Punti critici funzione in due variabili
La funzione è $f(x,y)= xy(e^(x-1) -1)$
1) Classificare gli eventuali punti critici
2)Scrivere l'equazione delle retta tangente alla linea di livello $f(x,y)= 2e-2$ nel punto $(2,1)$
3)Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $(2,0,0)$.
Allora i candidati ad essere punti critici sono i punti di non derivabilità, e direi non ce ne sono, e i punti dove $gradf=0$
Mi calcolo $f_x=y(e^(x-1) +xe^(x-1) -1)$ $f_y= xe^(x-1)- x $
Ho il sistema di due equazioni${ ( y(e^(x-1) +xe^(x-1) -1)=0 ),(xe^(x-1) -x=0):}$
risolvo: $x(e^(x-1) -1)=0$ ha due soluzioni $x=0, x=1$ e quindì sostituendo nella prima equazione si ha per $x=0, y=e$ $x=1, y=0$
mentre risolvendo la prima equazione ha due soluzioni $y=0,x=((1)/e^(x-1)) $ che credo abbia soluzione per x=1.
Quindi ho $A(0,e)$ $B(1,0)$ e devo valutare l' hessiano in questi due punti.
$f_(x x)= ye^(x-1)+ye^(x-1)+yxe^(x-1)$ $f_(yy)=0$ $f_(xy)=e^(x-1)+xe^(x-1)-1$
Ora $H(0,e)$ $|| ( 2 , e^-1 -1 ),( e^-1 -1 , 0) || $ e ha come valore $(e^-1 -1)^2$ cioè 7.65=>H>0
$H(1,0)$ $|| ( 0 , 1 ),( 1 , 0) || $ e ha come valore $1$
Ho quindì per (0,e) $f_xx >0$ $H>0$ e per (1,0) $f_xx=0$ e $H>0$ e quindì il punto (0,e) è di minimo locale; mentre per l'altro non so cosa dire.
2)So che il gradiente valutato in un punto di una linea di livello è ortogonale a quest'ultimo; quindì calcolato calcolo il gradiente nel punto(2,1) e ho $gradf=(3e^-1, 2e-2)$ e ora posso imporre l'ortogonalità tra il gradiente e la tangente; però non so metterlo in formule, o meglio, non ho capito dove entra in gioco il fatto che la curva di livello è $2e-2$
3) Per definizione il piano tangente in un punto $(x0,y0,f(x0,y0))$ ha equazione $z=f(x0,y0)+f_x (x0,y0)(x-x0)+ f_y (x0,y0)(y-y0)$ e quindì in questo caso, con punto $(2,0,0)$ si ha $z= 0+0+(2e-2)(y)$ e quindì $z=2ey-2y$ è il piano tangente nel punto $(2,0,0)$
1) Classificare gli eventuali punti critici
2)Scrivere l'equazione delle retta tangente alla linea di livello $f(x,y)= 2e-2$ nel punto $(2,1)$
3)Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $(2,0,0)$.
Allora i candidati ad essere punti critici sono i punti di non derivabilità, e direi non ce ne sono, e i punti dove $gradf=0$
Mi calcolo $f_x=y(e^(x-1) +xe^(x-1) -1)$ $f_y= xe^(x-1)- x $
Ho il sistema di due equazioni${ ( y(e^(x-1) +xe^(x-1) -1)=0 ),(xe^(x-1) -x=0):}$
risolvo: $x(e^(x-1) -1)=0$ ha due soluzioni $x=0, x=1$ e quindì sostituendo nella prima equazione si ha per $x=0, y=e$ $x=1, y=0$
mentre risolvendo la prima equazione ha due soluzioni $y=0,x=((1)/e^(x-1)) $ che credo abbia soluzione per x=1.
Quindi ho $A(0,e)$ $B(1,0)$ e devo valutare l' hessiano in questi due punti.
