Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Togliendo errori di scrittura (non hai messo l'integrale nella prima espressione) sembra giusto, puoi comunque semplificare ancora ottenendo
$int 2\ln x dx= 2x \ln (\frac{x}{e})+C$
$int 2\ln x dx= 2x \ln (\frac{x}{e})+C$
Esercizio 21
Adesso voglio far bene con il seguente:
$int 4xe^(2x)dx$
Mediante l'integrazione per parti, provo a dire qualcosa.....
$int 4xe^(2x)dx=4intxe^(2x)dx$
Io penso che qui conviene prendere come fattore finito $x$, voi cosa ne dite
Aiutooooooooooooooooooooooo!
Come devo risolverlo?
Facendo varie prove, ho pensato che dell'integrale, si può dire che $u=2x$ e che $v=e^(2x)$, infatti, se si vede la formula per l'integrazione per parti $intuv' dx= uv-intvu'dx$ , si riesce a capire che gli elementi non derivati, possono essere proprio $uv= 2x * e^(2x)$, quindi si tratta di avere come primo membro prima dell'uguale :
$intuv' dx= int 4xe^(2x)dx$
Come primo membro a destra dell'uguale:
$uv=2x * e^(2x)$
E come secondo membro a destra dell'uguale:
$-intvu'dx= -inte^(2x)dx$
E corretto ciò che ho scritto
Adesso voglio far bene con il seguente:
$int 4xe^(2x)dx$
Mediante l'integrazione per parti, provo a dire qualcosa.....
$int 4xe^(2x)dx=4intxe^(2x)dx$
Io penso che qui conviene prendere come fattore finito $x$, voi cosa ne dite
Aiutooooooooooooooooooooooo!
Come devo risolverlo?
Facendo varie prove, ho pensato che dell'integrale, si può dire che $u=2x$ e che $v=e^(2x)$, infatti, se si vede la formula per l'integrazione per parti $intuv' dx= uv-intvu'dx$ , si riesce a capire che gli elementi non derivati, possono essere proprio $uv= 2x * e^(2x)$, quindi si tratta di avere come primo membro prima dell'uguale :
$intuv' dx= int 4xe^(2x)dx$
Come primo membro a destra dell'uguale:
$uv=2x * e^(2x)$
E come secondo membro a destra dell'uguale:
$-intvu'dx= -inte^(2x)dx$
E corretto ciò che ho scritto
Ma scusa, fai delle prove no? In un caso e nell'altro e vedi come evolvono.
Non sono sicuro di ciò che ho fatto, mi sono aiutato con il risultato e sono arrivato alla seguente conclusione:
$intuv' dx= int 4xe^(2x)dx$
$uv=2x * e^(2x)$
$-intvu'dx= -inte^(2x)dx$
Quindi:
$int 4xe^(2x)dx=2x * e^(2x)-inte^(2x)dx $
Sarà:
$int 4xe^(2x)dx=(2x-1)e^(2x)+c$
Ma non sono tanto convinto, potreste aiutarmi a capire meglio gli step che bisogna fare
Secondo voi, e' corretto ciò che ho fatto?
$intuv' dx= int 4xe^(2x)dx$
$uv=2x * e^(2x)$
$-intvu'dx= -inte^(2x)dx$
Quindi:
$int 4xe^(2x)dx=2x * e^(2x)-inte^(2x)dx $
Sarà:
$int 4xe^(2x)dx=(2x-1)e^(2x)+c$
Ma non sono tanto convinto, potreste aiutarmi a capire meglio gli step che bisogna fare
Secondo voi, e' corretto ciò che ho fatto?
Estratta la costante puoi porre come $u=x$ e $v'=e^{2x}$, conseguentemente hai
\(\displaystyle u'=1 \qquad v=\frac{e^{2x}}{2} \)
A questo punto applichi la formula
$4 int uv' dx=4 [uv-int vu' dx]=4uv-4 int vu'dx$
Sostituisci ed hai
$int 4xe^{2x} dx=2xe^{2x}-4 int \frac{e^{2x}}{2} \cdot 1 dx=2xe^{2x}-2 int e^{2x} dx=$
$int 4xe^{2x} dx=2xe^{2x}-e^{2x}+C=e^{2x} \cdot (2x-1)+C$
Hai commesso due errori, il primo è
$uv=2xe^{2x}$ quindi $vu'=2e^{2x}$
Poi
$int e^{2x} dx\ne e^{2x}$ ma $int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}$
\(\displaystyle u'=1 \qquad v=\frac{e^{2x}}{2} \)
A questo punto applichi la formula
$4 int uv' dx=4 [uv-int vu' dx]=4uv-4 int vu'dx$
Sostituisci ed hai
$int 4xe^{2x} dx=2xe^{2x}-4 int \frac{e^{2x}}{2} \cdot 1 dx=2xe^{2x}-2 int e^{2x} dx=$
$int 4xe^{2x} dx=2xe^{2x}-e^{2x}+C=e^{2x} \cdot (2x-1)+C$
Hai commesso due errori, il primo è
$uv=2xe^{2x}$ quindi $vu'=2e^{2x}$
Poi
$int e^{2x} dx\ne e^{2x}$ ma $int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}$
"CaMpIoN":
Estratta la costante puoi porre come ....
