Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti
Ciao! Sia \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) una funzione tra spazi reali con la topologia standard. Voglio provare che \( f \) è continua se e solo se gli insiemi
\[
\begin{align*}
M(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)>k\right\}\\
m(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)
\] sono aperti per ogni \( k\in\mathbb{R} \).
Dimostrazione diretta. L'idea è far ovviamente vedere che \( M(k) \) e \( m(k) \) sono intorni di ogni loro punto. Noto che per costruzione è \( f^{*}\left\{f(x)>k\right\}=M(k) \). Sia quindi \( x\in M(k) \): allora, esiste un intorno di \( f(x)>k \), dato da \( \left]f(x)-\epsilon,+\infty\right[ \), per un qualche \( \epsilon \), contenuto in \( \left\{f(x)>k\right\} \). Questo vuol dire che
\[
f^{*}\left]f(x)-\epsilon,+\infty\right[\subset f^{*}\left\{f(x)>k\right\}=M(k)
\] dove la continuità dà la tesi. \( \square \)
Ora ho allenamento, quindi non ho tempo di fare l'inversa, perché a primo acchito non mi viene. Vi chiedo qualche suggerimento
\[
\begin{align*}
M(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)>k\right\}\\
m(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)
\] sono aperti per ogni \( k\in\mathbb{R} \).
Dimostrazione diretta. L'idea è far ovviamente vedere che \( M(k) \) e \( m(k) \) sono intorni di ogni loro punto. Noto che per costruzione è \( f^{*}\left\{f(x)>k\right\}=M(k) \). Sia quindi \( x\in M(k) \): allora, esiste un intorno di \( f(x)>k \), dato da \( \left]f(x)-\epsilon,+\infty\right[ \), per un qualche \( \epsilon \), contenuto in \( \left\{f(x)>k\right\} \). Questo vuol dire che
\[
f^{*}\left]f(x)-\epsilon,+\infty\right[\subset f^{*}\left\{f(x)>k\right\}=M(k)
\] dove la continuità dà la tesi. \( \square \)
Ora ho allenamento, quindi non ho tempo di fare l'inversa, perché a primo acchito non mi viene. Vi chiedo qualche suggerimento
Risposte
Ma che se è continua allora quegli insiemi siano aperti è ovvio, sono retroimmagini di aperti.
Per l'altro verso dimostra che la famiglia di quegli aperti (quelli di cui fai le retroimmagini) sono una prebase (sottobase) e dimostra quel fatto per una generica prebase (sottobase).
Per l'altro verso dimostra che la famiglia di quegli aperti (quelli di cui fai le retroimmagini) sono una prebase (sottobase) e dimostra quel fatto per una generica prebase (sottobase).
Ciao. Sarà perché ho tipo tre ore di sonno addosso, ma.. perché gli M(k) sono controimmagini di aperti? Tieni presente che non posso usare i risultati classici sulla compattezza e connessione (perché idealmente il libro deve ancora farli).
Grazie per l’inversa, appena ho cinque minuti provo a farla!
Grazie per l’inversa, appena ho cinque minuti provo a farla!
$M(k)$ è la retroimmagine dell'aperto $(k, +\infty)$, $m(k)$di $(-\infty, k)$ (per inciso hai scritto male $m(k)$ all'inizio).
Puoi anche osservare che quegli insiemi sono aperti se e solo se
\[
A_{k, h}:=\{x\in\mathbb R\ :\ k
sono aperti per ogni \(k
In effetti è la stessa cosa che propone otta, ma senza parlare esplicitamente di sottobase.
\[
A_{k, h}:=\{x\in\mathbb R\ :\ k
sono aperti per ogni \(k
In effetti è la stessa cosa che propone otta, ma senza parlare esplicitamente di sottobase.
\( \newcommand{\pow}[1]{\operatorname P#1} \)
@otta96
Dato un insieme \( X \), sia \( \mathcal{B} \) una famiglia di suoi sottoinsiemi. L'applicazione \( \langle{-}\rangle\colon\pow\pow X\to\pow\pow X \) data come \( \mathcal B\mapsto\bigcap\mathscr T_{\mathcal B} \), dove \( \mathscr T_{\mathcal B} \) è la collezione di tutte le topologie su \( X \) contenenti \( \mathcal B \), è una chiusura. Rispetta, infatti, evidentemente l'ordine; vale \( \mathcal B\subset\langle B\rangle \); ed è inoltre idempotente (sono troppo pigro per provarlo… spero sia vero). Allora posso a buon diritto chiamare topologia generata da \( \mathcal B \) l'immagine \( \langle\mathcal B\rangle \).
Definizione. Una prebase di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una famiglia di parti di \( X \) che ne generi la topologia.
Proposizione. Una famiglia di aperti di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una prebase di \( X \) se e solo se la famiglia delle intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B \) è una base dello spazio.
(La proverò a dimostrare in un altro thread).
Posso dunque dimostrare che:
Proposizione. Sia \( f\colon X\to Y \) una funzione tra spazi topologici, e sia \( \mathcal B_Y \) una prebase di \( Y \). Se le retroimmagini di \( f \) sugli aperti di \( \mathcal B_Y \) sono aperte, la funzione \( f \) è continua.
Dimostrazione. Sia \( A \) un aperto di \( Y \). Per la proposizione precedente, esso si scrive come unione di intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B_Y \): ossia, sarà \( A=\bigcup_{i\in I}A_i \), dove ciascun \( A_i \) è l'intersezione \( \bigcap_{j=m_i}^{n_i} \) di un numero finito di elementi della prebase. Sarà dunque
\[
\textstyle f^*\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=m_i}^{n_i}f^*A_i
\] dato che la controimmagine si comporta bene riguardo a queste cose. \( \square \)
Veniamo all'esercizio. Come mi hai rivelato, gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono esattamente le immagini di insiemi del tipo \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \). Allora, mi sembra sensato provare che
Proposizione. Gli \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \) sono una prebase di \( \mathbb R \) con la topologia euclidea.
