Espressione in N con quadrati
Salve a tutti, ho un problema che la mia prof di matematica ha dato da risolvere alla classe(il problema è facoltativo, e ha detto che probabilmente non lo riusciremo a risolvere, peró ci aiuta a pensare fuori dagli schemi). Il problema è il seguente:
Hai due numeri naturali a e b, sai che:
$ (ab+1):(a^2+ b^2) = d $
Con $ din N $
Dimostrare che:
$ (a^2+ b^2):(ab+1)= c^2 $
Con $ cin N $
Qualcuno ha qualche idea?
A me l'unica cosa che mi è venuta in mente è che se
$ a =0 $ o $ b=0 $
( non entrambi contemporaneamente) ottengo un numero infinto di soluzioni poichè in quel caso avrei:
$a^2 = c^2$ (stessa cosa con b), ma non mi sembra di aver dimostrato un bel nulla...
Hai due numeri naturali a e b, sai che:
$ (ab+1):(a^2+ b^2) = d $
Con $ din N $
Dimostrare che:
$ (a^2+ b^2):(ab+1)= c^2 $
Con $ cin N $
Qualcuno ha qualche idea?
A me l'unica cosa che mi è venuta in mente è che se
$ a =0 $ o $ b=0 $
( non entrambi contemporaneamente) ottengo un numero infinto di soluzioni poichè in quel caso avrei:
$a^2 = c^2$ (stessa cosa con b), ma non mi sembra di aver dimostrato un bel nulla...
Risposte
"Sai che" che cosa? Mi pare manchi qualche ipotesi …
$ (ab+1):(a^2+ b^2) = ??? $
$ (ab+1):(a^2+ b^2) = ??? $
Scusate, pensavo di aver scritto correttamente, la condizione é che $ (ab+1):(a^2+b^2)=d $
Con $ din N $
Con $ din N $
Se ho capito bene, a me pare che …
Però il problema affrontato da axpgn non è dimostrare che dall'ipotesi segue la tesi. Credo che il testo dovesse essere:
"Dimostrare che se $c=(a^2+b^2):(ab+1)$ ed $a,b,c$ sono numeri naturali, allora $c$ è un quadrato"
Penso che si intenda come naturale anche lo zero (non tutti i matematici concordano su questo).
Non saprei dimostrarlo e quindi la mia interpretazione potrebbe essere sbagliata; negli esempi che ho considerato l'affermazione sembra però vera.
"Dimostrare che se $c=(a^2+b^2):(ab+1)$ ed $a,b,c$ sono numeri naturali, allora $c$ è un quadrato"
Penso che si intenda come naturale anche lo zero (non tutti i matematici concordano su questo).
Non saprei dimostrarlo e quindi la mia interpretazione potrebbe essere sbagliata; negli esempi che ho considerato l'affermazione sembra però vera.
Non mi pare, ti sei perso un bel pezzo dell'ipotesi ovvero l'altra relazione … inoltre dimostrando che $c^2$ è pari a $1$, si dimostra anche che è un quadrato … IMHO …
Comunque, non avendo il testo originale (che forse non esiste neanche) si possono fare tutte le supposizioni che si vogliono
Comunque, non avendo il testo originale (che forse non esiste neanche) si possono fare tutte le supposizioni che si vogliono
Il problema da te affrontato è stato "E' possibile che le due formule coesistano?" e la tua giusta risposta è stata "Sì, purché ..."; in altre parole, hai considerato come ipotesi anche quello che è scritto dopo il "Dimostrare che" e secondo me quella è la tesi.
Io invece penso che RedJohn abbia sbagliato nello scrivere l'ipotesi, scambiando fra loro dividendo e divisore. Con la mia supposizione, $c$ può essere un quadrato qualsiasi.
Io invece penso che RedJohn abbia sbagliato nello scrivere l'ipotesi, scambiando fra loro dividendo e divisore. Con la mia supposizione, $c$ può essere un quadrato qualsiasi.
