Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Esercizio 23
Voi come risolvereste il seguente???
$int (2x-1)sen2xdx$
Avete qualche consiglio da potermi dare
Voi come risolvereste il seguente???
$int (2x-1)sen2xdx$
Avete qualche consiglio da potermi dare
Suggerimento: $g'(x)=sin2x$
Nel post precedente mancano molti $dx$ ed il $+c$, ma nel complesso è giusto.
Nel post precedente mancano molti $dx$ ed il $+c$, ma nel complesso è giusto.
Hai ragione, ho dimenticato i $dx$ per he' ho fatto una serie di copia e incolla, ti ringrazio per avermelo fatto notare! 
Ok per il consiglio dell'esercizio successivo, adesso privvedo a risolverlo!
Ok per il consiglio dell'esercizio successivo, adesso privvedo a risolverlo!
Allora, ricapitolando si avrà per l'esercizio 23
$int (2x-1)sen2xdx$
Utilizzo questa notazione:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (2x-1)$ allora $f'(x) = 2$
$g'(x)=sen2x$ allora $g(x) = -cos2x$
Non so com'è, ma non sto riuscendo ad impostare la giusta soluzione, perchè sto riprovando più volte, ma non riesco ad arrivare alla giusta soluzione.
Dunque.....
$int (2x-1)sen2xdx = (2x-1)*(-cos2x) - int2*(-cos2x)dx$
$int (2x-1)sen2xdx = (2x-1)*(-cos2x) + 2int (cos2x)dx$
$int (2x-1)sen2xdx = (2x-1)*(-cos2x) + 2sen2x $
$int (2x-1)sen2xdx = 2xcos2x-cos2x + 2sen2x $
Ma come fa il testo ad arrivare a dire che la soluzione è:
$-1/2{(2x-1)cos2x-sen2x}+c$
Dove sto sbagliando
$int (2x-1)sen2xdx$
Utilizzo questa notazione:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (2x-1)$ allora $f'(x) = 2$
$g'(x)=sen2x$ allora $g(x) = -cos2x$
Non so com'è, ma non sto riuscendo ad impostare la giusta soluzione, perchè sto riprovando più volte, ma non riesco ad arrivare alla giusta soluzione.
Dunque.....
$int (2x-1)sen2xdx = (2x-1)*(-cos2x) - int2*(-cos2x)dx$
$int (2x-1)sen2xdx = (2x-1)*(-cos2x) + 2int (cos2x)dx$
$int (2x-1)sen2xdx = (2x-1)*(-cos2x) + 2sen2x $
$int (2x-1)sen2xdx = 2xcos2x-cos2x + 2sen2x $
Ma come fa il testo ad arrivare a dire che la soluzione è:
$-1/2{(2x-1)cos2x-sen2x}+c$
Dove sto sbagliando
Sbagli con la primitiva di $g'(x)$ se $g'(x)=\sin (2x)$ allora $g(x)=-\frac{\cos (2x)}{2}$, ecco come l'ho trovata: hai
$d/dx p(l(x))=p'(l(x)) \cdot l'(x)$ con $p'(x)=\sin x$ quindi $p(x)=-\cos x$ poi $l(x)=2x$ quindi $l'(x)=2$.
Sostituendo
$(d/dx p(l(x)))/(l'(x))=p'(l(x)) \quad \to \quad (d/dx (-\cos(2x)))/2=\sin(2x)$
$-(d\cos(2x))/2=\sin(2x)dx$
Integrando ad entrambi i membri ti viene il risultato
$-\cos(2x)/2=\int \sin(2x)dx$
Usa questo e ti viene il risultato corretto, forse il metodo che ho usato per dimostrarti la primitiva è un po' strano, ma è l'unico modo che conosco. Se non sai di cosa si tratta aspetta qualcun'altro più esperto con un metodo più semplice.
Comunque prima di concludere che $g(x)=-\cos(2x)$ prova anche a vedere che con $g'(x)$ hai $g'(x)=\sin(2x)$, che nel tuo caso non è così, infatti $g'(x)=2\sin(2x)$, cio' che voglio dire e che calcolato l'integrale indefinito verifica che derivando la funzione ottenuta riesci a ritrovare la funzione sotto integrale, se è così allora il risultato è sicuramente giusto, altrimenti hai commesso un'errore come per $g(x)$.
$d/dx p(l(x))=p'(l(x)) \cdot l'(x)$ con $p'(x)=\sin x$ quindi $p(x)=-\cos x$ poi $l(x)=2x$ quindi $l'(x)=2$.
