Sottospazio vettoriale
Ciao a tutti, sono nuova nel forum, mi chiamo martina e sono al primo anno di ingegneria e ho un problema di algebra che non so risolvere..
il testo è questo: In $ RR^3 $ ( $ RR $ ) si determini, se possibile, un insieme A tale che $text(L)(A) = U$ dove $U = \{(x-1, x + y, y-2) in RR^3 | x,y in R\}$.
In caso non sia possibile si giustifichi la risposta.
allora: so dalla teoria che perché $U$ sia un sottospazio lineare, deve soddisfare tre proprietà:
[list=1][*:25k33i67] La somma di due vettori appartenenti all'insieme deve essere contnute nell'insieme stesso
[/*:m:25k33i67]
[*:25k33i67] Il prodotto di due vettori appartenenti all'insieme deve essere contenuta nello stesso
[/*:m:25k33i67]
[*:25k33i67] Per essere uno sottospazio vettoriale deve contenere il vettore nullo e gli opposti dei vettori presenti nell'insieme preso in considerazione[/*:m:25k33i67][/list:o:25k33i67]
ma non so come applicarle queste proprietà...
qualche suggerimento per iniziare?
il testo dice che è impossibile determinare $A$ perché $U$ non è sottospazio vettoriale
ma se $U$ lo fosse? come dovrei svolgere i calcoli?
grazie in anticipo
il testo è questo: In $ RR^3 $ ( $ RR $ ) si determini, se possibile, un insieme A tale che $text(L)(A) = U$ dove $U = \{(x-1, x + y, y-2) in RR^3 | x,y in R\}$.
In caso non sia possibile si giustifichi la risposta.
allora: so dalla teoria che perché $U$ sia un sottospazio lineare, deve soddisfare tre proprietà:
[list=1][*:25k33i67] La somma di due vettori appartenenti all'insieme deve essere contnute nell'insieme stesso
[/*:m:25k33i67]
[*:25k33i67] Il prodotto di due vettori appartenenti all'insieme deve essere contenuta nello stesso
[/*:m:25k33i67]
[*:25k33i67] Per essere uno sottospazio vettoriale deve contenere il vettore nullo e gli opposti dei vettori presenti nell'insieme preso in considerazione[/*:m:25k33i67][/list:o:25k33i67]
ma non so come applicarle queste proprietà...
qualche suggerimento per iniziare?
il testo dice che è impossibile determinare $A$ perché $U$ non è sottospazio vettoriale
ma se $U$ lo fosse? come dovrei svolgere i calcoli?
grazie in anticipo
Risposte
Immagino che $text(L)(A)$ sia un simbolo per denotare il sottospazio generato da $A$, giusto?
Poi si vede “ad occhio” un grave errore: che vuol dire il punto 2? Insomma, cos’è il “prodotto di due vettori”?
Inoltre, le condizioni da soddisfare per essere un sottospazio si possono esprimere in diversi modi equivalenti, ma non è “salutare” mischiare questi modi insieme… Cerca di capire quale versione delle condizioni vuoi usare e poi vediamo.
Ad ogni buon conto, come già hai capito, il testo dell’esercizio si può interpretare così: dimmi se $U$ è un sottospazio e, se lo è, trova un insieme $A$ di suoi generatori.
Quindi se escludi la prima eventualità hai finito.
Poi si vede “ad occhio” un grave errore: che vuol dire il punto 2? Insomma, cos’è il “prodotto di due vettori”?
Inoltre, le condizioni da soddisfare per essere un sottospazio si possono esprimere in diversi modi equivalenti, ma non è “salutare” mischiare questi modi insieme… Cerca di capire quale versione delle condizioni vuoi usare e poi vediamo.
Ad ogni buon conto, come già hai capito, il testo dell’esercizio si può interpretare così: dimmi se $U$ è un sottospazio e, se lo è, trova un insieme $A$ di suoi generatori.
