Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Esercizio 11
Ma nel seguente, che tipo di sostituzione si puo' fare?
$int(1)/(2sqrt(3x-1))dx$
Io ho provato a dare $t= sqrt(3x-1)$, ma non sto riuscendo a risolverlo!???
Ma nel seguente, che tipo di sostituzione si puo' fare?
$int(1)/(2sqrt(3x-1))dx$
Io ho provato a dare $t= sqrt(3x-1)$, ma non sto riuscendo a risolverlo!???
Non capisco perchè tu voglia sempre utilizzare la sostituzione...
In questo integrale si può andare un po' a intuito: qual è la derivata di $$\sqrt{3x-1}\quad \mbox{?}$$ La risposta è $$\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$$ Assomiglia alla funzione integranda? Direi proprio di sì! C'è solamente quel $3$ di troppo, motivo per cui il risultato dell'integrale sarà $$\frac{\sqrt{3x-1}}{3} + C$$
In questo integrale si può andare un po' a intuito: qual è la derivata di $$\sqrt{3x-1}\quad \mbox{?}$$ La risposta è $$\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$$ Assomiglia alla funzione integranda? Direi proprio di sì! C'è solamente quel $3$ di troppo, motivo per cui il risultato dell'integrale sarà $$\frac{\sqrt{3x-1}}{3} + C$$
Il mio testo consiglia il metodo della sostituzione, che è lo stesso del metodo che hai utilizzato tu, solo che io eseguo tutti gli step perchè sono poco pratico, mentre tu essendo un veterano sei rapidissimo arrivando subito alla giusta conclusione 
"Bad90":
mentre tu essendo un veterano
Va beh comunque con la sostituzione viene così: $$
\sqrt{3x-1} = t\quad\Rightarrow\quad x = \frac{t^2}{3} + \frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad dx = \frac{2}{3}t\ dt
$$ $$\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t}\frac{2}{3}t\ dt} = \frac{1}{3}\int{dt} = \frac{1}{3}t$$ Ri-sostituendo si ottiene $$\frac{1}{3}\sqrt{3x-1} + C$$
Esercizio 12
Ho il seguente integrale:
$ int(4-e^(sqrtx))/(sqrtx)dx $
Sempre con il metodo della sostituzione, smembro l'integrale in questo modo:
$ int(4)/(sqrtx)dx-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
$t= sqrtx$ quindi $d(sqrtx) = dt => dx = 2tdt$
Il primo integrale diventa:
$ int4*2tdt-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
$ 8inttdt-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
$ 8*1/2t^2-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
Il secondo integrale diventa:
$ 8*1/2t^2-e^t1/2t^2 $
Ma c'è qualcosa che sto sbagliando, perchè il testo dice che deve essere $2(4sqrtx - e^(sqrtx))+c$, dove sto sbagliando?????
Ho il seguente integrale:
$ int(4-e^(sqrtx))/(sqrtx)dx $
Sempre con il metodo della sostituzione, smembro l'integrale in questo modo:
$ int(4)/(sqrtx)dx-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
$t= sqrtx$ quindi $d(sqrtx) = dt => dx = 2tdt$
Il primo integrale diventa:
$ int4*2tdt-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
$ 8inttdt-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
$ 8*1/2t^2-int e^(sqrtx)/(sqrtx)dx $
Il secondo integrale diventa:
$ 8*1/2t^2-e^t1/2t^2 $
Ma c'è qualcosa che sto sbagliando, perchè il testo dice che deve essere $2(4sqrtx - e^(sqrtx))+c$, dove sto sbagliando?????
Allora: $$\sqrt{x} = t\quad\Rightarrow\quad x = t^2 \quad\Rightarrow\quad dx = 2t\ dt$$ L'integrale diventa $$\int{\frac{4-e^{t}}{t}2t\ dt} = 2\int{\left(4-e^{t}\right)\ dt} = 2\left(4t - e^t\right)$$ Ri-sostituisco e ottengo $$2\left(4\sqrt{x} - e^{\sqrt{x}}\right) + C$$
Grazie mille minomic, avevo mia figlia che stava svuotando i miei cassetti della scrivania e non riuscivo a concentrarmi
Prego, figurati!
Esercizio 13
Accipicchia, e questo come converrebbe risolverlo?
