Retta tangente alla conica
Buonasera!!
Ho un grosso problema con un esercizio di geometria sulle coniche, per completezza vi riporto l'intero testo dell'esercizio:
"Nel piano, rispetto ad un riferimento cartesiano R=(O;x,y), è data la conica C) $ 4x^2-4xy+y^2-2sqrt5y=0 $ . Classificare e scrivere in forma canonica C. Determinare inoltre l'equazione (nel sistema di riferimento R) della retta tangente alla conica passante per il vertice."
Per prima cosa ho scritto la matrice A e ne ho calcolato il determinante che viene uguale a 0, quindi si tratta di una parabola. Poi ho calcolato gli autovalori che risultano essere 0 (ovviamente dato che è una parabola) e 5 ed i relativi autovettori; li ho ortonormalizzati e li ho messi in colonna per trovare P, la matrice del cambiamento di base. Ho fatto i calcoli per ruotare e traslare la conica ed ho ottenuto la forma canonica: $ Y^2=4/5X $ . Infine ho scritto l'intero cambiamento di riferimento e tutto questo risulta essere giusto. Il mio problema sta proprio nel trovare la retta tangente alla conica passante per il vertice, probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma non so proprio come risolvere questa parte.
Spero mi possiate aiutare, grazie in anticipo!
Ho un grosso problema con un esercizio di geometria sulle coniche, per completezza vi riporto l'intero testo dell'esercizio:
"Nel piano, rispetto ad un riferimento cartesiano R=(O;x,y), è data la conica C) $ 4x^2-4xy+y^2-2sqrt5y=0 $ . Classificare e scrivere in forma canonica C. Determinare inoltre l'equazione (nel sistema di riferimento R) della retta tangente alla conica passante per il vertice."
Per prima cosa ho scritto la matrice A e ne ho calcolato il determinante che viene uguale a 0, quindi si tratta di una parabola. Poi ho calcolato gli autovalori che risultano essere 0 (ovviamente dato che è una parabola) e 5 ed i relativi autovettori; li ho ortonormalizzati e li ho messi in colonna per trovare P, la matrice del cambiamento di base. Ho fatto i calcoli per ruotare e traslare la conica ed ho ottenuto la forma canonica: $ Y^2=4/5X $ . Infine ho scritto l'intero cambiamento di riferimento e tutto questo risulta essere giusto. Il mio problema sta proprio nel trovare la retta tangente alla conica passante per il vertice, probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma non so proprio come risolvere questa parte.
Spero mi possiate aiutare, grazie in anticipo!
Risposte
Hai scritto la matrice del cambiamento di base $B$, ok.
Allora, nella base $B$ la parabola e' in forma canonica... giusto ?
Un punto $x$ nella base $B$ diventa $y = Bx$ nella base originale, ok ?
Com'e' la retta tangente nella base $B$ ? $x = 0$
Quali sono due punti della retta ? $(0,0)$ e $(0,1)$
Porto i punti nella base originale e ricavo la retta.
Allora, nella base $B$ la parabola e' in forma canonica... giusto ?
Un punto $x$ nella base $B$ diventa $y = Bx$ nella base originale, ok ?
Com'e' la retta tangente nella base $B$ ? $x = 0$
Quali sono due punti della retta ? $(0,0)$ e $(0,1)$
Porto i punti nella base originale e ricavo la retta.
Grazie mille!! Ho capito finalmente, il problema rimane solo nei calcoli.
La retta a me risulta essere $ 4sqrt5x+8sqrt5y+1=0 $ , mentre dalle soluzioni dovrebbe venire $ 4sqrt5x+8sqrt5y+5=0 $ , quindi l'unica cosa che cambia è il termine noto, ho rifatto i calcoli più volte, ma mi viene sempre così. Mi potete aiutare a capire perchè?
La retta a me risulta essere $ 4sqrt5x+8sqrt5y+1=0 $ , mentre dalle soluzioni dovrebbe venire $ 4sqrt5x+8sqrt5y+5=0 $ , quindi l'unica cosa che cambia è il termine noto, ho rifatto i calcoli più volte, ma mi viene sempre così. Mi potete aiutare a capire perchè?
Io insegno alle superiori, non ricordo molto bene lo studio delle coniche con le matrici e ho risolto il problema senza.
Partendo dall'equazione generale $ 4x^2-4xy+y^2-2sqrt5y=0 $ ho individuato la parabola perchè i termini di secondo grado sono un quadrato di binomio: $(2x-y)^2-2sqrt5y=0 $, per cui l'asse della parabola è del tipo $2x-y=q =>y=2x+q$, la tangente al vertice è perpendicolare all'asse, quindi è della forma $y= -1/2 x+k$, ho impostato la condizione di tangenza come si fa alle superiori, mettendo il $Delta=0$ e ho ottenuto $y= -1/2x-sqrt5/40$ che, una volta resa implicita è la stessa retta che hai ottenuto tu. Se vuoi verificare la correttezza della soluzione basta mettere a sistema la retta e la conica e vedere che sono tangenti.
Partendo dall'equazione generale $ 4x^2-4xy+y^2-2sqrt5y=0 $ ho individuato la parabola perchè i termini di secondo grado sono un quadrato di binomio: $(2x-y)^2-2sqrt5y=0 $, per cui l'asse della parabola è del tipo $2x-y=q =>y=2x+q$, la tangente al vertice è perpendicolare all'asse, quindi è della forma $y= -1/2 x+k$, ho impostato la condizione di tangenza come si fa alle superiori, mettendo il $Delta=0$ e ho ottenuto $y= -1/2x-sqrt5/40$ che, una volta resa implicita è la stessa retta che hai ottenuto tu. Se vuoi verificare la correttezza della soluzione basta mettere a sistema la retta e la conica e vedere che sono tangenti.
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