Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
"maxsiviero":
Mi intrometto. Tu stesso hai scritto che
\[
\int\sin^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+c
\]
quanto potrà mai valere
\[
\frac{1}{3}\int\sin^{2}tdt
\]
Ad impostarla in quel modo, ci sono riuscito anche io, solo che dopo faccio un casino dopo, intendo questo:
$1/3intsen^2 t dt= 1/3(t-sent cost)+c$
E poi come devo continuare?
Cosa ci metto al posto di quella $t$ per arrivare al risultato del testo?
Ti sei perso \(\frac{1}{2}\) per strada. Il risultato è:
\[
\frac{1}{3}\int\sin^{2}dt=\frac{1}{6}(t-\sin t\cos t)+c
\]
Adesso devi sostituite a \(t=3x+1\)
\[
\frac{1}{3}\int\sin^{2}dt=\frac{1}{6}(t-\sin t\cos t)+c
\]
Adesso devi sostituite a \(t=3x+1\)
"6KIRA6":
Dalla trigonometria sai che :
$sin^2(t)=\frac{1-cos(2t)}{2}$
Con questo dovresti farcela.
Sto finendo con l'incasinarmi!
Ragazzi, vi chiedo per favore, ma voi come la risolvereste?
"maxsiviero":
Ti sei perso \(\frac{1}{2}\) per strada. Il risultato è:
\[
\frac{1}{3}\int\sin^{2}dt=\frac{1}{6}(t-\sin t\cos t)+c
\]
Adesso devi sostituite a \(t=3x+1\)
L'ho fatto, ma non riesco ad arrivare alla giusta conclusione! Tu come lo concluderesti???
Scusa ma forse ti stai perdendo in un bicchier d'acqua.
\[
\frac{1}{6}(t-\sin t\cos t)+c = \frac{1}{6}(3x+1-\sin (3x+1)\cos(3x+1))+c
\]
\[
\frac{1}{6}(t-\sin t\cos t)+c = \frac{1}{6}(3x+1-\sin (3x+1)\cos(3x+1))+c
\]
"maxsiviero":
Scusa ma forse ti stai perdendo in un bicchier d'acqua.
\[
\frac{1}{6}(t-\sin t\cos t)+c = \frac{1}{6}(3x+1-\sin (3x+1)\cos(3x+1))+c
\]
Ma forse non mi sono spiegato bene nei messaggi precedenti
Quello che hai scritto tu, l'ho fatto, ma come ci si arriva al seguente risultato?
$ 1/2x-1/12sen(6x+2)+c $
Ciò che hai fatto, non è nient'altro che una semplice sostituzione,
, allora come arriveresti alla soluzione che vuole il testo? Cioè questa? $ 1/2x-1/12sen(6x+2)+c $
Io non ci sono riuscito!
Ecco svelato l'arcano:
$2sin(t)cos(t)=sin(2t)$
da cui il risultato per $t=3x+1$.
Questa relazione deriva dalla formula di sommazione di angoli per il seno:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$2sin(t)cos(t)=sin(2t)$
da cui il risultato per $t=3x+1$.
Questa relazione deriva dalla formula di sommazione di angoli per il seno:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
Esercizio 32
Secondo voi, qual'è il miglior metodo per risolvere il seguente?
$inte^xcosx(6x+5)dx$
Secondo voi, qual'è il miglior metodo per risolvere il seguente?
$inte^xcosx(6x+5)dx$
$6x+5$ è l'argomento del coseno o una parentesi a parte?
Scusami, hai ragione, ho sbagliato a digitare!
Ecco l'integrale corretto:
$inte^xcos(6x+5)dx$
Ecco l'integrale corretto:
$inte^xcos(6x+5)dx$
Prova per parti.
Esatto fai per parti due volte e poi fai la ricorsione (o come si chiama).