$int(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))dx$
Ho pensato di iniziare in questo modo:
$int((e^(2x) - 1)/(e^(x)))/((e^(2x) +1)/ (e^(x)))dx$
$int(e^(2x) - 1)/(e^(2x) +1)dx$
Ma poi come posso continuare
Solo che facendo in questo modo, mi sono incasinato un pochettino 
Ho fatto un'altra prova, ecco quì:
$int(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))dx$
$ int(e^x - 1/e^x)/(e^x + 1/e^x)dx $
$ t=e^x $ e allora $e^x dx=dt=>dx=dt/t$ sostituendo nell'integrale di partenza, avrò:
$ int(t - 1/t)/(t + 1/t)dt/t$
$ int(t^2 - 1)/(t^2 + 1)dt/t$
Facendo la divisione tra polinomi di $(t^2 - 1)/(t^2 + 1)$, arrivo ad avere $(t^2 +1 -2)/(t^2 + 1)$, quindi è come se stessi dicendo che si ha $ int1-2/(t^2 + 1)dt/t$.
Ma adesso, dove sto andando a finire 
Il testo dice che il risultato deve essere $ln(e^x - e^(-x)) + c$ , ma come faccio ad arrivare a questo risultato
Accipicchia, e questo come converrebbe risolverlo?
$int(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))dx$
Ho pensato di iniziare in questo modo:
$int((e^(2x) - 1)/(e^(x)))/((e^(2x) +1)/ (e^(x)))dx$
$int(e^(2x) - 1)/(e^(2x) +1)dx$
Ma poi come posso continuare
Solo che facendo in questo modo, mi sono incasinato un pochettino
Ho fatto un'altra prova, ecco quì:
$int(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))dx$
$ int(e^x - 1/e^x)/(e^x + 1/e^x)dx $
$ t=e^x $ e allora $e^x dx=dt=>dx=dt/t$ sostituendo nell'integrale di partenza, avrò:
$ int(t - 1/t)/(t + 1/t)dt/t$
$ int(t^2 - 1)/(t^2 + 1)dt/t$
Facendo la divisione tra polinomi di $(t^2 - 1)/(t^2 + 1)$, arrivo ad avere $(t^2 +1 -2)/(t^2 + 1)$, quindi è come se stessi dicendo che si ha $ int1-2/(t^2 + 1)dt/t$.
Ma adesso, dove sto andando a finire
Il testo dice che il risultato deve essere $ln(e^x - e^(-x)) + c$ , ma come faccio ad arrivare a questo risultato
Si può arrivare al risultato anche con i tuoi metodi; il più semplice però è $t=e^x+e^(-x)$
"giammaria":
Si può arrivare al risultato anche con i tuoi metodi; il più semplice però è $t=e^x+e^(-x)$
Quindi ciò che ho fatto io non è sbagliato!??!!
Come si potrebbe concludere con i miei metodi? Mi sono bloccato e non sto riuscendo a proseguire!
Adesso provo anche con il metodo che mi hai consigliato!
Ma non sto riuscendo ugualmente ad arrivare alla conclusione!
Provo ancora....
$int(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))dx$
$t=e^x+e^(-x)$
Se ricavo la derivata di $e^x+e^(-x)$ avrò $d(e^x+e^(-x))=e^x-e^(-x)=e^x-1/e^x$ e la derivata del denominatore, è uguale al numeratore, come faccio ad arrivare alla conclusione???
Allora mi trovo con un integrale immediato, cioè:
$int (f'(x))/(f(x))= log|f(x)|+c$
Infatti, potrei anche derivare il numeratore, arrivando a dire che la derivata di $e^x-e^(-x)$ avrò $d(e^x-e^(-x))=e^x+e^(-x)=e^x+1/e^x$
Il che mi permette di dire che il risultato è:
$int(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))dx= ln|(e^x + e^(-x))|+c$
Ma perchè il testo non mette il valore assoluto
Scrive in questo modo:
$ln(e^x + e^(-x))+c$
Perchè
Il testo non mette il valore assoluto perché è inutile; sia $e^x$ che $e^(-x)$ sono sempre positivi, quindi lo è anche la loro somma.
