Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
"Bad90":
[quote="burm87"]E' identico al precedente.
Accipicchia, vorresti dire che si continua in questo modo?
$int (x+3)e^(x-1) dx = (x+3)xe^(x-1)-inte^(x-1) dx$
[/quote]
Per metti quella $x$ tra $(x+3)$ e la $e$? Non ci va. Toglila e vedrai che viene.
Porca miseria, il caldo fa brutti scherzi!
Ricapitoliamo.....
$int(x+3)e^(x-1)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (x+3)$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^(x-1)$ allora $g(x) = e^(x-1)$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-inte^(x-1)dx$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-(e^(x-1))/(x-1) +c$
Scusami, ma come fai a dire che verrà il risultato?
Se io continuo a risolverlo, arrivo al seguente:
$int (x+3)e^(x-1)dx = (e^(x-1)(x+2)-e^(x-1))/(x-1) +c$
Il testo dice che deve essere:
$e^(x-1)(x+2)+c$
Cosa sto combinando che sto sbagliando ancora?????
$int(x+3)e^(x-1)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (x+3)$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^(x-1)$ allora $g(x) = e^(x-1)$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-inte^(x-1)dx$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-(e^(x-1))/(x-1) +c$
Scusami, ma come fai a dire che verrà il risultato?
Se io continuo a risolverlo, arrivo al seguente:
$int (x+3)e^(x-1)dx = (e^(x-1)(x+2)-e^(x-1))/(x-1) +c$
Il testo dice che deve essere:
$e^(x-1)(x+2)+c$
Cosa sto combinando che sto sbagliando ancora?????
Ora la prima parte è giusta ed hai sbagliato il secondo integrale.
"burm87":
Ora la prima parte è giusta ed hai sbagliato il secondo integrale.
Per favore, potresti farmi vedere cosa avrei dovuto fare? Sono stremato
No! È facilissimo e ne hai già fatti tanti così. Prenditi una pausa e rifallo più tardi in caso.
Aspetta, forse $inte^(x-1)dx= e^(x-1)+c$
Vero?????
Vero?????
....
Non capisco perchè ho utilizzato la stessa regola che ho utilizzato in un precedente esercizio, cioè:
$int e^(2x)dx=1/2e^(2x)+c$
PErchè non si può fare così in questo che segue?
$inte^(x-1)dx = (e^(x-1))/(x-1) +c$
$int e^(2x)dx=1/2e^(2x)+c$
PErchè non si può fare così in questo che segue?
$inte^(x-1)dx = (e^(x-1))/(x-1) +c$
Hai fatto due cose diverse, nel primo caso allora avresti dovuto mettere al denominatore $2x$? No! A te davanti alla $e$ serve la derivata del suo esponente, nel primo caso era $2$ quindi hai messo fuori $1/2$ per avere il $2$ dentro; nel secondo caso la derivata dell'esponente è $1$ quindi non ti serve fare nulla.
In sostanza, l'esercizio è stato risolto correttamente
E allora si che mi viene:
$int(x+3)e^(x-1)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (x+3)$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^(x-1)$ allora $g(x) = e^(x-1)$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-inte^(x-1)dx$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-e^(x-1) +c$
$int (x+3)e^(x-1)dx = e^(x-1)((x+3)-1) +c$
$int (x+3)e^(x-1)dx = e^(x-1)(x+2) +c$
Infatti il testo dice che deve essere:
$e^(x-1)(x+2)+c$
Cosa ne dici
$int(x+3)e^(x-1)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = (x+3)$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^(x-1)$ allora $g(x) = e^(x-1)$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-inte^(x-1)dx$
$int (x+3)e^(x-1)dx = (x+3)e^(x-1)-e^(x-1) +c$
$int (x+3)e^(x-1)dx = e^(x-1)((x+3)-1) +c$
$int (x+3)e^(x-1)dx = e^(x-1)(x+2) +c$
Infatti il testo dice che deve essere:
$e^(x-1)(x+2)+c$
Cosa ne dici
Esercizio 26
$intx^3e^xdx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x^3$ allora $f'(x) = 3x^2$
$g'(x)=e^x$ allora $g(x) = e^x$
Penso prorpio che questo esercizio è uno di quelli che ha bisogno di più di una integrazione per parti, ecco la dimostrazione:
$intx^3e^xdx = x^3e^x-int 3x^2e^xdx$
Posso portare fuori quel $3$ del secondo integrale:
$intx^3e^xdx = x^3e^x-3 int x^2e^xdx$
Tratto il secondo integrale per parti:
$int x^2e^xdx$
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 2x$
$g'(x)=e^x$ allora $g(x) = e^x$
$int x^2e^xdx= x^2e^x-2 int xe^xdx$
Tratto il secondo integrale, ancora, per parti:
$int xe^xdx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^x$ allora $g(x) = e^x$
$int xe^xdx = xe^x-inte^x*dx$
$int xe^xdx = xe^x-e^x +c$
Ma viene su un caos
Adesso bisogna compattare tutti gli integrali calcolati:
1) $intx^3e^xdx = x^3e^x-int 3x^2e^xdx$
$intx^3e^xdx = x^3e^x-3int x^2e^xdx$
2) $intx^3e^xdx=x^3e^x-3{x^2e^x-2intxe^xdx}$
3) $intx^3e^xdx=x^3e^x-3{x^2e^x-2[xe^x-e^x]}+c$
Adesso posso fare il prodotto tra i vari elementi:
$intx^3e^xdx=x^3e^x-3{x^2e^x-2xe^x+2e^x}+c$
$intx^3e^xdx=(x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x)+c$
Raccogliendo a fattor comune:
$intx^3e^xdx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+c$
P.S. Ma è possibile che bisogna fare un tutto questo calvario per arrivare alla soluzione? Non esiste un metodo che abbrevi la soluzione di questi integrali?????
