedente.
Quindi, in generale, devi sempre presupporre di lavorare con la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e, quando calcoli la derivata con le regole note, osservare se essa presenta punti "cattivi": se ce ne sono, in tal caso devi usare il limite del rapporto incrementale per verificare cosa accade.
Quindi, in generale, devi sempre presupporre di lavorare con la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e, quando calcoli la derivata con le regole note, osservare se essa presenta punti "cattivi": se ce ne sono, in tal caso devi usare il limite del rapporto incrementale per verificare cosa accade.
Umm, quindi questo metodo di calcolo delle funzioni derivate parziali funziona solo per applicazioni che hanno per dominio un aperto?
"lisdap":
Umm, quindi questo metodo di calcolo delle funzioni derivate parziali funziona solo per applicazioni che hanno per dominio un aperto?
Non ho capito che intendi: la derivata si definisce nei punti interni del dominio, quindi su aperti. Che senso ha la tua domanda?
"ciampax":
Quindi, in generale, devi sempre presupporre di lavorare con la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale
Ciao ciampax, mi sono riletto il tuo intervento e forse ho capito (o meglio, sto capendo). Allora, il testo di fusco, marcellini, sbordone dà questa definizione di derivata parziale: Sia $f:A sube RR^n->RR$, con A aperto e sia $x_0 in A$. La derivata parziale di $f$ in $x_0$ è il limite del rapporto incrementale ecc..."
Consideriamo ora la funzione $ysqrtx$ e il punto $(0,0)$. Questo punto è di frontiera per il massimo dominio di $ysqrtx$, che è $x>=0$. Quindi non c'è modo di applicare la definizione di derivata parziale sopra riportata, in quanto la definizione richiede come ipotesi una funzione definita su un aperto e un punto appartenente all'aperto; in questo caso, non esiste alcun aperto sul quale è possibile ridefinire $ysqrtx$ e che contenga $(0,0)$. Quindi, sulla base di questa sola definizione, non ha senso chiedermi quanto vale la derivata di $ysqrtx$ in $(0,0)$, non potendo essere rispettate le ipotesi. Girando pagina, osserviamo però che tale testo amplia la definizione di derivata parziale, dando una definizione aggiuntiva che ha come ipotesi $f:A sube RR^n->RR$ e $x_0 in A$, con $x_0$ di FRONTIERA per A. la derivata parziale di f nel punto $x_0$ è definita in questo caso non come limite di un rapporto incrementale, ma bensì come limite per $x->x_0$ della funzione $f_x$ che è la derivata parziale di $f(x,y)$ definita su un aperto. Grazie a questa definizione, la domanda "quanto vale la derivata parziale rispetto a x di $ysqrtx$ in $(0,0)$" acquista senso. Intanto ci sono fin qui? Cioé, indipendentemente dalla domanda che apre il trhead, ho detto cose corrette?
Grazie!
"ciampax":
[quote="lisdap"]Umm, quindi questo metodo di calcolo delle funzioni derivate parziali funziona solo per applicazioni che hanno per dominio un aperto?
Non ho capito che intendi: la derivata si definisce nei punti interni del dominio, quindi su aperti. Che senso ha la tua domanda?[/quote]
Forse vuole approfondire un tema che ha già trattato nella sezione generale clik, dico bene lys?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo