Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Divisione tra polinomi. Così trovi $$
\frac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}
$$ A questo punto l'integrale diventa $$
6\int{\left(t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}\right)\ dt}
$$ che è immediatamente risolvibile. Infine ri-sostituisci tenendo presente che $$t = \sqrt[6]{x}$$
\frac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}
$$ A questo punto l'integrale diventa $$
6\int{\left(t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}\right)\ dt}
$$ che è immediatamente risolvibile. Infine ri-sostituisci tenendo presente che $$t = \sqrt[6]{x}$$
Scusami, ma come hai fatto la divisione tra polinomi?
Non riesco a replicare i passaggi!?!?!?
Non riesco a replicare i passaggi!?!?!?
Guarda questo link.
Ti consiglio di impararla bene perchè si tratta di un procedimento standard negli integrali che si utilizza praticamente ogni volta che il grado del numeratore è maggiore o uguale del grado del denominatore.
Ti consiglio di impararla bene perchè si tratta di un procedimento standard negli integrali che si utilizza praticamente ogni volta che il grado del numeratore è maggiore o uguale del grado del denominatore.
Ok, queste le ricordo perfettamente, ma non capisco come hai combinato queste regole per arrivare a quel risultato dell'esercizio 
Intendi che devo fare lo stesso cominciando in questo modo?
$ t^3/(t+1) $
Quindi negli integrali, si usa sempre questa regola quando si ha una divisione tra polinomi???
Comunque sono riuscito perfettamente a risolverlo
Ti ringrazio!
Intendi che devo fare lo stesso cominciando in questo modo?
$ t^3/(t+1) $
Quindi negli integrali, si usa sempre questa regola quando si ha una divisione tra polinomi???
Comunque sono riuscito perfettamente a risolverlo
Ti ringrazio!
Sì esatto, ho fatto la divisione tra $t^3$ e $t+1$
Esercizio 2
Adesso però mi sto impallando con il seguente, potresti consigliarmi su come devo comportarmi?
Sto cercando di risolvere il seguente che sembra sia banale, ma sto sbagliando ugualmente:
$int(x)/(root(3)(1+x))$
Il testo mi consiglia una sostituzione $t= root(3)(1+x)$, ma io non voglio utilizzare questa sostituzione e ho provato a utilizzare la seguente $root(3)(1+x) = root(3)t$, ma così facendo arrivo al seguente punto che mi sembra sia differente dalla strada che segue il testo:
$ int1/t*dt$
Dove sto sbagliando? Come faccio ad arrivare al risultato del testo che deve essere:
$3/5root(3)((1+x)^5) - 3/2root(3)((1+x)^2) + c$
Adesso però mi sto impallando con il seguente, potresti consigliarmi su come devo comportarmi?
Sto cercando di risolvere il seguente che sembra sia banale, ma sto sbagliando ugualmente:
$int(x)/(root(3)(1+x))$
Il testo mi consiglia una sostituzione $t= root(3)(1+x)$, ma io non voglio utilizzare questa sostituzione e ho provato a utilizzare la seguente $root(3)(1+x) = root(3)t$, ma così facendo arrivo al seguente punto che mi sembra sia differente dalla strada che segue il testo:
$ int1/t*dt$
Dove sto sbagliando? Come faccio ad arrivare al risultato del testo che deve essere:
$3/5root(3)((1+x)^5) - 3/2root(3)((1+x)^2) + c$
La sostituzione che hai fatto non ha molta utilità perchè equivale a porre $x+1 = t$ quindi come vedi cambia poco.
Seguiamo la strada proposta dal libro: $$ \sqrt[3]{1+x} = t \Rightarrow x = t^3 - 1 \Rightarrow dx = 3t^2 dt$$
L'integrale diventa quindi $$\int{\frac{t^3-1}{t}3t^2\ dt} \Rightarrow 3\int{\left(t^4 - t\right)\ dt}$$ che si integra immediatamente. Poi si sostituisce nuovamente $$t = \sqrt[3]{1+x}$$
Seguiamo la strada proposta dal libro: $$ \sqrt[3]{1+x} = t \Rightarrow x = t^3 - 1 \Rightarrow dx = 3t^2 dt$$
L'integrale diventa quindi $$\int{\frac{t^3-1}{t}3t^2\ dt} \Rightarrow 3\int{\left(t^4 - t\right)\ dt}$$ che si integra immediatamente. Poi si sostituisce nuovamente $$t = \sqrt[3]{1+x}$$
E anche per questo sei riuscito a farmi capire il concetto
Solo che adesso non sto riuscendo a capire perchè il testo scrive il risultato con una $c$ mancante, almeno a mio parere, che è sicuramente sbagliato, ma che non riesco a capire!
$3/5root(3)((1+x)^5) - 3/2root(3)((1+x)^2) + c$
Non dovrebbe essere così?
$3/5root(3)((1+x)^5)+ c - 3/2root(3)((1+x)^2) + c$
Solo che adesso non sto riuscendo a capire perchè il testo scrive il risultato con una $c$ mancante, almeno a mio parere, che è sicuramente sbagliato, ma che non riesco a capire!
$3/5root(3)((1+x)^5) - 3/2root(3)((1+x)^2) + c$
Non dovrebbe essere così?