$intx^3e^xdx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x^3$ allora $f'(x) = 3x^2$
$g'(x)=e^x$ allora $g(x) = e^x$
Penso prorpio che questo esercizio è uno di quelli che ha bisogno di più di una integrazione per parti, ecco la dimostrazione:
$intx^3e^xdx = x^3e^x-int 3x^2e^xdx$
Posso portare fuori quel $3$ del secondo integrale:
$intx^3e^xdx = x^3e^x-3 int x^2e^xdx$
Tratto il secondo integrale per parti:
$int x^2e^xdx$
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 2x$
$g'(x)=e^x$ allora $g(x) = e^x$
$int x^2e^xdx= x^2e^x-2 int xe^xdx$
Tratto il secondo integrale, ancora, per parti:
$int xe^xdx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=e^x$ allora $g(x) = e^x$
$int xe^xdx = xe^x-inte^x*dx$
$int xe^xdx = xe^x-e^x +c$
Ma viene su un caos
Adesso bisogna compattare tutti gli integrali calcolati:
1) $intx^3e^xdx = x^3e^x-int 3x^2e^xdx$
$intx^3e^xdx = x^3e^x-3int x^2e^xdx$
2) $intx^3e^xdx=x^3e^x-3{x^2e^x-2intxe^xdx}$
3) $intx^3e^xdx=x^3e^x-3{x^2e^x-2[xe^x-e^x]}+c$
Adesso posso fare il prodotto tra i vari elementi:
$intx^3e^xdx=x^3e^x-3{x^2e^x-2xe^x+2e^x}+c$
$intx^3e^xdx=(x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x)+c$
Raccogliendo a fattor comune:
$intx^3e^xdx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+c$
P.S. Ma è possibile che bisogna fare un tutto questo calvario per arrivare alla soluzione? Non esiste un metodo che abbrevi la soluzione di questi integrali?????
Il caos si riduce abbastanza se i calcoli (gli stessi che hai fatto tu) sono impaginati nel modo abituale. Eccolo:
$intx^3e^xdx=x^3e^xdx-int3x^2e^xdx=x^3e^x-3(x^2e^x-int2xe^xdx)=$
$=x^3e^x-3x^2e^x+6(xe^x-inte^xdx)=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+c=$
$=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+c$
A parte questo, si potrebbe trovare un metodo diverso per quell'integrazione; capita però molto di rado di doverlo applicare e quindi non ne vale la pena.
$intx^3e^xdx=x^3e^xdx-int3x^2e^xdx=x^3e^x-3(x^2e^x-int2xe^xdx)=$
$=x^3e^x-3x^2e^x+6(xe^x-inte^xdx)=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+c=$
$=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+c$
A parte questo, si potrebbe trovare un metodo diverso per quell'integrazione; capita però molto di rado di doverlo applicare e quindi non ne vale la pena.
Esercizio 27
$int2x^3e^(x^2)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 3x^2$
$g'(x)=2xe^(x^2)$ allora $g(x) = e^(x^2)$
Non faccio tutti i calcoli, ma avrei bisogno di qualche consiglio in merito all'impostazione!
Cosa ne dite?
$int2x^3e^(x^2)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 3x^2$
$g'(x)=2xe^(x^2)$ allora $g(x) = e^(x^2)$
Non faccio tutti i calcoli, ma avrei bisogno di qualche consiglio in merito all'impostazione!
Cosa ne dite?
"Bad90":
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 3x^2$
Scusami, ho fatto un errore dovuto al copia e incolla:
$int2x^3e^(x^2)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 2x$
$g'(x)=2xe^(x^2)$ allora $g(x) = e^(x^2)$
Va bene adesso?????
$int2x^3e^(x^2)dx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x^2$ allora $f'(x) = 2x$
$g'(x)=2xe^(x^2)$ allora $g(x) = e^(x^2)$
Va bene adesso?????
Esercizio 28
Faccio qualche altro esercizio del genere, ma con le funzioni trigonometriche e poi passo agli integrali definiti
$int xcosxdx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=cosx$ allora $g(x) = senx$
$int xcosxdx= x senx -intsenx dx$
$int xcosxdx= x senx -(-cosx)+c$
$int xcosxdx= x senx + cosx +c$
Faccio qualche altro esercizio del genere, ma con le funzioni trigonometriche e poi passo agli integrali definiti
$int xcosxdx$
$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - intf'(x) g(x)dx$
$f(x) = x$ allora $f'(x) = 1$
$g'(x)=cosx$ allora $g(x) = senx$
$int xcosxdx= x senx -intsenx dx$
$int xcosxdx= x senx -(-cosx)+c$
$int xcosxdx= x senx + cosx +c$
.....
"Bad90":
Esercizio 27
$int2x^3e^(x^2)dx$
Comincia con la sostituzione $t=x^2$: non è indispensabile ma rende molto più facile il seguito.
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