Riprovando, ho fatto ancora questi step:
$int 4xe^(2x) dx = x*2e^(2x) -int2e^(2x)$
Ma così facendo arriverò alla seguente:
$int 4xe^(2x) dx = x*2e^(2x) -2int e^(2x)dx$
Ma così non arriverò mai al corretto risultato, perchè l'errore era proprio in $int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}$, adesso rivedo ciò che ho fatto, anche perche tu ci sei riuscito tranquillamente e ti ringrazio per avermi fatto vedere dove ho sbagliato
Vedi che come li hai messi ora arrivi al risultato giusto, ti basta solo sostituire l'integrale indefinito di $e^{2x}$ che hai anche scritto..
"CaMpIoN":
Vedi che come li hai messi ora arrivi al risultato giusto, ti basta solo sostituire l'integrale indefinito di $e^{2x}$ che hai anche scritto..
Scusami, ma non sto riuscendo a capire come si risolve il seguente integrale:
$int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}$
Potresti indicarmi gli step risolutivi
Io ci sono andato per intuito in questo caso perché conosco solo le basi del calcolo integrale, la regola dell'integrazione per parti l'ho vista ora nel tuo post.
L'integrale di $e^x$ è sempre $e^x$, nel tuo caso però ce una funzione composta, la derivata di $e^{2x}$ è $2e^{2x}$, dovrai eliminare quel 2 per ottenere la funzione sotto integrale e puoi farlo dividendo per 2, quindi la funzione giusta è $\frac{e^{2x}}{2}$.
Comunque ricorda che l'integrale è la funzione inversa della derivazione, quindi il mio ragionamento si basa sul fatto che devo trovare una funzione la cui derivata sia $e^{2x}$ che in questo caso è molto semplice.
Ci sarà comunque un metodo risolutivo anche per integrali di quel tipo, lascio a gli esperti per questo.
L'integrale di $e^x$ è sempre $e^x$, nel tuo caso però ce una funzione composta, la derivata di $e^{2x}$ è $2e^{2x}$, dovrai eliminare quel 2 per ottenere la funzione sotto integrale e puoi farlo dividendo per 2, quindi la funzione giusta è $\frac{e^{2x}}{2}$.
Comunque ricorda che l'integrale è la funzione inversa della derivazione, quindi il mio ragionamento si basa sul fatto che devo trovare una funzione la cui derivata sia $e^{2x}$ che in questo caso è molto semplice.
Ci sarà comunque un metodo risolutivo anche per integrali di quel tipo, lascio a gli esperti per questo.
Ok, ma potresti scrivermi per favore gli step di come sei arrivato $int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}$
Scusami, ma se questa è la funzione $(e^(2x))/(2)$ se io vado a derivare avrò $ 1/2* e^(2x)*2$ e allora avrò $ e^(2x)$ , giusto?
Scusami, ma se questa è la funzione $(e^(2x))/(2)$ se io vado a derivare avrò $ 1/2* e^(2x)*2$ e allora avrò $ e^(2x)$ , giusto?
NOn sto capendo da qui:
$2xe^{2x}-2 int e^{2x} dx=$
come fai quando togli l'integrale a togliere il $2$ arrivando a questa?
$2xe^{2x}-e^{2x}+C$
$2xe^{2x}-2 int e^{2x} dx=$
come fai quando togli l'integrale a togliere il $2$ arrivando a questa?
$2xe^{2x}-e^{2x}+C$
Risolvi da solo l'ultimo integrale e poi attacchi quel $2$ al risultato. Vedrai che sparirà.
"burm87":
Risolvi da solo l'ultimo integrale e poi attacchi quel $2$ al risultato. Vedrai che sparirà.
Io non so risolvere l'ultimo integrale che mi dici!
Come faccio a risolverlo se chiedo aiuto per poter capire come si risolve
Beh, è un integrale immediato.
"burm87":
Nessun cambio di variabile, è molto più facile: $inte^(f(x))f'(x)=e^(f(x))+c$.
"burm87":
Nessun cambio di variabile, è molto più facile: $inte^(f(x))f'(x)=e^(f(x))+c$.
Scusami, allora per quale motivo hai messo avanti quel $2$
Se mi dici che è un integrale immediato, allora sarà:
$int e^{2x} dx=int e^(2x)2dx = e^{2x} +c$
E non $int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}$
Io non ho messo nessun due davanti, i calcoli precedenti li avete fatti voi, non li ho guardati.
