Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Esercizio 7
Aiuto!!!!!!!
Come deco fare per risolvere il seguente integrale?
$int(3x-1)/(3x^2 -2x +5) dx$
Che tipo di cambio di variabile posso fare?
Aiuto!!!!!!!
Come deco fare per risolvere il seguente integrale?
$int(3x-1)/(3x^2 -2x +5) dx$
Che tipo di cambio di variabile posso fare?
Qui non è necessario alcun cambio di variabile.
Ti dò un indizio: la derivata del trinomio a denominatore è la seguente $$
\mathfrak{D}\left[3x^2 - 2x + 5\right] = 6x - 2 = 2\left(3x-1\right)
$$ Ovvero il doppio del numeratore.
Questo ti aiuta?
Ti dò un indizio: la derivata del trinomio a denominatore è la seguente $$
\mathfrak{D}\left[3x^2 - 2x + 5\right] = 6x - 2 = 2\left(3x-1\right)
$$ Ovvero il doppio del numeratore.
Questo ti aiuta?
In questo caso il valore assoluto è stato messo per abitudine (lo si mette ogni volta che integrando si ottiene un logaritmo che prima non esisteva) ma è inutile e per questo burm87 non l'ha scritto. Infatti si verifica facilmente che si ha sempre $x+sqrt(1+x^2)>0$
Esercizio 8
Se l'integrale di partenza è il seguente:
$int(x^2)/(4+3x^2)$
Ponendo $t=4+3x^2$ io so che la sua derivata sarà $d(4+3x^2) => 6xdx=dt$ e quindi penso si possa dire che $xdx = dt/6 $ giusto?
Adesso vado in palla nel proseguire
Se l'integrale di partenza è il seguente:
$int(x^2)/(4+3x^2)$
Ponendo $t=4+3x^2$ io so che la sua derivata sarà $d(4+3x^2) => 6xdx=dt$ e quindi penso si possa dire che $xdx = dt/6 $ giusto?
Adesso vado in palla nel proseguire
Quello di prima sei riuscito a risolverlo?
Comunque nell'Esercizio 8 il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, quindi possiamo partire con la divisione tra polinomi.
Comunque nell'Esercizio 8 il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, quindi possiamo partire con la divisione tra polinomi.
"minomic":
Quello di prima sei riuscito a risolverlo?
Comunque nell'Esercizio 8 il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, quindi possiamo partire con la divisione tra polinomi.
Quindi, se si ha un numeratore che è uguale al valore della derivata del numeratore, si può dividerlo con le regole della divisione tra polinomi????
P.S. Quell' altro l'ho lasciato in sospeso, ma adesso pubblico i passaggi che ho fatto e così mi fai sapere cosa ho combinato!
No non c'entra la derivata (quella riguardava l'esercizio 7). La divisione tra polinomi si utilizza quando il grado del numeratore è maggiore o uguale del grado del denominatore. In questo caso entrambi i gradi sono $2$ e si può procedere.
In realtà c'è un altro modo: moltiplicare e dividere per $3$, poi sommare e sottrarre $4$ e infine spezzare la frazione.
In realtà c'è un altro modo: moltiplicare e dividere per $3$, poi sommare e sottrarre $4$ e infine spezzare la frazione.
Scusami, ma non sto riuscendo a fare la divisione tra polinomi del seguente integrale, cioè dell'esercizio 8:
$int(x^2)/(4+3x^2)$
La regola della divisione tra polinomi, dice che si divide fino ad avere un polinomio di grado inferiore o nullo, ma non penso che in questo caso riesco a risolverlo, penso che ci sia qualcosa che non va nella traccia, mi sembra sia impossibile!
$int(x^2)/(4+3x^2)$
La regola della divisione tra polinomi, dice che si divide fino ad avere un polinomio di grado inferiore o nullo, ma non penso che in questo caso riesco a risolverlo, penso che ci sia qualcosa che non va nella traccia, mi sembra sia impossibile!
