Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
"burm87":
Considero solo il primo: $x^3$ è quasi la derivata dell'esponente della $e$, ci manca solo un $4$ davanti, quindi metto un $1/4$ davanti all'integrale per poter avere un $4$ da portare all'interno:
Ma questo è un giochetto che si fa e che non è il risultato di qualche passaggio particolare, vero?
E' solo un mettere un numero e aggiungere una frazione, vero?
Ma a te, come sarebbe venuto in mente di mettere proprio un $1/4$ invece di, che ne so, facciamo $1/5$ o altri numeri?????
È una pratica molto comune per risolvere questo tipo di integrali, tu in pratica moltiplichi per $4/4=1$ (ossia lasci invariato l'integrale), solo che porti dentro quello che ti serve. Ovviamente mi è venuto in mente perchè dentro all'integrale avevo bisogno di un $4$ per completare la derivata dell'esponente.
Il metodo indicato da burm87 è quello più rapido ed abituale; se però ne vuoi uno più facile da capire, fai la sostituzione $t=x^4$, scelta in modo da rendere semplici gli esponenti di $e$.
Ma se applichi la seguente formula $inte^(f(x))f'(x)=e^(f(x))+c$, come fai ad ottenere quel risultato se hai anche un $4x^3$ all'interno dell'integrale????
Ecco cosa mi sta capitando:
$inte^(x^4)4x^3=.....$
A cosa sarà uguale??
Ok, appena finisco di capire il metodo di burmp, passo a provare con il metodo che mi hai detto
Ecco cosa mi sta capitando:
$inte^(x^4)4x^3=.....$
A cosa sarà uguale??
"giammaria":
Il metodo indicato da burm87 è quello più rapido ed abituale; se però ne vuoi uno più facile da capire, fai la sostituzione $t=x^4$, scelta in modo da rendere semplici gli esponenti di $e$.
Ok, appena finisco di capire il metodo di burmp, passo a provare con il metodo che mi hai detto
Il $4x^3$ è l'$f'(x)$ della formula, è la derivata dell'esponente.
E quindi:
$ 1/4int4x^3e^(x^4)dx -1/4int4x^3e^(-x^4)dx $
Si può pensarlo in questo modo:
$ 1/4int4x^3e^(x^4)dx +1/4int-4x^3e^(-x^4)dx $
Effettivamente si arriva alla conclusione del testo:
$1/4(e^(x^4)+e^(-x^4))$
$ 1/4int4x^3e^(x^4)dx -1/4int4x^3e^(-x^4)dx $
Si può pensarlo in questo modo:
$ 1/4int4x^3e^(x^4)dx +1/4int-4x^3e^(-x^4)dx $
Effettivamente si arriva alla conclusione del testo:
$1/4(e^(x^4)+e^(-x^4))$
Esercizio 15
Mi sto imbattendo con il seguente:
$int(dx)/((x-2)ln^3(x-2))$
Ho pensato che sia il caso di fare una sostituzione $t=(x-2)$, cosa ne dite??
Non riescoooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Mi sto imbattendo con il seguente:
$int(dx)/((x-2)ln^3(x-2))$
Ho pensato che sia il caso di fare una sostituzione $t=(x-2)$, cosa ne dite??
Non riescoooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Hai fatto la formula dell'integrazione per parti?
Si ma ancora non ho fatto nessun esercizio!
Come si potrebbe utilizzare con questo?
Come si potrebbe utilizzare con questo?
Ciao, vediamola così: l'integrale si può riscrivere come $$
\int{\frac{1}{x-2}\cdot\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{-3}\ dx}
$$ Siamo quindi nel caso di $$\int{f'\left(x\right)\cdot \left[f\left(x\right)\right]^{\alpha}\ dx} = \frac{\left[f\left(x\right)\right]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$$ Quindi nel nostro caso il risultato sarà $$\frac{\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}\frac{1}{\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{2}}$$
\int{\frac{1}{x-2}\cdot\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{-3}\ dx}
$$ Siamo quindi nel caso di $$\int{f'\left(x\right)\cdot \left[f\left(x\right)\right]^{\alpha}\ dx} = \frac{\left[f\left(x\right)\right]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$$ Quindi nel nostro caso il risultato sarà $$\frac{\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}\frac{1}{\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{2}}$$
Faccio tanto di cappello a quanti usano con disinvoltura la formula per l'integrazione di una funzione composta, ma personalmente preferisco ricorrervi solo in casi veramente semplicissimi e servirmi di sostituzioni negli altri: così facendo si spreca qualche passaggio ma il ragionamento è più semplice e le probabilità di errori si riducono.
Nel caso in esame, essendoci una funzione composta (un logaritmo elevato a potenza) indico con $t$ la funzione interna e pongo $t=ln(x-2)$.
Nel caso in esame, essendoci una funzione composta (un logaritmo elevato a potenza) indico con $t$ la funzione interna e pongo $t=ln(x-2)$.
"giammaria":
....indico con $t$ la funzione interna e pongo $t=ln(x-2)$.
"minomic":
Ciao, vediamola così: l'integrale si può riscrivere come $$
\int{\frac{1}{x-2}\cdot\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{-3}\ dx}
$$ Siamo quindi nel caso di $$\int{f'\left(x\right)\cdot \left[f\left(x\right)\right]^{\alpha}\ dx} = \frac{\left[f\left(x\right)\right]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$$ Quindi nel nostro caso il risultato sarà $$\frac{\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}\frac{1}{\left[\ln\left(x-2\right)\right]^{2}}$$
Perfetto, ma adesso mi è venuto un dubbio.....
Se la derivata di
e':
$D[ln(x-2)]^3=[3ln(x-2)]^2*1/(x-2)$
Giusto?
Allora come fai a dire che $f'(x) = 1/(x-2)$
Quella che io ho chiamato $f(x)$ è $ln(x-2)$. Poi questa è elevata alla $alpha$, ovvero alla $-3$.
"minomic":
Quella che io ho chiamato $f(x)$ è $ln(x-2)$. Poi questa è elevata alla $alpha$, ovvero alla $-3$.
Devo abituarmi con queste formule
Esercizio 16
Accipicchia, adesso mi restano una decina di esercizi con le funzioni trigonometriche
Ecco questa:
$int1/(cos^2 4x)$
Come si risolvono????
Accipicchia, adesso mi restano una decina di esercizi con le funzioni trigonometriche
Ecco questa:
$int1/(cos^2 4x)$
Come si risolvono????
Puoi ricordare che $1/(cos^2 x)$ è la derivata di $tan x$...
E con il $4$ al denominatore, come devo trattarlo?
Dici che si puo' pensarlo in questo modo?
$int1/(cos^2 4x)= tan4x +c$
Dici che si puo' pensarlo in questo modo?
$int1/(cos^2 4x)= tan4x +c$
La derivata di $tan 4x$ sarebbe $4/(cos^2 (4x))$. Quindi il risultato del tuo integrale sarà $$\frac{\tan\left(4x\right)}{4}$$
Ok, sto cercando di memorizzare le formule degli integrali immediati
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