Rango e sistemi lineari

Gioip5d
Sto risolvendo gli esercizi, con ahimè, molta lentezza, del libro "Algebra lineare, per matematici" di Manetti.
All'esercizio sulla determinazione del rango mi imbatto in un sistema che così si conclude:
${b=1;
a=0;
a=1$
La mia domanda, che intuisco essere banale, e da liceo superiore forse, é: come si definisce un sistema in cui mi compaiono, se non sbaglio, 'due stesse lettere con differenti soluzioni'? Come si chiama questo argomento? Pdf con una completa discussione sui sistemi e casi particolari? Il procedimento credo qui non conti,ma il risultato

Risposte
@melia
Se un sistema, per almeno una delle incognite, ammette più soluzioni significa che non è un sistema lineare, ma di grado superiore al primo, tipo $\{(x y -3y = 0),(xy+2y=0):}$, che ammette come soluzione le coppie $(3;0)$ e $(-2; 0)$.
Nel caso del tuo esercizio suppongo che il sistema sia lineare, ma la discussione dei parametri non è lineare, sembra di secondo grado.

Gioip5d
Grazie per la risposta. Credo che sia opportuno che riporti per intero l'esercizio
Determinare il rango dei seguenti sistemi lineari
$\{(x_1+x_2=0),(x_1+x_3=0),(x_2+x_3=0),(x_1-x_2+x_3=0):}$

Parto col chiedermi s'è di "troppo" la terza eq.,quindi:
pongo $a(x_1+x_2)+b(x_1+x_3)+c(x_1-x_2+x_3)=x_2+x_3$
... e uguagliando membro a membro ottengo ciò:
$\{(a+b+c=0),(a-c=1),(b+c=1):}$
che come soluzioni da:
$\{(a=-1),(b=3),(c=-2):}$
soluzioni che immetto nella precedente uguglianza (perchè o ottengo subito un'eq. inconsistente o per capire se quella in questione è combinazione lineare delle altre devo immettere le soluzioni,no?):
$a(x_1+x_2)+b(x_1+x_3)+c(x_1-x_2+x_3)=x_2+x_3$
e ottengo:
$x_2+x_3 =x_2+x_3$
quindi deduco che la terza equazione è combinazione lineare delle altre, ed arrivo ad un sistema di rango 3 (con 3 eq.)
quindi proseguo
ora ho questo sistema
$\{(x_1+x_2=0),(x_1+x_3=0),(x_1-x_2+x_3=0):}$
e mi chiedo se sia ora la seconda equazione ad esser di "troppo"
quindi pongo due numeri che... come da definizione
$a*(x_1+x_2)+b(x_1-x_2+x_3)=x_1+x_3$
e ottengo
$ax_1+ax_2+bx_1-bx_2+bx_3=x_1+x_3$
e uguagliando membro ottengo:
$\{(a+b=1),(a-b=0),(b=1):}$
che come soluzione da:
$\{(b=1),(a=0),(a=1):}$
ed è qui che mi blocco e non se andare avanti o dover già intuire che posso ridurre ulteriormente il rango eliminando quindi $x_1+x_3$. Se devo andare avanti come dovrei proseguire tenendo conto della traccia(riduzione del rango)?

axpgn
Ma non puoi usare Gauss? Non ho capito il tuo metodo ...
A me il rango viene $3$ (si può vedere anche ad occhio ... IMHO )

Cantor99
Non serve calcolare esplicitamente $a,b,c$, basta ragionare sulla sola matrice incompleta
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
La quarta è di "troppo" perché
\[
A'=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
ha rango 3. Ma in realtà ogni equazione può essere di troppo, nel senso che se ne togli una a caso sempre trovi un sistema equivalente .

Gioip5d
Mi attengo al metodo che si può dedurre dalla definizione-senza quindi tutta la spiegazione precedente, riportata sul libro "Algebra lineare, per matematici" di Manetti-che segue.
"Diremo che un equazione è combinazione lineare delle altre se è la somma delle rimanenti equazioni moltiplicate per opportuni numeri".
Non per forza rimanendo nell'argomento ranghi, quando ottengo un sistema con le soluzioni $\{(b=n),(a=n_1),(a=n_2):}$ (con n numero qualsiasi) come devo continuare o concludere?Non deve capitare o posso continuare...

Gioip5d
Ok, infatti mi scervellavo un pò, cercando teoria su ciò, ma essendo impossibile che potevo trovare.
S'è impossibile non posso eliminare l'equazione "analizzata", allora. E quindi il rango è 3.Giusto? Un sistema impossibile non mi deve importare vista la richiesta del problema, no?
Comunque grazie veramente a tutti, forum fantastico per chi è interessato a questa materia.

Gioip5d

@melia

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