Ho pensato che potrebbe essere utile postare l'intera soluzione:
Esercizio 7
\[
\int\frac{3x-1}{3x^{2}-2x+5}\ dx
\]
Come si diceva la derivata del denominatore è \(6x-2=2\left(3x-1\right)\) quindi l'integrale si può riscrivere come
\[
\frac{1}{2}\int\frac{2\left(3x-1\right)}{3x^{2}-2x+5}\ dx
\]
Siamo davanti a un integrale riconducibile a uno immediato:
\[
\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\ dx=\ln\left|f\left(x\right)\right|+C
\]
Quindi la nostra soluzione sarà
\[
\frac{1}{2}\ln\left(3x^{2}-2x+5\right)+C
\]
Esercizio 8
\[
\int\frac{x^{2}}{3x^{2}+4}\ dx
\]
Primo metodo: divisione tra polinomi.
\[
\frac{x^{2}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}+\frac{-\frac{4}{3}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{9x^{2}+12}
\]
Integro: il primo pezzo è immediato: $\frac{x}{3}$. Il secondo è un po' meno immediato: il delta del denominatore è negativo, quindi c'entrerà l'arcotangente. Scrivo la frazione nella seguente forma:
\[
\frac{4}{12\left(1+\frac{3}{4}x^{2}\right)}=\frac{4}{12\left(1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^{2}\right)}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^{2}}
\]
Siamo nella forma
\[
\int\frac{f'\left(x\right)}{1+\left[f\left(x\right)\right]^{2}}\ dx=\arctan\ f\left(x\right)+C
\]
Quindi l'integrale risulta
\[
\frac{x}{3}-\frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C
\]
Secondo metodo: opero qualche trasformazione sulla funzione integranda.
Moltiplico e divido per $3$
\[
\frac{1}{3}\frac{3x^{2}}{3x^{2}+4}
\]
Sommo e sottraggo $4$
\[
\frac{1}{3}\frac{3x^{2}+4-4}{3x^{2}+4}
\]
Spezzo la frazione:
\[
\frac{1}{3}\frac{3x^{2}+4}{3x^{2}+4}-\frac{4}{9x^{2}+12}=\frac{1}{3}-\frac{4}{9x^{2}+12}
\]
e da qui si procede come prima.
Esercizio 7
\[
\int\frac{3x-1}{3x^{2}-2x+5}\ dx
\]
Come si diceva la derivata del denominatore è \(6x-2=2\left(3x-1\right)\) quindi l'integrale si può riscrivere come
\[
\frac{1}{2}\int\frac{2\left(3x-1\right)}{3x^{2}-2x+5}\ dx
\]
Siamo davanti a un integrale riconducibile a uno immediato:
\[
\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\ dx=\ln\left|f\left(x\right)\right|+C
\]
Quindi la nostra soluzione sarà
\[
\frac{1}{2}\ln\left(3x^{2}-2x+5\right)+C
\]
Esercizio 8
\[
\int\frac{x^{2}}{3x^{2}+4}\ dx
\]
Primo metodo: divisione tra polinomi.
\[
\frac{x^{2}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}+\frac{-\frac{4}{3}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{9x^{2}+12}
\]
Integro: il primo pezzo è immediato: $\frac{x}{3}$. Il secondo è un po' meno immediato: il delta del denominatore è negativo, quindi c'entrerà l'arcotangente. Scrivo la frazione nella seguente forma:
\[
\frac{4}{12\left(1+\frac{3}{4}x^{2}\right)}=\frac{4}{12\left(1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^{2}\right)}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^{2}}
\]
Siamo nella forma
\[
\int\frac{f'\left(x\right)}{1+\left[f\left(x\right)\right]^{2}}\ dx=\arctan\ f\left(x\right)+C
\]
Quindi l'integrale risulta
\[
\frac{x}{3}-\frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C
\]
Secondo metodo: opero qualche trasformazione sulla funzione integranda.
Moltiplico e divido per $3$
\[
\frac{1}{3}\frac{3x^{2}}{3x^{2}+4}
\]
Sommo e sottraggo $4$
\[
\frac{1}{3}\frac{3x^{2}+4-4}{3x^{2}+4}
\]
Spezzo la frazione:
\[
\frac{1}{3}\frac{3x^{2}+4}{3x^{2}+4}-\frac{4}{9x^{2}+12}=\frac{1}{3}-\frac{4}{9x^{2}+12}
\]
e da qui si procede come prima.
"minomic":
Primo metodo: divisione tra polinomi.
