Piano per P perpendicolare a piano e parallelo a retta
Si consideri il punto \(\displaystyle P(2,3,-1) \), la retta \(\displaystyle r \) contenente i punti \(\displaystyle A(1,2,-2) \) e \(\displaystyle B(-1,3,0) \) e si consideri il piano \(\displaystyle \lambda : 2x+y+1 = 0 \)
Determinare il piano \(\displaystyle \lambda ' \) contenente il punto \(\displaystyle P \), ortogonale a \(\displaystyle \lambda \) e parallelo a \(\displaystyle r \)
#
Per prima cosa ho ricavato il vettore direzione di \(\displaystyle r \) che è \(\displaystyle v(-2,1-2) \) per poi ricavare la rappresentazione cartesiana di \(\displaystyle r \) che è
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+2y-5 = 0
\\
-2y+z+6 = 0
\end{matrix}\right. \)
Poi ho ragionato in questo modo: \(\displaystyle \lambda ' = \) (piano parallelo a r e ortogonale a \(\displaystyle \lambda \)) \(\displaystyle \cap \) (piano contenente P)
Ho quindi scritto il fascio proprio di asse \(\displaystyle r \) per ricavare tutti quei piani paralleli a \(\displaystyle r \)
\(\displaystyle \lambda'_{hk} : h(x+2y-5)+k(-2y+z+6) = 0 \)
svolgendo i calcoli viene fuori
\(\displaystyle \lambda'_{hk} : hx + (2h-2k)y + zk + 6h-5h = 0 \)
ora che ho trovato tutte le rette parallele a \(\displaystyle r \) impongo che il prodotto scalare tra la normale del piano \(\displaystyle \lambda \) \(\displaystyle w(2,1,0) \) e quella di \(\displaystyle \lambda' \) \(\displaystyle w'(h, 2h-2k, k) \) sia 0 poichè devono essere piani ortogonali
\(\displaystyle
w \cdot w' = 0 \Leftrightarrow 2h+2h-2k = 0 \Leftrightarrow 2h = k \)
scegliendo \(\displaystyle h = 1 \rightarrow k = 2 \) ottengo
\(\displaystyle \lambda' : x-2y+2z + 7 = 0 \)
La soluzione dell'esercizio invece è: \(\displaystyle \lambda' : x-2y+2z+6 = 0 \)
Ora quello che mi chiedo io è, oltre a dove ho sbagliato... quando entra il gioco il punto \(\displaystyle P \) che il piano \(\displaystyle \lambda' \) deve contenere?
Io ho solo trovato il piano parallelo a \(\displaystyle r \) e ortogonale a \(\displaystyle \lambda \) ... ma non ho nemmeno usato \(\displaystyle P \) ... e il risultato è quasi identico al mio...
Cosa sto sbagliando?
Grazie mille in anticipo.
Determinare il piano \(\displaystyle \lambda ' \) contenente il punto \(\displaystyle P \), ortogonale a \(\displaystyle \lambda \) e parallelo a \(\displaystyle r \)
#
Per prima cosa ho ricavato il vettore direzione di \(\displaystyle r \) che è \(\displaystyle v(-2,1-2) \) per poi ricavare la rappresentazione cartesiana di \(\displaystyle r \) che è
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+2y-5 = 0
\\
-2y+z+6 = 0
\end{matrix}\right. \)
Poi ho ragionato in questo modo: \(\displaystyle \lambda ' = \) (piano parallelo a r e ortogonale a \(\displaystyle \lambda \)) \(\displaystyle \cap \) (piano contenente P)
Ho quindi scritto il fascio proprio di asse \(\displaystyle r \) per ricavare tutti quei piani paralleli a \(\displaystyle r \)
\(\displaystyle \lambda'_{hk} : h(x+2y-5)+k(-2y+z+6) = 0 \)
svolgendo i calcoli viene fuori
\(\displaystyle \lambda'_{hk} : hx + (2h-2k)y + zk + 6h-5h = 0 \)
ora che ho trovato tutte le rette parallele a \(\displaystyle r \) impongo che il prodotto scalare tra la normale del piano \(\displaystyle \lambda \) \(\displaystyle w(2,1,0) \) e quella di \(\displaystyle \lambda' \) \(\displaystyle w'(h, 2h-2k, k) \) sia 0 poichè devono essere piani ortogonali
\(\displaystyle
w \cdot w' = 0 \Leftrightarrow 2h+2h-2k = 0 \Leftrightarrow 2h = k \)
scegliendo \(\displaystyle h = 1 \rightarrow k = 2 \) ottengo
\(\displaystyle \lambda' : x-2y+2z + 7 = 0 \)
La soluzione dell'esercizio invece è: \(\displaystyle \lambda' : x-2y+2z+6 = 0 \)
Ora quello che mi chiedo io è, oltre a dove ho sbagliato... quando entra il gioco il punto \(\displaystyle P \) che il piano \(\displaystyle \lambda' \) deve contenere?
Io ho solo trovato il piano parallelo a \(\displaystyle r \) e ortogonale a \(\displaystyle \lambda \) ... ma non ho nemmeno usato \(\displaystyle P \) ... e il risultato è quasi identico al mio...