$f_(x x)= ye^(x-1)+ye^(x-1)+yxe^(x-1)$ $f_(yy)=0$ $f_(xy)=e^(x-1)+xe^(x-1)-1$
Ora $H(0,e)$ $|| ( 2 , e^-1 -1 ),( e^-1 -1 , 0) || $ e ha come valore $(e^-1 -1)^2$ cioè 7.65=>H>0
$H(1,0)$ $|| ( 0 , 1 ),( 1 , 0) || $ e ha come valore $1$
Ho quindì per (0,e) $f_xx >0$ $H>0$ e per (1,0) $f_xx=0$ e $H>0$ e quindì il punto (0,e) è di minimo locale; mentre per l'altro non so cosa dire.
2)So che il gradiente valutato in un punto di una linea di livello è ortogonale a quest'ultimo; quindì calcolato calcolo il gradiente nel punto(2,1) e ho $gradf=(3e^-1, 2e-2)$ e ora posso imporre l'ortogonalità tra il gradiente e la tangente; però non so metterlo in formule, o meglio, non ho capito dove entra in gioco il fatto che la curva di livello è $2e-2$
3) Per definizione il piano tangente in un punto $(x0,y0,f(x0,y0))$ ha equazione $z=f(x0,y0)+f_x (x0,y0)(x-x0)+ f_y (x0,y0)(y-y0)$ e quindì in questo caso, con punto $(2,0,0)$ si ha $z= 0+0+(2e-2)(y)$ e quindì $z=2ey-2y$ è il piano tangente nel punto $(2,0,0)$
Risposte
"Daddarius":
La funzione è $f(x,y)= xy(e^(x-1) -1)$
1) Classificare gli eventuali punti critici
2)Scrivere l'equazione delle retta tangente alla linea di livello $f(x,y)= 2e-2$ nel punto $(2,1)$
3)Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $(2,0,0)$.
Allora i candidati ad essere punti critici sono i punti di non derivabilità, e direi non ce ne sono, e i punti dove $gradf=0$
Probabilmente è colpa mia, ma non capisco la frase sottolineata: mi puoi spiegare?
I punti dove la funzione non è derivabile sono punti critici.
ok, ma quando abbiamo funzioni in due variabili non sarebbe meglio dire: "non differenziabile"?
Davvero è una domanda.
Davvero è una domanda.
sono d'accordo con l'obiezione.
meno male, alle volte mi scappano degli strafalcioni terribili.
Ora veniamo a noi, mi fai vedere come hai fatto la derivata parziale rispetto a y? Non mi trovo, ma magari mi sfugge qualcosa.
Ora veniamo a noi, mi fai vedere come hai fatto la derivata parziale rispetto a y? Non mi trovo, ma magari mi sfugge qualcosa.
chiedo scusa, ho sbagliato a scrivere. Ho corretto.
"Daddarius":
L
risolvo: $x(e^(x-1) -1)=0$ ha due soluzioni $x=0, x=1$ e quindì sostituendo nella prima equazione si ha per $x=0, y=e$ $x=1, y=0$
mentre risolvendo la prima equazione ha due soluzioni $y=0,x=((1)/e^(x-1)) $ che credo abbia soluzione per x=1.
Ora mi perdo qui, da dove è uscito $y=e$?
per x=0 sostituisco nella prima equazione $y(e^-1 -1)=0$ e qui avevo scritto sul foglio $y/e=1$. Errore. L' equazione giusta è $y/e -y=0$
quindi...
quali sono i punti critici?
Ora però ti lascio, ci risentiamo stasera se non è già intervenuto qualcun altro.
quali sono i punti critici?
Ora però ti lascio, ci risentiamo stasera se non è già intervenuto qualcun altro.
Allora la seconda equazione si annulla se x=0 e x=1 che sostituiti nella prima equazione danno rispettivamente $y-ey=0$ che diventa $y(1-e)=0$ e quindì y=0,e y=0. Quindì ho $A(1,0)$ e $B(0,0)$ punti critici. La prima equazione si annulla per y=0 e $e^(x-1) + xe^(x-1) - 1=0$ che risolta da $x=((1)/e^(x-1) -1)$ e si ha $C=((1)/e^(x-1) -1,0)$. Andiamo avanti?
"Daddarius":
Allora la seconda equazione si annulla se x=0 e x=1 che sostituiti nella prima equazione danno rispettivamente $y-ey=0$ che diventa $y(1-e)=0$ e quindì y=0,e y=0. Quindì ho $A(1,0)$ e $B(0,0)$ punti critici.