$\frac{x^{2}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}+\frac{-\frac{4}{3}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{9x^{2}+12}$
Scusami, ma a me, la divisione tra polinomi, viene che:
$(x^2)/(3x^2+4)=1/3$ con il resto di $-4/3$, non capisco come hai fatto a scriverla in questo modo:
$ \frac{x^{2}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}+\frac{-\frac{4}{3}}{3x^{2}+4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{9x^{2}+12} $
Perchè la frazione originale è uguale al risultato più il resto fratto il divisore
"minomic":
Perchè la frazione originale è uguale al risultato più il resto fratto il divisore
Allora non ho sbagliato
Era solo che non sapevo la sintassi che adesso mi hai detto
Ti ringrazio!
"minomic":
Ho pensato che potrebbe essere utile postare l'intera soluzione:
Esercizio 7
$ int\frac{3x-1}{3x^{2}-2x+5}dx $
Come si diceva la derivata del denominatore è \(6x-2=2\left(3x-1\right)\) quindi l'integrale si può riscrivere come
Sei stato chiarissimo, hai notato che la derivata del denominatore era il doppio del numeratore ed hai utilizzato l'integrale riconducibile, ok, ma quali step hai fatto per mettere quel $1/2$ prima del simbolo dell'integrale
\[
\frac{1}{2}\int\frac{2\left(3x-1\right)}{3x^{2}-2x+5}\ dx
\]
Esercizio 9
Posto il seguente esercizio che sono riuscito a risolvere perfettamente e a dire il vero sono contentissimo in quanto sto capendo perfettamente il motivo per la quale si utilizza la divisione tra polinomi...
$ int(2x+4)/(2x+5) dx $
Quando si hanno due polinomi di pari grado o il numeratore avente grado maggiore del denominatore, si potrà utilizzare la divisione, ok, l'obbiettivo e quello di smembrare la frazione in due parti per poterlo manipolare con più facilità!
Dalla divisione $(2x+4)/(2x+5)$ ottengo $1$ e il resto di $-1$ e sapendo che la frazione sarà uguale al risultato più il resto fratto il divisore, allora avrò:
$(2x+5-1)/(2x+5)$
Come si nota, adesso potrà essere smembrato in due parti:
$ int(2x+5-1)/(2x+5) dx = int((2x+5)/(2x+5) -1/(2x+5))dx $
Allora avrò:
$ int(2x+5)/(2x+5)dx-int1/(2x+5)dx $
$ intdx-int1/(2x+5)dx $
$ x- int1/(2x+5)dx $
Adesso per risolvere la seconda parte, si utilizza il classico metodo, $t=2x+5$ allora $d(2x+5)=>2xdx=dt=>xdx = dt/2$
Adesso, semplicemente si avrà:
$ x- int(dt/2)(1/t) $
$ x- 1/2int(dt/t) $
Siamo nella forma di integrale immediato, (ho detto bene?), allora si potra dire che:
$ x- 1/2ln|t| $
Segue:
$ x- 1/2ln|2x+5| +c $
P.S. Negli step, non ho curato la perfetta simbologia, non avrei dovuto far comparire l'incognita $x$ contemporaneamente a $t$, ma ho fatto questo per mettere in evidenza gli step come andavano fatti!
Posto il seguente esercizio che sono riuscito a risolvere perfettamente e a dire il vero sono contentissimo in quanto sto capendo perfettamente il motivo per la quale si utilizza la divisione tra polinomi...
$ int(2x+4)/(2x+5) dx $
Quando si hanno due polinomi di pari grado o il numeratore avente grado maggiore del denominatore, si potrà utilizzare la divisione, ok, l'obbiettivo e quello di smembrare la frazione in due parti per poterlo manipolare con più facilità!
Dalla divisione $(2x+4)/(2x+5)$ ottengo $1$ e il resto di $-1$ e sapendo che la frazione sarà uguale al risultato più il resto fratto il divisore, allora avrò:
$(2x+5-1)/(2x+5)$
Come si nota, adesso potrà essere smembrato in due parti:
$ int(2x+5-1)/(2x+5) dx = int((2x+5)/(2x+5) -1/(2x+5))dx $
Allora avrò:
$ int(2x+5)/(2x+5)dx-int1/(2x+5)dx $
$ intdx-int1/(2x+5)dx $
$ x- int1/(2x+5)dx $
Adesso per risolvere la seconda parte, si utilizza il classico metodo, $t=2x+5$ allora $d(2x+5)=>2xdx=dt=>xdx = dt/2$
Adesso, semplicemente si avrà:
$ x- int(dt/2)(1/t) $
$ x- 1/2int(dt/t) $
Siamo nella forma di integrale immediato, (ho detto bene?), allora si potra dire che:
$ x- 1/2ln|t| $
Segue:
$ x- 1/2ln|2x+5| +c $
P.S. Negli step, non ho curato la perfetta simbologia, non avrei dovuto far comparire l'incognita $x$ contemporaneamente a $t$, ma ho fatto questo per mettere in evidenza gli step come andavano fatti!