Quindi se escludi la prima eventualità hai finito.
con $ L(A) $ intendo la copertura lineare;
si esatto, praticamente devo provare che $ U $ non è un sottospazio vetoriale.
che calcolo iniziale potrei fare per provare che $ U $ non è un sottospazio vetoriale?
si esatto, praticamente devo provare che $ U $ non è un sottospazio vetoriale.
che calcolo iniziale potrei fare per provare che $ U $ non è un sottospazio vetoriale?
Non amo citarmi, ma…
"gugo82":
Poi si vede “ad occhio” un grave errore: che vuol dire il punto 2? Insomma, cos’è il “prodotto di due vettori”?
Inoltre, le condizioni da soddisfare per essere un sottospazio si possono esprimere in diversi modi equivalenti, ma non è “salutare” mischiare questi modi insieme… Cerca di capire quale versione delle condizioni vuoi usare e poi vediamo.
"martina99209":
si esatto, praticamente devo provare che $ U $ non è un sottospazio vetoriale.
che calcolo iniziale potrei fare per provare che $ U $ non è un sottospazio vetoriale?
Io comincerei col verificare se l'origine ne faccia parte o meno.
oddio, mi sto incasiando in un bicchier d'acqua haahha
come faccio a vedere se l'origine ne fa parte?
come faccio a vedere se l'origine ne fa parte?
Indovina…
sostituisco a x e y il valore 0
Così, a caso?
Che vuol dire che $(0,0,0) in U$?
Come esprimi la condizione di appartenenza?
Che vuol dire che $(0,0,0) in U$?
Come esprimi la condizione di appartenenza?
scusate ma non riesco a interpretare gli aiuti forniti..
Se vuoi ottenere il vettore nullo, vuol dire che le tre componenti devono essere uguali a zero per qualche valore di x e y. Quindi proverai ad uguagliare a zero le tre componenti...e proverai a risolvere il sistema.
Questo è il metodo algebrico.
Il metodo geometrico invece ti fa capire immediatamente la situazione.
Prendi il vettore che definisce l'insieme e lo decomponi.
$U= ( ( x-1 ),( x+y ),( y-2 ) )=x( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + y( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) +( ( -1 ),( 0 ),( -2 ) ) $
L'insieme U è formato da tutte le combinazioni lineari di due vettori (che sono una base per un sottospazio di dimensione 2) + un vettore fisso (che possiamo considerare come un punto).
Quindi è un piano di $RR^3$ traslato "via" dall'origine.
Questo è uno spazio vettoriale $W= ( ( x ),( x+y ),( y ) )=x( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + y( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
(un piano che passa per l'origine)
Mentre U è uno spazio affine perchè quel "vettore fisso" non è combinazione lineare di W.
Però, Martina, se in tre giorni non hai scritto niente sul foglio e/o su questo thread, allora sarebbe bene ripassare i concetti basici.
Questo è il metodo algebrico.
Il metodo geometrico invece ti fa capire immediatamente la situazione.
Prendi il vettore che definisce l'insieme e lo decomponi.
$U= ( ( x-1 ),( x+y ),( y-2 ) )=x( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + y( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) +( ( -1 ),( 0 ),( -2 ) ) $
L'insieme U è formato da tutte le combinazioni lineari di due vettori (che sono una base per un sottospazio di dimensione 2) + un vettore fisso (che possiamo considerare come un punto).
Quindi è un piano di $RR^3$ traslato "via" dall'origine.
Questo è uno spazio vettoriale $W= ( ( x ),( x+y ),( y ) )=x( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + y( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
(un piano che passa per l'origine)
Mentre U è uno spazio affine perchè quel "vettore fisso" non è combinazione lineare di W.
Però, Martina, se in tre giorni non hai scritto niente sul foglio e/o su questo thread, allora sarebbe bene ripassare i concetti basici.
@ Sergio: Dopo averlo scritto in privato, lo scrivo anche in pubblico: bentornato. 
"gugo82":
@ Sergio: Dopo averlo scritto in privato, lo scrivo anche in pubblico: bentornato.
Uuh è tornato Sergio! Ma che piacere! Un abbraccio
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