Gruppo connesso, ma non semplicemente connesso ?
C'è qualcosa che non capisco, guardavo il gruppo unitario U(1)
https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_di_Lie
Loro scrivono che il \(\displaystyle U(1) \) è connesso, non semplicemente connesso, compatto, mentre \(\displaystyle SU(2) \) è semplicemente connesso, compatto, per \(\displaystyle n > 2 \): semplice e semisemplice
Quello che non capisco:
1. come fa un gruppo connesso a non essere semplicemente connesso? L'unica è che il gruppo fondamentale del gruppo connesso non è il gruppo banale. Ma quando questo?
2. quindi il gruppo unitario speciale \(\displaystyle SU(2) \) è invece semplicemente connesso e quindi connesso ? Perchè non lo hanno scritto ?
3. Che vuol dire "questo non è un gruppo dell'algebra complessa di Lie?"
https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_di_Lie
Loro scrivono che il \(\displaystyle U(1) \) è connesso, non semplicemente connesso, compatto, mentre \(\displaystyle SU(2) \) è semplicemente connesso, compatto, per \(\displaystyle n > 2 \): semplice e semisemplice
Quello che non capisco:
1. come fa un gruppo connesso a non essere semplicemente connesso? L'unica è che il gruppo fondamentale del gruppo connesso non è il gruppo banale. Ma quando questo?
2. quindi il gruppo unitario speciale \(\displaystyle SU(2) \) è invece semplicemente connesso e quindi connesso ? Perchè non lo hanno scritto ?
3. Che vuol dire "questo non è un gruppo dell'algebra complessa di Lie?"
Risposte
Guarda che \(\displaystyle U(1)\) non è altri che \(\displaystyle\mathbb{S}^1\)...
E!
La semplice connessione implica la \(\displaystyle1\)-connessione, ovvero la connessione per cammini, e quindi l'usuale connessione[nota]Non mi scrivete che ho sbagliato questa, ve prego![/nota].
Infine, non ho capìto cosa volesse scrivere l'autore di quella frase priva di senso!
E!
La semplice connessione implica la \(\displaystyle1\)-connessione, ovvero la connessione per cammini, e quindi l'usuale connessione[nota]Non mi scrivete che ho sbagliato questa, ve prego![/nota].
Infine, non ho capìto cosa volesse scrivere l'autore di quella frase priva di senso!
Scusa ma con $1$-connessione non si intende la semplice connessione?
No, leggiti cosa vuol dire semplicemente connessa nel manuale di topologia algebrica o su wikipedia. Il fatto che lo spazio topologico sia connesso implica soltanto che tutti i punti dello spazio hanno lo stesso gruppo fondamentale.
Ok, lo spazio semplicemente connesso implica che lo spazio sia connesso, ma non è vero il contrario, se è connesso non vuol dire che sia per forza semplicemente connesso.
Ad esempio \(\displaystyle\mathbb{S}^1 \) indica una circonferenza, io so che è uno spazio connesso, ma non semplicemente connesso, ad esempio la superficie della sfera è semplicemente connessa.
Evidentemente non è possibile applicare la definizione di semplicemente connesso per una circonferenza, mentre per una sfera questa definizione è compatibile.
Ad esempio \(\displaystyle\mathbb{S}^1 \) indica una circonferenza, io so che è uno spazio connesso, ma non semplicemente connesso, ad esempio la superficie della sfera è semplicemente connessa.
uno spazio topologico semplicemente connesso se comunque presi due punti esiste un'omotopia tra i due archi considerati
Evidentemente non è possibile applicare la definizione di semplicemente connesso per una circonferenza, mentre per una sfera questa definizione è compatibile.
Mi sfugge cosa tu intenda con applicare la definizione, quello che succede è che sai che:
[list=1][*:2d4dos4a] La circonferenza ha gruppo fondamentale non banale;[/*:m:2d4dos4a]
[*:2d4dos4a] Che per ogni arco sulla circonferenza, né esistono infiniti che non né sono omotopi.[/*:m:2d4dos4a][/list:o:2d4dos4a]
Quindi è evidente che, in base alla definizione, non può essere semplicemente connesso.
[xdom="vict85"]Comunque, sposto in geometria.[/xdom]
[list=1][*:2d4dos4a] La circonferenza ha gruppo fondamentale non banale;[/*:m:2d4dos4a]
[*:2d4dos4a] Che per ogni arco sulla circonferenza, né esistono infiniti che non né sono omotopi.[/*:m:2d4dos4a][/list:o:2d4dos4a]
Quindi è evidente che, in base alla definizione, non può essere semplicemente connesso.
[xdom="vict85"]Comunque, sposto in geometria.[/xdom]
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