Angoli e perpendicolari

[axpgn]

Siano dati gli angoli $ABC$ e $CBD$, entrambi di $60°$ di ampiezza.
Da un qualsiasi punto $P$ interno all'angolo $ABC$ si traccino le perpendicolari $\bar(PX), \bar(PY), \bar(PZ)$ rispettivamente su $BA, BC, BD$.
Dimostrare che $PX+PY=PZ$.

Cordialmente, Alex

[mgrau]

Propongo una soluzione, anche se mi sembra pochissimo elegante.

1) Se $P$ sta sulla bisettrice di $ABC$ il risultato è immediato
2) Se spostiamo il punto $P$ perpendicolarmente alla bisettrice di ABC , fino a $P'$, ci stiamo anche muovendo parallelamente a $BD$, quindi la distanza $PZ$ non cambia
3) La distanza $PX$ diventa $P'X'$, e aumenta di $P'Q$, La distanza $PY$ diventa $P'Y'$, e diminuisce di $PR$
4) E' poi immediato vedere che i triangoli $PP'Q$ e $PP'R$ sono uguali da cui $PR = P'Q$

[giammaria2]

Ho anch'io trovato una soluzione in geometria sintetica, ma in fatto di eleganza equivale a quella di mgrau. Trovo invece molto facile la soluzione trigonometrica, che invio.

Posto $PB=a$ e $PhatBC=x$, si ha
$PX=a sin(60°-x)$
$PY=a sinx$
$PZ=a sin (60°+x)$ (valida anche se Z è sul prolungamento di DB oltre B)
Quindi
$PZ-PX=a[sin(60°+x)-sin(60°-x)]=2acos60°sinx=2*1/2*(asinx)=PY$

[giammaria2]

Adesso ho trovato una soluzione sintetica e facile.

Per P traccio la parallela a BD e chiamo A,C le sue intersezioni con le semirette BA,BC (questi due punti potevano essere scelti in qualunque modo sulle rispettive semirette). I triangoli APX e CPY sono metà di un triangolo equilatero, quindi
${(PX=PA*sqrt3/2),(PY=PC*sqrt3/2):}" "" "->PX+PY=(PA+PC)*sqrt3/2=AC*sqrt3/2$
cioè è uguale all'altezza del triangolo equilatero ABC. Poiché la distanza fra rette parallele non cambia, anche PZ è uguale a questa altezza.

[axpgn]

Bravi

Ecco la mia …

Disegno un cerchio centrato in $P$ e con raggio $PZ$
Traccio la parallela a $BD$ e tangente al cerchio.
Il punto di tangenza è $Z'$ e le intersezioni con $BA$ e $BC$ sono $A'$ e $C'$ rispettivamente.
Il triangolo $A'BC'$ è equilatero, quindi la somma delle tre perpendicolari da $P$ sui lati è pari alla sua altezza, la quale però è pari a $\Z\Z'$ ovvero $2*PZ$.
Quindi $PX+PY+PZ=2*PZ\ -> PX+PY=PZ$.

Cordialmente, Alex