Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Esercizio 17
Adesso cercherò di fare bene con il seguente:
$int cos^2xsenx dx$
In questo caso il testo mi consiglia di fare un cambio di variabile $t=cosx$.
Allora $d(cosx) = -senx=> dx -senx=dt=> dx=-dt(sent)$
$int t^2sent -dt/(sent)$
Non sono sicurissimo che si possa scrivere $senx = sent$ ma non sono riuscito a pensare a nient'altro, anche perchè non volevo vedere due variabili differenti nello stesso integrale! Chiedo a voi una conferma su cosa potrei fare in questa circostanza!
In attesa, continuo a risolverlo come stavo facendo:
$int t^2sent -dt/(sent)$
$int t^2-dt$
$-1/3t^3+c$
E arriverò alla conclusione che:
$-1/3(cosx)^3+c$
Che si potrà scriverlo anche in questo modo:
$-1/3cos^3x+c$
Amici, chiedo a voi una conferma su ciò che ho fatto, perchè non so se è una casualità, ma mi trovo con il risultato del testo!
Adesso cercherò di fare bene con il seguente:
$int cos^2xsenx dx$
In questo caso il testo mi consiglia di fare un cambio di variabile $t=cosx$.
Allora $d(cosx) = -senx=> dx -senx=dt=> dx=-dt(sent)$
$int t^2sent -dt/(sent)$
Non sono sicurissimo che si possa scrivere $senx = sent$ ma non sono riuscito a pensare a nient'altro, anche perchè non volevo vedere due variabili differenti nello stesso integrale!
Chiedo a voi una conferma su cosa potrei fare in questa circostanza!In attesa, continuo a risolverlo come stavo facendo:
$int t^2sent -dt/(sent)$
$int t^2-dt$
$-1/3t^3+c$
E arriverò alla conclusione che:
$-1/3(cosx)^3+c$
Che si potrà scriverlo anche in questo modo:
$-1/3cos^3x+c$
Amici, chiedo a voi una conferma su ciò che ho fatto, perchè non so se è una casualità, ma mi trovo con il risultato del testo!
Esercizio 18
Ho risolto il seguente integrale, solo che non capisco il perchè non mi trovo precisamente con il risultato del testo.
$int(cosx)/(2+3senx)$
Nel risolverla, ho fatto in questo modo:
$t=senx$ allora $d(senx) = dxcosx=dt=> dx=dt/(cost)$
Si arriva semplicemente alla seguente:
$int(cost)/(2+3t)*dt/(cost)$
Facendo varie prove, mi sono reso conto che non è corretto pensare al cambio di variabile nel modo che ho fatto io, perchè devo consoderare per forza $t=3senx$
Non posso fare a meno di considerare quella costante $3$
Infatti, essendo costretto a considerare quel $3$, si arriva alla conclusione corretta, ecco qui:
$t=3senx$allora $d(3senx) = 3dxcosx=dt=> dx=dt/(3cost)$
$int(cost)/(2+t)*dt/(3cost)$
Si arriva a dire che $1/3ln|(2+t)|+c$ che con il cambio di variabile sarà $1/3ln|(2+3senx)|+c$.
Ho risolto il seguente integrale, solo che non capisco il perchè non mi trovo precisamente con il risultato del testo.
$int(cosx)/(2+3senx)$
Nel risolverla, ho fatto in questo modo:
$t=senx$ allora $d(senx) = dxcosx=dt=> dx=dt/(cost)$
Si arriva semplicemente alla seguente:
$int(cost)/(2+3t)*dt/(cost)$
Facendo varie prove, mi sono reso conto che non è corretto pensare al cambio di variabile nel modo che ho fatto io, perchè devo consoderare per forza $t=3senx$
Non posso fare a meno di considerare quella costante $3$ Infatti, essendo costretto a considerare quel $3$, si arriva alla conclusione corretta, ecco qui:
$t=3senx$allora $d(3senx) = 3dxcosx=dt=> dx=dt/(3cost)$
$int(cost)/(2+t)*dt/(3cost)$
Si arriva a dire che $1/3ln|(2+t)|+c$ che con il cambio di variabile sarà $1/3ln|(2+3senx)|+c$.
Era corretta anche senza quel $3$. Quando arrivi a $$\int{\frac{1}{2+3t}\ dt}$$ lo puoi vedere come $$\frac{1}{3}\int{\frac{3}{2+3t}\ dt} = \frac{1}{3}\ln\left| 2+3t\right|$$ Con la sostituzione si ritrova il risultato corretto.
E si, con il giochetto del moltiplicare e dividere, allora si 
Esercizio 19
$int(1+senx)/(x-cosx)^2$
Ho pensato di utilizzare qualche integrale immediato, ma anche in questo penso prorpio che non posso fare a meno di un cambio di variabile, vero??
La prima cosa che mi viene in mente è $t=(x-cosx)^2$, ma solo che quando faccio la derivata, mi viene un qualcosa di troppo lungo, cioè $d(x-cosx)^2=2(x-cosx)*(1+senx) => dx= dt/(2(t-cost)*(1+sent))$
E' possibile questo???
Non so se è corretto ciò che ho fatto, so che non sto riuscendo a risolverlo
Avete qualche consiglio 
$int(1+senx)/(x-cosx)^2$
Ho pensato di utilizzare qualche integrale immediato, ma anche in questo penso prorpio che non posso fare a meno di un cambio di variabile, vero??
La prima cosa che mi viene in mente è $t=(x-cosx)^2$, ma solo che quando faccio la derivata, mi viene un qualcosa di troppo lungo, cioè $d(x-cosx)^2=2(x-cosx)*(1+senx) => dx= dt/(2(t-cost)*(1+sent))$
E' possibile questo???