Quanto al proseguire coi tuoi metodi, vediamo il secondo (il primo è un po' più complicato), partendo da
$int(t^2-1)/(t(t^2+1))dt=int(A/t+(Bt+C)/(t^2+1))dt$
Deve quindi essere identicamente vero che
$(t^2-1)/(t(t^2+1))=A/t+(Bt+C)/(t^2+1)$
Do denominatore comune: $t^2-1=A(t^2+1)+t(Bt+C)$
Faccio i calcoli: $t^2-1=At^2+A+Bt^2+Ct$
Ordino e completo: $t^2+0t-1=(A+B)t^2-Ct+A$
Ma due polinomi sono identicamente uguali solo solo se hanno gli stessi coefficienti, quindi occorre che sia
${(1=A+B),(0=-C),(-1=A):}=>{(A=-1),(B=2),(C=0):}$
e quindi l'integrale diventa
$int((-1)/t+(2t)/(t^2+1))dt=-ln|t|+ln|t^2+1|+c=ln|(t^2+1)/t|+c=$
$=ln|t+1/t|+c=ln|e^x+e^(-x)|+c=ln(e^x+e^(-x))+c$
Quanto al proseguire coi tuoi metodi, vediamo il secondo (il primo è un po' più complicato), partendo da
$int(t^2-1)/(t(t^2+1))dt=int(A/t+(Bt+C)/(t^2+1))dt$
Deve quindi essere identicamente vero che
$(t^2-1)/(t(t^2+1))=A/t+(Bt+C)/(t^2+1)$
Do denominatore comune: $t^2-1=A(t^2+1)+t(Bt+C)$
Faccio i calcoli: $t^2-1=At^2+A+Bt^2+Ct$
Ordino e completo: $t^2+0t-1=(A+B)t^2-Ct+A$
Ma due polinomi sono identicamente uguali solo solo se hanno gli stessi coefficienti, quindi occorre che sia
${(1=A+B),(0=-C),(-1=A):}=>{(A=-1),(B=2),(C=0):}$
e quindi l'integrale diventa
$int((-1)/t+(2t)/(t^2+1))dt=-ln|t|+ln|t^2+1|+c=ln|(t^2+1)/t|+c=$
$=ln|t+1/t|+c=ln|e^x+e^(-x)|+c=ln(e^x+e^(-x))+c$
Penso proprio che non conviene utilizzare questi metodi che ho iniziato, meglio lasciar perdere e lasciare spazio alla rapidità del metodo che mi hai consigliato e che come hai potuto notare, sono riuscito a risolvere con una certa facilità!
Esercizio 14
Non mi è mai capitato un esercizio del genere, questo è il primo:
$ intx^3(e^(x^4)-e^(-x^4))dx $
Cosa conviene fare
E' un bel caos!
Ho pensato di dare $t=(e^(x^4)-e^(-x^4))$ 
Non mi è mai capitato un esercizio del genere, questo è il primo:
$ intx^3(e^(x^4)-e^(-x^4))dx $
Cosa conviene fare
E' un bel caos!
Ho pensato di dare $t=(e^(x^4)-e^(-x^4))$
Esegui la moltiplicazione, dividi in due integrali e credo venga abbastanza fattibile.
"burm87":
Esegui la moltiplicazione, dividi in due integrali e credo venga abbastanza fattibile.
Accipicchia, non avevo pensato di dividerlo in due!
Adesso provo e ti faccio sapere subito cosa riesco a combinare!
Allora, dividendo in due integrali, avrò:
$ intx^3e^(x^4)dx -intx^3e^(-x^4)dx $
E adesso, che cambio di variabile posso fare
E' il caso di dire che $e^(x^4)=t$
Si potrebbe scrivere in questo modo?
$ intx^3(t)dx -intx^3(1/t)dx $
E questo non penso si possa fare, in quanto ci sono due variabili!
Non sto proprio riuscendo
$ intx^3e^(x^4)dx -intx^3e^(-x^4)dx $
E adesso, che cambio di variabile posso fare
E' il caso di dire che $e^(x^4)=t$
Si potrebbe scrivere in questo modo?
$ intx^3(t)dx -intx^3(1/t)dx $
E questo non penso si possa fare, in quanto ci sono due variabili!
Non sto proprio riuscendo
Nessun cambio di variabile, è molto più facile: $inte^(f(x))f'(x)=e^(f(x))+c$.
Non sto proprio capendo come dici di fare! Potresti aiutarmi a capire???
Il risultato del testo è $1/4(e^(x^4)+e^(-x^4))$
Quello che dici è un integrale indefinito immediato!
Il risultato del testo è $1/4(e^(x^4)+e^(-x^4))$
Quello che dici è un integrale indefinito immediato!
"Bad90":
$ intx^3e^(x^4)dx$
Considero solo il primo: $x^3$ è quasi la derivata dell'esponente della $e$, ci manca solo un $4$ davanti, quindi metto un $1/4$ davanti all'integrale per poter avere un $4$ da portare all'interno:
$1/4int4x^3e^(x^4)dx$, a questo punto posso applicare la formula che ti ho postato prima e il risultato sarà $1/4(e^(x^4)+c)$.
Il secondo integrale è analogo, ti basta sistemare la costante in maniera opportuna..
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