Integrale definito, Ese 1
$ int_(-1)^(1) (3x^2-x/2+1) dx $
Ecco come si risolvono:
$ int_(-1)^(1) (3x^2-x/2+1) dx =[3x^3/3-x^2/(2*2)+x]_-1^1 = (1-1/4+1)-(-1-1/4-1)=> $
$ => (1-1/4+1)-(-1-1/4-1)=7/4-9/4=16/4=4 $
$ int_(-1)^(1) (3x^2-x/2+1) dx $
Ecco come si risolvono:
$ int_(-1)^(1) (3x^2-x/2+1) dx =[3x^3/3-x^2/(2*2)+x]_-1^1 = (1-1/4+1)-(-1-1/4-1)=> $
$ => (1-1/4+1)-(-1-1/4-1)=7/4-9/4=16/4=4 $
Integrale definito Ese. 2
$ int_(1/2)^(3) 1/(2x+3) dx $
Io sto cercando di risolverlo mediante sostituzione, $t=(2x+3)$ allora $d(2x+3)=dx2=dt=>dx=dt/2$
$ int_(1/2)^(3) 1/(2x+3) dx = int_(1/2)^(3) 1/t dt/2 =1/2int_(1/2)^(3) 1/t dt$
Adesso faccio in questo modo:
$1/2int_(1/2)^(3) 1/t dt = 1/2[ln|t|]_(1/2)^3$
$ 1/2[ln|t|]_(1/2)^3= 1/2[ln|(2x+3)|]_(1/2)^3$
Ma solo che poi non sto riuscendo a trovare il risultato corretto che mi da il testo, cioè $ln(3/2)$, perchè
Il calcolo finale è il seguente:
$1/2[ln|(2x+3)|]_(1/2)^3 = 1/2[ln9]-1/2[ln4] = 1/2[ln9-ln4]=1/2ln(9/4)$
$ int_(1/2)^(3) 1/(2x+3) dx $
Io sto cercando di risolverlo mediante sostituzione, $t=(2x+3)$ allora $d(2x+3)=dx2=dt=>dx=dt/2$
$ int_(1/2)^(3) 1/(2x+3) dx = int_(1/2)^(3) 1/t dt/2 =1/2int_(1/2)^(3) 1/t dt$
Adesso faccio in questo modo:
$1/2int_(1/2)^(3) 1/t dt = 1/2[ln|t|]_(1/2)^3$
$ 1/2[ln|t|]_(1/2)^3= 1/2[ln|(2x+3)|]_(1/2)^3$
Ma solo che poi non sto riuscendo a trovare il risultato corretto che mi da il testo, cioè $ln(3/2)$, perchè
Il calcolo finale è il seguente:
$1/2[ln|(2x+3)|]_(1/2)^3 = 1/2[ln9]-1/2[ln4] = 1/2[ln9-ln4]=1/2ln(9/4)$
Integrale definito Ese.3
Non sto capendo dove continuo a sbalgiare in questi esercizi che mi sembrano siano facili
$ int_(-1)^(2) (-1/3x^2+x+1/2) dx $
A me viene di risolverlo in questo modo:
$ int_(-1)^(2) (-1/3x^2+x+1/2) dx = [-1/9x^3+x^2/2+1/2x]_(-1)^2=>$
Ovviamente dovrò fare la solita differenza tra i due valori e allora:
$=> [-1/9x^3+x^2/2+1/2x]_(-1)^2 =[-8/9+4/2+2/2]-[1/9-1/2-1/2] $
$=>[-8/9+4/2+2/2]-[1/9-1/2-1/2] = [(-8+18+9)/9]-[(2-9-9)/18]=[(19)/9]-[(-16)/18]=[19/9+16/18] =27/9=3$
Perchè il testo mi dice che deve essere $2$
Non sto capendo dove continuo a sbalgiare in questi esercizi che mi sembrano siano facili
$ int_(-1)^(2) (-1/3x^2+x+1/2) dx $
A me viene di risolverlo in questo modo:
$ int_(-1)^(2) (-1/3x^2+x+1/2) dx = [-1/9x^3+x^2/2+1/2x]_(-1)^2=>$
Ovviamente dovrò fare la solita differenza tra i due valori e allora:
$=> [-1/9x^3+x^2/2+1/2x]_(-1)^2 =[-8/9+4/2+2/2]-[1/9-1/2-1/2] $
$=>[-8/9+4/2+2/2]-[1/9-1/2-1/2] = [(-8+18+9)/9]-[(2-9-9)/18]=[(19)/9]-[(-16)/18]=[19/9+16/18] =27/9=3$
Perchè il testo mi dice che deve essere $2$
Ti basta continuare:
$=1/2ln(3/2)^2=ln(3/2)$
Quando si fanno sostituzioni, queste vanno fatte anche sugli estremi di integrazione; in compenso, alla fine non occorre tornare ad $x$. A parte il fatto che di solito si fanno a mente le prime due righe che scriverò, si opera così:
- quando $x=1/2$ si ha $t=2*1/2+3=4$
- quando $x=3$ si ha $t=2*3+3=9$ quindi
$int_(1/2)^3 1/(2x+3)dx=int_4^9 1/t(dt)/2=1/2[ln|t|]_4^9=1/2(ln9-ln4)=...$
e la conclusione non cambia.