Non so se è corretto ciò che ho fatto, so che non sto riuscendo a risolverlo
Avete qualche consiglio
Puoi notare che $$D\left[x-\cos x\right] = 1 + \sin x$$ e cioè proprio il numeratore!
"minomic":
Puoi notare che $$D\left[x-\cos x\right] = 1 + \sin x$$ e cioè proprio il numeratore!
E quindi si può utilizzare qualche integrale immediato?
Non sto capendo come risolverlo
Certamente! $$\int{f'\left(x\right)\left[f\left(x\right)\right]^{\alpha}\ dx} = \frac{\left[f\left(x\right)\right]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$$ Nel nostro caso abbiamo $$\int{\left(1+\sin x\right)\left(x-\cos x\right)^{-2}\ dx} = \mbox{???}$$ 
Accipicchia, non mi ero reso conto di questo integrale che mi sta capitando spesso!
Ti ringrazio per avermelo fatto notare
E quindi abbiamo:
$int(1+senx)*(x-cosx)^(-2)dx= ((x-cosx)^(-2+1))/(-2+1)+c=-1/(x-cosx)+c$
Ti ringrazio per avermelo fatto notare
E quindi abbiamo:
$int(1+senx)*(x-cosx)^(-2)dx= ((x-cosx)^(-2+1))/(-2+1)+c=-1/(x-cosx)+c$
Adesso basta con questi integrali indefiniti, vado avanti con l'integrazione per parti, prendo un bel caffè e si riparte 
Ma se nell'integrazione per parti del seguente integrale:
$xsenxdx$
Se si sceglie $u=senx$ e $v'=x$, si arriva al seguente:
$intxsenx dx= 1/2x^2senx-int1/2x^2cosxdx$
Ma quali sarebbero stati gli step sin dall'inizio?
L'integrazione per parti, prevede la seguente formula risolutiva:
$intuv' dx= uv-intvu'dx$
Dunque, vedo di far chiarezza su ciò che è scritto all'interno di questo integrale....
Al primo membro ho l'incognita $x$ che è la derivata di $1/2x^2$, giusto?
Sempre nel primo membro ho $senx$ che non viene ne integrata e ne derivata e viene trascritta al secondo membro, cioè $..=1/2x^2senx-...$ giusto?
Si potrebbe fare maggior chiarezza in merito a questo caso????
$xsenxdx$
Se si sceglie $u=senx$ e $v'=x$, si arriva al seguente:
$intxsenx dx= 1/2x^2senx-int1/2x^2cosxdx$
Ma quali sarebbero stati gli step sin dall'inizio?
L'integrazione per parti, prevede la seguente formula risolutiva:
$intuv' dx= uv-intvu'dx$
Dunque, vedo di far chiarezza su ciò che è scritto all'interno di questo integrale....
Al primo membro ho l'incognita $x$ che è la derivata di $1/2x^2$, giusto?
Sempre nel primo membro ho $senx$ che non viene ne integrata e ne derivata e viene trascritta al secondo membro, cioè $..=1/2x^2senx-...$ giusto?
Si potrebbe fare maggior chiarezza in merito a questo caso????
E' molto semplice: hai scelto male il fattor differenziale e come conseguenza ottieni un integrale ancora più complicato. Capita spesso a chi è alle prime armi; sapendolo, il metodo è cancellare tutto e scegliere come fattor differenziale l'altro.
Ho scelto volutamente la strada piu' difficile, volevo vedere dove si arrivava, tutto qui'!
Sara' che sto fadendo un po' di confusione, ma quanto fa il seguente integrale?
$int lnx dx$
Allora, so che $intdx= x+c$ giusto?
Ma quanto fa $int lnx dx$????
$int lnx dx$
Allora, so che $intdx= x+c$ giusto?
Ma quanto fa $int lnx dx$????
Anche qua integrazione per parti e non hai neanche il dubbio su quale funzione integrare, $lnx$ non lo sai integrare quindi non ti resta che integrare per prima la funzione $1$ che moltiplica il tuo logaritmo. Ottieni:
$intlnxdx=x*lnx-intx*1/xdx$. Lascio a te concludere.
$intlnxdx=x*lnx-intx*1/xdx$. Lascio a te concludere.
E si, e' un dubbio che mi e' venuto mentre sto vedendo le integrazioni per parti, infatti fara':
$intlnxdx=x*lnx-intx*1/xdx$
$intlnxdx=x*lnx-x +c$
E' corretto?
$intlnxdx=x*lnx-intx*1/xdx$
$intlnxdx=x*lnx-x +c$
E' corretto?
Direi proprio di si!
Sì, comunque puoi sempre fare la verifica: derivi il risultato che trovi e vedi se è uguale alla funzione integranda.
Ok, adesso faccio la verifica!
Esercizio 20
Ecco, questo è praticamente lo stesso di ciò che abbiamo detto negli ultimi messaggi:
$int2lnxdx$
Integrazione per parti:
$intuv' dx= uv-intvu'dx$
$2lnxdx= 2(lnx*x-intx*1/xdx)=2(lnx*x-x+c)=2xlnx-2x+c$
Ecco, questo è praticamente lo stesso di ciò che abbiamo detto negli ultimi messaggi:
$int2lnxdx$
Integrazione per parti:
$intuv' dx= uv-intvu'dx$
$2lnxdx= 2(lnx*x-intx*1/xdx)=2(lnx*x-x+c)=2xlnx-2x+c$
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