Allora, facciamo le cose per bene, perchè di un esercizio semplice, stiamo finendo con il fare un giro infinito, sai penso che se devo andare a Roma, non mi conviene passare per Amsterdam 
Allora, spero che qualche esperto in materia mi dia una conferma su come si risolvono questi esercizi e quindi provo a dire le cose correttamente....
$int 4xe^(2x) dx$
Conviene scrivere subito quali saranno $u$ e $v$, facendo una tabella, ci sarà maggior chiarezza...
$u = 2x$ allora $u' = 2$
$v'= e^(2x) *2$ allora $v= e^(2x)$
So che la formula risolutiva è:
$intuv' dx= uv-intvu'dx$
E allora ditemi se scorrono bene questi step.......
Adesso basta sostituire basandosi sulla formula risolutiva.
$int 4xe^(2x) dx = 2xe^(2x)-inte^(2x)*2 dx$
Sapendo che il seguente è un integrale immediato:
$inte^(2x)*2 dx= e^(2x) + c$
Posso concludere che:
$int 4xe^(2x) dx = 2xe^(2x)- e^(2x) + c$
P.S. Io sto imparando adesso la matematica, ma preferisco avere un metodo chiaro e ordinato, secondo voi sono stato corretto?
Come vedete, ho preferito un volo diretto Brindisi-Roma, invece di Brindisi-Amsterdam-Roma.
Allora, spero che qualche esperto in materia mi dia una conferma su come si risolvono questi esercizi e quindi provo a dire le cose correttamente....
$int 4xe^(2x) dx$
Conviene scrivere subito quali saranno $u$ e $v$, facendo una tabella, ci sarà maggior chiarezza...
$u = 2x$ allora $u' = 2$
$v'= e^(2x) *2$ allora $v= e^(2x)$
So che la formula risolutiva è:
$intuv' dx= uv-intvu'dx$
E allora ditemi se scorrono bene questi step.......
Adesso basta sostituire basandosi sulla formula risolutiva.
$int 4xe^(2x) dx = 2xe^(2x)-inte^(2x)*2 dx$
Sapendo che il seguente è un integrale immediato:
$inte^(2x)*2 dx= e^(2x) + c$
Posso concludere che:
$int 4xe^(2x) dx = 2xe^(2x)- e^(2x) + c$
P.S. Io sto imparando adesso la matematica, ma preferisco avere un metodo chiaro e ordinato, secondo voi sono stato corretto?
Come vedete, ho preferito un volo diretto Brindisi-Roma, invece di Brindisi-Amsterdam-Roma.
Si, hai risolto in modo corretto, comunque questo è uno dei 1000 modi che puoi usare per risolvere l'integrale in cui è compreso anche il mio che ho postato prima.
La differenza dal mio svolgimento è che tu hai preferito applicare un metodo del calcolo integrale per calcolare l'integrale di $e^{2x}$ piuttosto di vedere l'immediatezza di un'integrale tanto semplice, si tratta solo di elasticità nei calcoli nulla di complicato.
La differenza dal mio svolgimento è che tu hai preferito applicare un metodo del calcolo integrale per calcolare l'integrale di $e^{2x}$ piuttosto di vedere l'immediatezza di un'integrale tanto semplice, si tratta solo di elasticità nei calcoli nulla di complicato.
"CaMpIoN":
Si, hai risolto in modo corretto, comunque questo è uno dei 1000 modi che puoi usare per risolvere l'integrale in cui è compreso anche il mio che ho postato prima.
Ok, è come dire che tutte le strade portano a Roma, allora io dico che tutti i voli portano a Roma
Esercizio 22
Proviamo con il seguente e speriamo che non sia un calvario
$int x^2lnxdx$
Utilizzo questa notazione:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)$
$f(x) = lnx$ allora $f'(x) = 1/x$
$g'(x)=x^2$ allora $g(x) = 1/3x^3$
Con questo schemino che ho fatto, torna facile effettuare le sostituzioni nella formula risolutiva. Segue:
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - int1/x*1/3x^3$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - int1/3x^2$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - 1/3intx^2$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - 1/3*1/3x^3$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - 1/9*x^3$
Che si potrebbe scrivere anche così:
$int x^2lnxdx = x^3/3(lnx - 1/3)$
Proviamo con il seguente e speriamo che non sia un calvario
$int x^2lnxdx$
Utilizzo questa notazione:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)$
$f(x) = lnx$ allora $f'(x) = 1/x$
$g'(x)=x^2$ allora $g(x) = 1/3x^3$
Con questo schemino che ho fatto, torna facile effettuare le sostituzioni nella formula risolutiva. Segue:
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - int1/x*1/3x^3$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - int1/3x^2$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - 1/3intx^2$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - 1/3*1/3x^3$
$int x^2lnxdx = lnx*1/3x^3 - 1/9*x^3$
Che si potrebbe scrivere anche così:
$int x^2lnxdx = x^3/3(lnx - 1/3)$
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