Sostituendo
$(d/dx p(l(x)))/(l'(x))=p'(l(x)) \quad \to \quad (d/dx (-\cos(2x)))/2=\sin(2x)$
$-(d\cos(2x))/2=\sin(2x)dx$
Integrando ad entrambi i membri ti viene il risultato
$-\cos(2x)/2=\int \sin(2x)dx$
Usa questo e ti viene il risultato corretto, forse il metodo che ho usato per dimostrarti la primitiva è un po' strano, ma è l'unico modo che conosco. Se non sai di cosa si tratta aspetta qualcun'altro più esperto con un metodo più semplice.
Comunque prima di concludere che $g(x)=-\cos(2x)$ prova anche a vedere che con $g'(x)$ hai $g'(x)=\sin(2x)$, che nel tuo caso non è così, infatti $g'(x)=2\sin(2x)$, cio' che voglio dire e che calcolato l'integrale indefinito verifica che derivando la funzione ottenuta riesci a ritrovare la funzione sotto integrale, se è così allora il risultato è sicuramente giusto, altrimenti hai commesso un'errore come per $g(x)$.
La vedo un pò complicata, aspettiamo qualche altra risposta
Cosa hai sbagliato te l'ha già detto CaMpIoN, sbagli a fare la primitiva del coseno. Io anche qua svolgerei il prodotto e poi farei i due integrali separatamente.
"burm87":
Cosa hai sbagliato te l'ha già detto CaMpIoN, sbagli a fare la primitiva del coseno. Io anche qua svolgerei il prodotto e poi farei i due integrali separatamente.
Si, ho visto che il nostro amico ha saputo consigliarmi, solo che non riesco a capire gli step risolutivi della primitiva del $g'(x) = sen2x$. Come si risolve? Ho visto che lui ha dato la soluzione, ma vorrei capire meglio il ragionamento che si fa!
Per calcolare
$int (2x-1)sen2xdx$,
puoi porre
$2x=t$,
da cui
$dx=1/2dt$.
Allora
$int (2x-1)sen2xdx=1/2int (t-1)sent dt=1/2[int t sent dt - int sent dt]$.
Ora
$int sent dt=-cos t$
e
$int t sent dt$
si può calcolare per parti:
$int t sent dt=-cos t *t-int (-cos t)*1dt=$
$-tcos t+int cos t dt=-tcos t+sen t$.
Quindi, concludendo,
$int (2x-1)sen2xdx=1/2[int t sent dt - int sent dt]=$
$1/2[-tcos t+sen t+cost]+c=1/2[(1-t)cost+sent]+c=$
$1/2[(1-2x)cos2x+sen2x]+c$
$int (2x-1)sen2xdx$,
puoi porre
$2x=t$,
da cui
$dx=1/2dt$.
Allora
$int (2x-1)sen2xdx=1/2int (t-1)sent dt=1/2[int t sent dt - int sent dt]$.
Ora
$int sent dt=-cos t$
e
$int t sent dt$
si può calcolare per parti:
$int t sent dt=-cos t *t-int (-cos t)*1dt=$
$-tcos t+int cos t dt=-tcos t+sen t$.
Quindi, concludendo,
$int (2x-1)sen2xdx=1/2[int t sent dt - int sent dt]=$
$1/2[-tcos t+sen t+cost]+c=1/2[(1-t)cost+sent]+c=$
$1/2[(1-2x)cos2x+sen2x]+c$
"chiaraotta":
Per calcolare
$int (2x-1)sen2xdx$,
puoi porre
$2x=t$,
da cui
$dx=1/2dt$.
Allora ....
Grandiosa....., hai utilizzato il metodo per sostituzione che è senz'altro più facile da comprendere
Ti ringrazio!
Un cannone per ammazzare un moscerino! Ma passi: meglio così che fare errori.
"giammaria":
Un cannone per ammazzare un moscerino!
Esercizio 24
$int 3xe^(3x)dx$
Starò facendo qualche errore, perchè non arrivo alla giusta conclusione. Ecco come ho impostato le funzioni e primitive:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=3e^(3x)$ allora $g(x) = e^(3x)$
$int 3xe^(3x)dx = xe^(3x)-int1*e^(3x)dx$
Scusate, ma quanto vale il seguente integrale
$int1*e^(3x)dx$
Che io sappia, vale:
$int1*e^(3x)dx = e^(3x)+c$
Giusto?
Ma come mai non arrivo al giusto risultato che deve essere:
$ (e^(3x)(3x-1))/3+c $
Per caso, se vedo un 3 all'interno dell'integrale, nel risolverlo devo fare così?