$3/5root(3)((1+x)^5)+ c - 3/2root(3)((1+x)^2) + c$
La $c$ è semplicemente la costante di integrazione e basta metterla una volta sola.
PS. Se scrivi $...+c...+c$ è come scrivere $+2c$ ma se $c$ ha un valore arbitrario che senso ha scrivere $2c$?
PS. Se scrivi $...+c...+c$ è come scrivere $+2c$ ma se $c$ ha un valore arbitrario che senso ha scrivere $2c$?
"minomic":
La $c$ è semplicemente la costante di integrazione e basta metterla una volta sola.
PS. Se scrivi $...+c...+c$ è come scrivere $+2c$ ma se $c$ ha un valore arbitrario che senso ha scrivere $2c$?
Ok
Esercizio 3
Adesso mi sto incasinando con il segunete:
$int(x-2)/(sqrt(x+1))dx$
Il testo mi consiglia la seguebte sostituzione:
$t= sqrt(x+1)$
Ma non sto riuscendo a risolverlo!!
Help!
Io ho cominciato in questo modo:
$dx= 2tdt$
ma anche sostituendo, non riesco!
Arrivo a dire che:
$int(2tdt)/(t)$
Cone devo fare?
Ho quel numeratore che mi sta facendo tribolare!
Quale artificio devo utilizzare?
Adesso mi sto incasinando con il segunete:
$int(x-2)/(sqrt(x+1))dx$
Il testo mi consiglia la seguebte sostituzione:
$t= sqrt(x+1)$
Ma non sto riuscendo a risolverlo!!
Help!
Io ho cominciato in questo modo:
$dx= 2tdt$
ma anche sostituendo, non riesco!
Arrivo a dire che:
$int(2tdt)/(t)$
Cone devo fare?
Ho quel numeratore che mi sta facendo tribolare!
Quale artificio devo utilizzare?
Hai sbagliato a sostituire sopra. $$x-2\rightarrow t^2 - 3$$ $$\int{\frac{t^2-3}{t}2t\ dt}$$
"Bad90":
Esercizio 3
Adesso mi sto incasinando con il segunete:
$int(x-2)/(sqrt(x+1))dx$
Il testo mi consiglia la seguebte sostituzione:
$t= sqrt(x+1)$
Ma non sto riuscendo a risolverlo!!
Help!
Io ho cominciato in questo modo:
$dx= 2tdt$
ma anche sostituendo, non riesco!
Arrivo a dire che:
$int(2tdt)/(t)$
Cone devo fare?
Ho quel numeratore che mi sta facendo tribolare!
Quale artificio devo utilizzare?
Con quella sostituzione ottieni:
$x=t^2-1$ e quindi hai che $dx=2tdt$
Sostituendo hai:
$int(t^2-1-2)/(t)2tdt=int(2t^2-6)dt$
Da qui dovresti riuscire a finirlo.
Esercizio 5
Provo a risolvere il seguente:
$int(dx)/(sqrt(1+4x^2))$
Il testo mi consiglia la seguente sostituzione $2x=t$
Ma qui' e' un caos!?
Come faccio a ricavare l'incognita?
Ho pensato di fare in questo modo:
$x=t/2$
$dx= 1/2 dt$
Con una sostituzione arrivo alla seguente:
$int1/2*1/(sqrt(1+t^2))dt$
E poi non so piu' cosa fare!?!?
Provo a risolvere il seguente:
$int(dx)/(sqrt(1+4x^2))$
Il testo mi consiglia la seguente sostituzione $2x=t$
Ma qui' e' un caos!?
Come faccio a ricavare l'incognita?
Ho pensato di fare in questo modo:
$x=t/2$
$dx= 1/2 dt$
Con una sostituzione arrivo alla seguente:
$int1/2*1/(sqrt(1+t^2))dt$
E poi non so piu' cosa fare!?!?
Porti fuori l'$1/2$ e quello che resta dovrebbe essere un integrale immediato, probabilmente di qualche funzione iperbolica, ora non ricordo con precisione, ma se cerchi tra gli integrali immediati lo trovi sicuramente.
Ma il risultato del testo mi dice che deve essere:
$1/2ln|2x+sqrt(1+4x^2)| +c$
Non riesco a capire!?!?!
$1/2ln|2x+sqrt(1+4x^2)| +c$
Non riesco a capire!?!?!
$int1/(sqrt(1+x^2))dx=ln(x+sqrt(1+x^2))+c$
Stavo per scriverlo e mi hai preceduto! 
Adesso riesco a conprendere come arrivare al risuotato del testo!
Ti ringrazio!
Adesso riesco a conprendere come arrivare al risuotato del testo!
Ti ringrazio!
"burm87":
$int1/(sqrt(1+x^2))dx=ln(x+sqrt(1+x^2))+c$
Mi è sorto un dubbio....
Ma perchè utilizza un valore assoluto nel risultato
Non lo sto proprio capendo il perchè!
$1/2ln|2x+sqrt(1+4x^2)| +c$
Perchè il logaritmo esiste solo se il suo argomento è positivo. Per essere certi di questo fatto si aggiunge il valore assoluto.
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