"Bad90":
quali step hai fatto per mettere quel $1/2$ prima del simbolo dell'integrale
\[
\frac{1}{2}\int\frac{2\left(3x-1\right)}{3x^{2}-2x+5}\ dx
\]
Ho solo moltiplicato e diviso per $2$ per farlo comparire sopra. Altrimenti non sarebbe stato la derivata del denominatore.
"Bad90":
Adesso per risolvere la seconda parte, si utilizza il classico metodo, $t=2x+5$
Ok, cannone uccide moscerino...
Se hai $$\int{\frac{1}{2x+5}\ dx}$$ puoi fare semplicemente questo: $$
\frac{1}{2}\int{\frac{2}{2x+5}\ dx}
$$ Così hai fatto comparire al numeratore la derivata del denominatore. Ora l'integrazione è immediata: $$
\frac{1}{2}\int{\frac{2}{2x+5}\ dx} = \frac{1}{2}\ln \left|2x+5\right|
$$
Esercizio 10
Ho risolto il seguente che è simile al precedente, solo che non mi trovo con il risultato del testo, non sto riuscendo a capire dove sto sbagliando
$int(x-1)/(x+1)$
Dalla divisione tra polinomi ottengo:
$(x+1-2)/(x+1)$
Adesso posso spezzare la frazione, ed avrò:
$int dt - int2/(t) dt$
Quindi avrò:
$x-ln|x+1|+c$
Perchè il testo mi dice che deve essere $x-ln(x+1)^2+c$
Eppure mi sembra così facile, bisogna utilizzare l'integrale immediato!
Dove sto sbagliando?
Ho risolto il seguente che è simile al precedente, solo che non mi trovo con il risultato del testo, non sto riuscendo a capire dove sto sbagliando
$int(x-1)/(x+1)$
Dalla divisione tra polinomi ottengo:
$(x+1-2)/(x+1)$
Adesso posso spezzare la frazione, ed avrò:
$int dt - int2/(t) dt$
Quindi avrò:
$x-ln|x+1|+c$
Perchè il testo mi dice che deve essere $x-ln(x+1)^2+c$
Eppure mi sembra così facile, bisogna utilizzare l'integrale immediato!
Dove sto sbagliando?
Quando sei arrivato a $$
\int{dx} - \int{\frac{2}{x+1}\ dx}
$$ Lo puoi scrivere come $$
\int{dx} - 2\int{\frac{1}{x+1}\ dx} = x - 2\ln \left|x+1\right|
$$ Ricordando la proprietà dei logaritmi $$n\log_a{b} = \log_a{b^n}$$ puoi infine scrivere $$
x - \ln \left(x+1\right)^2
$$
\int{dx} - \int{\frac{2}{x+1}\ dx}
$$ Lo puoi scrivere come $$
\int{dx} - 2\int{\frac{1}{x+1}\ dx} = x - 2\ln \left|x+1\right|
$$ Ricordando la proprietà dei logaritmi $$n\log_a{b} = \log_a{b^n}$$ puoi infine scrivere $$
x - \ln \left(x+1\right)^2
$$
"minomic":
Ricordando la proprietà dei logaritmi $$n\log_a{b} = \log_a{b^n}$$
Accipicchia, non mi ero reso conto
Ti ringrazio!
"Bad90":
... non ho curato la perfetta simbologia, non avrei dovuto far comparire l'incognita $x$ contemporaneamente a $t$...
Se ti stai riferendo a
$ x-1/2int(dt)/t$
e sorellina, è giustissima: le due variabili non devono comparire contemporaneamente in uno stesso integrale, ma qui sono in due integrali diversi, di cui uno già calcolato.
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