Premesso che solo lui sa (anzi probabilmente neanche lui 
), quello che dici è un tuo punto di vista, corretto ma UN punto di vista.
Il mio è: data la prima relazione è vera anche la seconda? Sì, a certe condizioni … ma è la normalità quando, per esempio, risolvi un'equazione … se invece, pretende che sia un'identità, allora è un altro paio di maniche … ovvero che dalla prima discenda sempre la seconda (anche se mi pare che sia vero anche in questo caso )
Comunque, ho capito solo ora cosa intendi (va beh, sarà l'ora … ) : tu dici che la prima e la seconda relazione sono uguali e la tesi è che $d=c^2$, entrambi interi; isn't it?
Cordialmente, Alex
P.S.: per Wolfram sembra che non cambi niente: le soluzioni son sempre le stesse
), quello che dici è un tuo punto di vista, corretto ma UN punto di vista.Il mio è: data la prima relazione è vera anche la seconda? Sì, a certe condizioni … ma è la normalità quando, per esempio, risolvi un'equazione … se invece, pretende che sia un'identità, allora è un altro paio di maniche … ovvero che dalla prima discenda sempre la seconda (anche se mi pare che sia vero anche in questo caso
)Comunque, ho capito solo ora cosa intendi (va beh, sarà l'ora …
) : tu dici che la prima e la seconda relazione sono uguali e la tesi è che $d=c^2$, entrambi interi; isn't it?Cordialmente, Alex
P.S.: per Wolfram sembra che non cambi niente: le soluzioni son sempre le stesse
"axpgn":
tu dici che la tesi è che $d=c^2$, entrambi interi; isn't it?
Sì, io dico che, supponendo che nell'ipotesi ci sia stato lo scambio di cui parlavo, la tesi è quella. Ed allora il problema diventa interessante.
Per una sicura interpretazione del testo, conviene attendere quello che dirà RedJohn, magari dopo aver consultato la sua prof.
Questo problema è famoso e mi pare che venne risolto qui qualche tempo fa...
Comunque il testo dice:
Supponiamo che $ab+1$ divide $a^2+b^2$ con $a,b$ interi positivi, allora $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ è un quadrato perfetto.
Comunque il testo dice:
Supponiamo che $ab+1$ divide $a^2+b^2$ con $a,b$ interi positivi, allora $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ è un quadrato perfetto.
"dan95":
Questo problema è famoso e mi pare che venne risolto qui qualche tempo fa...
L'avevi postato tu …
… e giammaria aveva pure risposto …
Se $a,b$ sono naturali non entrambi nulli allora $a^2+b^2 >= ab +1$ (e dunque $(ab+1)/(a^2+b^2) <=1$).
certamente $a,b$ sono non entrambi nulli (altrimenti avremmo un denominatore uguale a $0$),
e dunque (dalla proprietà scritta all'inizio) abbiamo necessariamente $(ab+1)/(a^2+b^2) = 1$, da cui $(a^2+b^2)/(ab+1)= 1$.
Ora, se abbiamo l'ipotesi che $a,b in NN$ sono tali che $(ab+1)/(a^2+b^2) in NN$,
certamente $a,b$ sono non entrambi nulli (altrimenti avremmo un denominatore uguale a $0$),
e dunque (dalla proprietà scritta all'inizio) abbiamo necessariamente $(ab+1)/(a^2+b^2) = 1$, da cui $(a^2+b^2)/(ab+1)= 1$.
@ Gi8
Giusto, ma non hai notato che nel corso della discussione dan95 ha confermato la mia supposizione che nell'ipotesi RedJohn avesse scambiato fra loro numeratore e denominatore.
Giusto, ma non hai notato che nel corso della discussione dan95 ha confermato la mia supposizione che nell'ipotesi RedJohn avesse scambiato fra loro numeratore e denominatore.
"dan95":A me pare di aver indicato, in quella discussione, un percorso semplice per la dimostrazione.
Eccolo qui! E mi pare di aver capito che è rimasto irrisolto
Ciao
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