$int 3xe^(3x)dx$
$int 3xe^(3x)dx = 1/3int3xe^(3x)dx$
$int 3xe^(3x)dx$
Starò facendo qualche errore, perchè non arrivo alla giusta conclusione. Ecco come ho impostato le funzioni e primitive:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=3e^(3x)$ allora $g(x) = e^(3x)$
$int 3xe^(3x)dx = xe^(3x)-int1*e^(3x)dx$
Scusate, ma quanto vale il seguente integrale
$int1*e^(3x)dx$
Che io sappia, vale:
$int1*e^(3x)dx = e^(3x)+c$
Giusto?
Ma come mai non arrivo al giusto risultato che deve essere:
$ (e^(3x)(3x-1))/3+c $
Per caso, se vedo un 3 all'interno dell'integrale, nel risolverlo devo fare così?
$int 3xe^(3x)dx$
$int 3xe^(3x)dx = 1/3int3xe^(3x)dx$
Tu stesso hai scritto
quindi
$inte^(3x)dx=1/3int3e^(3x)dx=1/3e^(3x)+c$
La tua ultima riga è sbagliata; probabilmente volevi scrivere qualcos'altro.
$g'(x)=3e^(3x)$ allora $g(x) = e^(3x)$
quindi
$inte^(3x)dx=1/3int3e^(3x)dx=1/3e^(3x)+c$
La tua ultima riga è sbagliata; probabilmente volevi scrivere qualcos'altro.
Quindi, rivedendo l'errore....
$int 3xe^(3x)dx$
Poi comincio a risolverlo:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=3e^(3x)$ allora $g(x) = e^(3x)$
$int 3xe^(3x)dx = xe^(3x)-int1*e^(3x)dx$
Sapendo che:
$inte^(3x)dx=1/3int3e^(3x)dx=1/3e^(3x)+c$
Allora:
$int 3xe^(3x)dx = xe^(3x)-1/3e^(3x)+c$
$int 3xe^(3x)dx = (e^(3x)(3x-1))/3+c $
$int 3xe^(3x)dx$
Poi comincio a risolverlo:
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=3e^(3x)$ allora $g(x) = e^(3x)$
$int 3xe^(3x)dx = xe^(3x)-int1*e^(3x)dx$
Sapendo che:
$inte^(3x)dx=1/3int3e^(3x)dx=1/3e^(3x)+c$
Allora:
$int 3xe^(3x)dx = xe^(3x)-1/3e^(3x)+c$
$int 3xe^(3x)dx = (e^(3x)(3x-1))/3+c $
Se non erro, gli integrali godono della seguente prorpietà, giusto?
$int(x+3)e^(x-1)dx=int(x+3)*inte^(x-1)dx$
Vero
$int(x+3)e^(x-1)dx=int(x+3)*inte^(x-1)dx$
Vero
No, altrimenti perché utilizzare l'integrazione per parti. L'integrazione è distributiva solo rispetto alla somma non rispetto al prodotto una cosa che è plausibile trattandosi di sommatorie convergenti.
Esercizio 25
Sto cercando di risolvere il seguente:
$int(x+3)e^(x-1)dx$
Mi sto incasinando nell'impostare le derivate e le funzioni. Cosa ne dite della seguente impostazione?
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (x+3)$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^(x-1)$ allora $g(x) = e^(x-1)$
E allora non sto riuscendo proprio a risolverlo!
Potreste darmi qualche dritta in merito a come trattare questo integrale
Arrivo sempre a questo punto:
$int (x+3)e^(x-1) dx = xe^(x-1)-inte^(x-1) dx$
Se ho fatto bene a scrivere questo ultimo passaggio, come devo fare a continuare?????
Sto cercando di risolvere il seguente:
$int(x+3)e^(x-1)dx$
Mi sto incasinando nell'impostare le derivate e le funzioni. Cosa ne dite della seguente impostazione?
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (x+3)$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^(x-1)$ allora $g(x) = e^(x-1)$
E allora non sto riuscendo proprio a risolverlo!
Potreste darmi qualche dritta in merito a come trattare questo integrale
Arrivo sempre a questo punto:
$int (x+3)e^(x-1) dx = xe^(x-1)-inte^(x-1) dx$
Se ho fatto bene a scrivere questo ultimo passaggio, come devo fare a continuare?????
E' identico al precedente.
"burm87":
E' identico al precedente.
Accipicchia, vorresti dire che si continua in questo modo?
$int (x+3)e^(x-1) dx = (x+3)xe^(x-1)-inte^(x-1) dx$
$int (x+3)e^(x-1) dx = (x+3)xe^(x-1)-1/(x-1) *e^(x-1) +c$
E quindi si può scrivere in forma un po più compatta:
$int (x+3)e^(x-1) dx = (x+3)xe^(x-1)-(e^(x-1) )/(x-1) +c$
Ma così continuando, non arriverò mai al corretto risultato che mi da il testo, cioè:
$e^(x-1)*x+2e^(x-1)+c$
Dove sto sbagliando??????
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