Nell'ultimo esercizio hai sbagliato un segno : la seconda parentesi deve contenere $1/9+1/2-1/2$
$=1/2ln(3/2)^2=ln(3/2)$
Quando si fanno sostituzioni, queste vanno fatte anche sugli estremi di integrazione; in compenso, alla fine non occorre tornare ad $x$. A parte il fatto che di solito si fanno a mente le prime due righe che scriverò, si opera così:
- quando $x=1/2$ si ha $t=2*1/2+3=4$
- quando $x=3$ si ha $t=2*3+3=9$ quindi
$int_(1/2)^3 1/(2x+3)dx=int_4^9 1/t(dt)/2=1/2[ln|t|]_4^9=1/2(ln9-ln4)=...$
e la conclusione non cambia.
Nell'ultimo esercizio hai sbagliato un segno : la seconda parentesi deve contenere $1/9+1/2-1/2$
MA come faccio a risolvere il seguente integrale?
$int(cosx)/(senx) dx +int(senx)/(cosx) dx =...$
$int(cosx)/(senx) dx +int(senx)/(cosx) dx =...$
In
$int(cosx)/(senx) dx$
prova a fare la sostituzione $sen x=t$.
Così
$cos x dx = dt$
e
$int(cosx)/(senx) dx=int 1/t dt$.
In
$int(senx)/(cosx) dx$
prova la sostituzione $cosx=t$.
Così
$-sen x dx = dt$.
$int(cosx)/(senx) dx$
prova a fare la sostituzione $sen x=t$.
Così
$cos x dx = dt$
e
$int(cosx)/(senx) dx=int 1/t dt$.
In
$int(senx)/(cosx) dx$
prova la sostituzione $cosx=t$.
Così
$-sen x dx = dt$.
Sei geniale....
Allora:
$int(cosx)/(senx) dx +int(senx)/(cosx) dx =...$
$int(cosx)/(senx) dx= int 1/t dt$
$int(senx)/(cosx) dx =-int 1/t dt$
$int(cosx)/(senx) dx +int(senx)/(cosx) dx =int 1/t dt -int 1/t dt = ln|senx| -ln|cosx|= ln|(senx)/(cosx)| +c = ln|tgx|+c$
Ma perchè il testo utilizza le formule di duplicazione e poi arriva alla conclusione che è $ ln|tg(x/2)|+c$
Allora:
$int(cosx)/(senx) dx +int(senx)/(cosx) dx =...$
$int(cosx)/(senx) dx= int 1/t dt$
$int(senx)/(cosx) dx =-int 1/t dt$
$int(cosx)/(senx) dx +int(senx)/(cosx) dx =int 1/t dt -int 1/t dt = ln|senx| -ln|cosx|= ln|(senx)/(cosx)| +c = ln|tgx|+c$
Ma perchè il testo utilizza le formule di duplicazione e poi arriva alla conclusione che è $ ln|tg(x/2)|+c$
Ma per quale motivo nel seguente integrale, non funziona una sostituzione?
$int1/(sqrt(a^2+x^2)) dx$
$int1/(sqrt(a^2+x^2)) dx$
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