Fino qui ci sono.
"Daddarius":
La prima equazione si annulla per y=0 e $e^(x-1) + xe^(x-1) - 1=0$ che risolta da $x=((1)/e^(x-1) -1)$ e si ha $C=((1)/e^(x-1) -1,0)$. Andiamo avanti?
Volentieri, ma francamente non capisco la frase precedente.
NB "quindi" non va accentato
Ho visto quando la prima equazione è uguale a zero. Per y=0 e per $e^(x-1) + xe^(x-1) -1$ che con la sostituzione $t=e^(x-1)$ diventa $t+xt-1=0$ onde per cui $x=((1)/t -1)$.
mmm
credo di aver capito cosa hai fatto, correggimi se sbaglio:
dunque ti domandi per quali valori si annulla la derivata parziale rispetto a x, $f_x$ per intenderci
e trovi che si annulla per $y=0$ e poi si annulla se si annulla la seguente espressione letterale $e^(x-1)+xe^(x-1)-1$ e quindi vai a risolvere la seguente equazione $e^(x-1)+xe^(x-1)-1=0$, purtroppo però non è semplice da risolvere e così la manipoli ottenendo un'altra equazione equivalente: questa $x=1/(e^(x-1)-1$, ma ancora non siamo riusciti a trovare i valori di x che annullano la derivata $f_x$.
A questo punto però mi domando se sia utile: i valori che troviamo dovrebbero annullare anche la $f_y$* altrimenti il gradiente non è 0 e non ci servirebbero per individuare punti critici.
Che dici, fila come ragionamento?
* nella derivata parziale rispetto a y, non compare la variabile y
credo di aver capito cosa hai fatto, correggimi se sbaglio:
dunque ti domandi per quali valori si annulla la derivata parziale rispetto a x, $f_x$ per intenderci
e trovi che si annulla per $y=0$ e poi si annulla se si annulla la seguente espressione letterale $e^(x-1)+xe^(x-1)-1$ e quindi vai a risolvere la seguente equazione $e^(x-1)+xe^(x-1)-1=0$, purtroppo però non è semplice da risolvere e così la manipoli ottenendo un'altra equazione equivalente: questa $x=1/(e^(x-1)-1$, ma ancora non siamo riusciti a trovare i valori di x che annullano la derivata $f_x$.
A questo punto però mi domando se sia utile: i valori che troviamo dovrebbero annullare anche la $f_y$* altrimenti il gradiente non è 0 e non ci servirebbero per individuare punti critici.
Che dici, fila come ragionamento?
* nella derivata parziale rispetto a y, non compare la variabile y
Hai colto tutto! Non comprendo dove è l'errore della derivata. Andiamo avanti. I tanto desiderati punti critici sono $A(0,0)$ $B(1,0)$. Ora valuto l' hessiano in A e ho, riprendendo dal primo messaggio le derivate seconde, $|| ( 0 , e^-1 -1 ),( e^-1 -1 , 0 ) || $ che è negativo, quindì A è un punto di sella. Valuto anche il punto B e ho che l'hessiano $|| ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) || $ è negativo; quindì anche B è un punto di sella .Per il primo punto dell'esercizio ci siamo?
"Daddarius":
Hai colto tutto! Non comprendo dove è l'errore della derivata.
Forse è il caso di capire bene, come ti ho già detto non sono una fonte attendibile e mi possono scappare svarioni, ma il consiglio che ti do ha carattere generale: non si parte con i conti se non hai ben chiaro a cosa ti servono. La matematica è come una lingua straniera non puoi pretendere di capire una frase se ti sfugge il significato di alcune parole.
"Daddarius":
Andiamo avanti. I tanto desiderati punti critici sono $A(0,0)$ $B(1,0)$. Ora valuto l' hessiano in A e ho, riprendendo dal primo messaggio le derivate seconde, $|| ( 0 , e^-1 -1 ),( e^-1 -1 , 0 ) || $ che è negativo, quindì A è un punto di sella. Valuto anche il punto B e ho che l'hessiano $|| ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) || $ è negativo; quindì anche B è un punto di sella .Per il primo punto dell'esercizio ci siamo?