Dimostrazione. Sia \( \tau^\prime \) una topologia sui reali contenente la famiglia \( \mathcal B \) di quegli intervalli. Allora dico che \( \tau\subset\tau^\prime \), i.e., che la topologia euclidea è la generata da \( \mathcal B \). Sia infatti \( A \) un aperto del campo reale con topologia euclidea (che è quella generata dagli intervalli aperti limitati): si vede immediatamente che \( A\subset\tau^\prime \), dato che ogni intervallo della forma \( \left]a,b\right[ \), con \( a
Questo dovrebbe concludere l'esercizio.
@dissonance
Se gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti allora, dati due \( k
\textstyle\bigcup_{h>k}A_{k,h}=\left\{x\in\mathbb{R}:\text{$ k
Ora, ogni \( A_{k,h} \) è preimmagine di un intervallo aperto \( f^*\left]k,h\right[ \). Il fatto che le immagini inverse sugli elementi di una base di uno spazio siano aperti implica che la suddetta funzione sia continua, senza parlare di sottobasi. Perché dici che è la stessa cosa di quello che ha detto @otta96?
In ogni caso, grazie molte ad entrambi. Sono sicuro di aver fatto un po' di casino, ma comunque la cosa mi è stata utile.
"otta96":
$ M(k) $ è la retroimmagine dell'aperto $ (k, +\infty) $, $ m(k) $di $ (-\infty, k) $ (per inciso hai scritto male $ m(k) $ all'inizio).
@otta96
"otta96":Ok. Mi scrivo due cose tanto per farmi chiarezza. (Grazie per avermi segnalato le prebasi: questo concetto mi sarà utile anche per un altro esercizio).
Per l'altro verso dimostra che la famiglia di quegli aperti (quelli di cui fai le retroimmagini) sono una prebase (sottobase) e dimostra quel fatto per una generica prebase (sottobase).
Dato un insieme \( X \), sia \( \mathcal{B} \) una famiglia di suoi sottoinsiemi. L'applicazione \( \langle{-}\rangle\colon\pow\pow X\to\pow\pow X \) data come \( \mathcal B\mapsto\bigcap\mathscr T_{\mathcal B} \), dove \( \mathscr T_{\mathcal B} \) è la collezione di tutte le topologie su \( X \) contenenti \( \mathcal B \), è una chiusura. Rispetta, infatti, evidentemente l'ordine; vale \( \mathcal B\subset\langle B\rangle \); ed è inoltre idempotente (sono troppo pigro per provarlo… spero sia vero). Allora posso a buon diritto chiamare topologia generata da \( \mathcal B \) l'immagine \( \langle\mathcal B\rangle \).
Definizione. Una prebase di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una famiglia di parti di \( X \) che ne generi la topologia.
Proposizione. Una famiglia di aperti di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una prebase di \( X \) se e solo se la famiglia delle intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B \) è una base dello spazio.
(La proverò a dimostrare in un altro thread).
Posso dunque dimostrare che:
Proposizione. Sia \( f\colon X\to Y \) una funzione tra spazi topologici, e sia \( \mathcal B_Y \) una prebase di \( Y \). Se le retroimmagini di \( f \) sugli aperti di \( \mathcal B_Y \) sono aperte, la funzione \( f \) è continua.
Dimostrazione. Sia \( A \) un aperto di \( Y \). Per la proposizione precedente, esso si scrive come unione di intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B_Y \): ossia, sarà \( A=\bigcup_{i\in I}A_i \), dove ciascun \( A_i \) è l'intersezione \( \bigcap_{j=m_i}^{n_i} \) di un numero finito di elementi della prebase. Sarà dunque
\[
\textstyle f^*\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=m_i}^{n_i}f^*A_i
\] dato che la controimmagine si comporta bene riguardo a queste cose. \( \square \)
Veniamo all'esercizio. Come mi hai rivelato, gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono esattamente le immagini di insiemi del tipo \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \). Allora, mi sembra sensato provare che
Proposizione. Gli \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \) sono una prebase di \( \mathbb R \) con la topologia euclidea.
Dimostrazione. Sia \( \tau^\prime \) una topologia sui reali contenente la famiglia \( \mathcal B \) di quegli intervalli. Allora dico che \( \tau\subset\tau^\prime \), i.e., che la topologia euclidea è la generata da \( \mathcal B \). Sia infatti \( A \) un aperto del campo reale con topologia euclidea (che è quella generata dagli intervalli aperti limitati): si vede immediatamente che \( A\subset\tau^\prime \), dato che ogni intervallo della forma \( \left]a,b\right[ \), con \( a
Questo dovrebbe concludere l'esercizio.
@dissonance
Se gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti allora, dati due \( k
\textstyle\bigcup_{h>k}A_{k,h}=\left\{x\in\mathbb{R}:\text{$ k
Ora, ogni \( A_{k,h} \) è preimmagine di un intervallo aperto \( f^*\left]k,h\right[ \). Il fatto che le immagini inverse sugli elementi di una base di uno spazio siano aperti implica che la suddetta funzione sia continua, senza parlare di sottobasi. Perché dici che è la stessa cosa di quello che ha detto @otta96?
In ogni caso, grazie molte ad entrambi. Sono sicuro di aver fatto un po' di casino, ma comunque la cosa mi è stata utile.
Esatto. Dico che è la stessa cosa, perché quel discorso che hai fatto è esattamente l'argomento che si usa per dimostrare che \(f\) è continua se e solo se \(f^{-1}(B)\) è aperto per ogni \(B\) in una sottobase.
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