Non ho controllato i tuoi conti ma anche a me vengono due punti nè di massimo nè di minimo: l'ho dedotto dopo che ho studiato la positività della funzione.
"Daddarius":
La funzione è $f(x,y)= xy(e^(x-1) -1)$
1) Classificare gli eventuali punti critici
2)Scrivere l'equazione delle retta tangente alla linea di livello $f(x,y)= 2e-2$ nel punto $(2,1)$
3)Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $(2,0,0)$.
2)So che il gradiente valutato in un punto di una linea di livello è ortogonale a quest'ultimo; quindì calcolato calcolo il gradiente nel punto(2,1) e ho $gradf=(3e^-1, 2e-2)$ e ora posso imporre l'ortogonalità tra il gradiente e la tangente; però non so metterlo in formule, o meglio, non ho capito dove entra in gioco il fatto che la curva di livello è $2e-2$
3) Per definizione il piano tangente in un punto $(x0,y0,f(x0,y0))$ ha equazione $z=f(x0,y0)+f_x (x0,y0)(x-x0)+ f_y (x0,y0)(y-y0)$ e quindì in questo caso, con punto $(2,0,0)$ si ha $z= 0+0+(2e-2)(y)$ e quindì $z=2ey-2y$ è il piano tangente nel punto $(2,0,0)$
Allora per il punto 2) non so aiutarti, cerca di spiegarmi bene e chiaramente cosa dobbiamo fare poi proviamo a fare la traduzione, te l'ho detto che per me la matematica somiglia a una lingua?
Per il punto 3) segui il mio ragionamento e dimmi se è corretto:
Per trovare l'equazione di un piano tangente a un punto $P(x_0;y_0;z_0)$* ci domandiamo di quando cambia la quota di un generico punto $Q(x;y;z)$ intorno a $P$ e così scriviamo
$z-z_0=(x-x_0)f_x+(y-y_0)f_y$
cioè la differenza di quota $Deltaz$ è data dalla somma tra l'incremento calcolato parallelamente all'asse x, $(x-x_0)f_x$ e l'incremento calcolato parallelamente all'asse y, $(y-y_0)f_y$, ti sembra corretto?
*per verificare che il punto appartiene al grafico della nostra funzione dovrà essere $z_0=f(x_0:y_0)$
"gio73":
* nella derivata parziale rispetto a y, non compare la variabile y
Infatti non vedo errori nella derivata rispetto a y.
Per il punto 3) mi ritrovo. Per verificare che il punto appartiene al grafico deve soddisfare l' equazione della funzione, non deve essere $f(xo,yo)=0$?
Per il punto 2)so che il gradiente è sempre ortogonale alla linea di livello della funzione e devo conoscere l'equazione della retta tangente in un punto; ora non so tradurre il concetto di linea di livello per calcolarmi questa tangente, che sarà ortogonale al gradiente, e quindì l'idea è di imporre l'ortogonalità tra il gradiente e la tangente.
Per il punto 2)so che il gradiente è sempre ortogonale alla linea di livello della funzione e devo conoscere l'equazione della retta tangente in un punto; ora non so tradurre il concetto di linea di livello per calcolarmi questa tangente, che sarà ortogonale al gradiente, e quindì l'idea è di imporre l'ortogonalità tra il gradiente e la tangente.
"Daddarius":
Per il punto 3) mi ritrovo. Per verificare che il punto appartiene al grafico deve soddisfare l' equazione della funzione, non deve essere $f(xo,yo)=0$?
Bene, proviamo. $P(2;0;0)$
$f(2;0)=2*0...=0$
"Daddarius":
Per il punto 2)so che il gradiente è sempre ortogonale alla linea di livello della funzione e devo conoscere l'equazione della retta tangente in un punto; ora non so tradurre il concetto di linea di livello per calcolarmi questa tangente, che sarà ortogonale al gradiente, e quindì l'idea è di imporre l'ortogonalità tra il gradiente e la tangente.
Qui non ti so aiutare.
Siamo arrivati a buon punto direi.
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