Cosa sto sbagliando?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
La retta ha direzione v=(2,-1,-2)
Il piano è ortogonale al vettore dei suoi coefficienti ovvero alla direzione d=(2,1,0)
Quindi il piano cercato è $ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( 2 ),( -1 ),( -2 ) )+s( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )+( ( 2 ),( 3 ),( -1 ) ) $
ovvero $lambda': x-2y+2z+6=0$
Il piano è ortogonale al vettore dei suoi coefficienti ovvero alla direzione d=(2,1,0)
Quindi il piano cercato è $ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( 2 ),( -1 ),( -2 ) )+s( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )+( ( 2 ),( 3 ),( -1 ) ) $
ovvero $lambda': x-2y+2z+6=0$
"Bokonon":
La retta ha direzione v=(2,-1,-2)
Tu hai ottenuto questo vettore sottraendo le componenti del punto B alle componenti del punto A.
Io invece l'ho ottenuto facendo il contrario, ma hanno componenti con segno opposto.
Credo che questo cambi la direzione della retta... ma ai fini dell'esercizio è grave?
In altri esercizi ho effettuato lo stesso procedimento, e con i risultati mi trovavo.
"Bokonon":
Il piano è ortogonale al vettore dei suoi coefficienti ovvero alla direzione d=(2,1,0)
Quindi il piano cercato è $ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( 2 ),( -1 ),( -2 ) )+s( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )+( ( 2 ),( 3 ),( -1 ) ) $
ovvero $ lambda': x-2y+2z+6=0 $
Non capisco cosa fa esattamente quella somma. In termini teorici, perchè ciò mi fornisce la soluzione?
Non ho mai utilizzato questa scrittura/metodo, motivo per cui mi confonde un attimo
"DeltaEpsilon":
Credo che questo cambi la direzione della retta... ma ai fini dell'esercizio è grave?
Assolutamente no. E' la stessa cosa, ma la direzione che hai scritto è proprio sbagliata.
Forse hai copiato male.
"DeltaEpsilon":
Non capisco cosa fa esattamente quella somma. In termini teorici, perchè ciò mi fornisce la soluzione?
Non ho mai utilizzato questa scrittura/metodo, motivo per cui mi confonde un attimo
E' semplicemente la forma parametrica. Il piano passante per l'origine è generato dalle combinazioni lineare di quei due vettori. Poi ci sommi il punto per cui deve passare per spostarlo dall'origine (se invece ne fa già parte allora il piano resta nell'origine ovviamente).
Se risolvi il sistema trovi la forma cartesiana.
La forma parametrica è talmente esplicita e chiara nella lettura che la impiego sempre.
"Bokonon":
E' la stessa cosa, ma la direzione che hai scritto è proprio sbagliata.
Forse hai copiato male.
Accidenti si. Ho copiato male dal foglio sul quale ho svolto l'esercizio.
"Bokonon":
E' semplicemente la forma parametrica.
Se risolvi il sistema trovi la forma cartesiana.
Ah ecco. Il nostro prof non ci ha mostrato la rappresentazione parametrica per il piano ma solo per la retta.
Ad ogni modo, esiste un metodo per ottenere direttamente quella cartesiana invece di dover prima ricavare quella parametrica?
.
P.S.: cosa c'è di sbagliato nella mia risoluzione dell'esercizio teoricamente parlando? Eccetto il fatto che il punto P non compare, parlo proprio della logica generale.
"DeltaEpsilon":
Ad ogni modo, esiste un metodo per ottenere direttamente quella cartesiana invece di dover prima ricavare quella parametrica?
Quello che ho usato io.
Visto che siamo in $RR^3$ i coefficienti del piano cercato sono il vettore ortogonale alle direzioni v e d.
Ergo facendo il prodotto vettoriale $vxd$ ho ottenuto quel vettore (1,-2,2).
Quindi adesso ho $x-2y+2z=d$ (perchè non passa per l'origine)
Sostituisco il punto per cui deve passare per ricavare d ed ho finito (invece di risolvere il sistema parametrico).
"DeltaEpsilon":
P.S.: cosa c'è di sbagliato nella mia risoluzione dell'esercizio teoricamente parlando? Eccetto il fatto che il punto P non compare, parlo proprio della logica generale.
Giuro che non ho voglia di entrare nei dettagli.
Ma prendere sia la retta che NON passa per l'origine e il piano $lambda$ che NON passa per l'origine di certo non ti ha aiutato (per usare un eufemismo).
A te interessano solo le direzioni. Quindi considera la versione della retta che passa per l'origine e la versione del piano che passa per l'origine e trova il piano richiesto (sempre passante per l'origine).
Solo dopo traslalo
"Bokonon":
Visto che siamo in $RR^3$ i coefficienti del piano cercato sono il vettore ortogonale alle direzioni v e d.
Ergo facendo il prodotto vettoriale $vxd$ ho ottenuto quel vettore (1,-2,2).
Scusa se insisto su questa cosa ma il nostro prof davvero non ha mai citato la rappresentazione di un piano in forma parametrica.
**** dice:
Un piano può essere descritto considerando un suo punto P e due vettori v w tra loro indipendenti e paralleli al piano
E poi continua spiegando la rappresentazione parametrica.
Ora, prendendo il nostro caso in esame il mio dubbio è questo: i due vettori v,w descritti sopra sono esattamente il vettore direzione della retta \(\displaystyle r \) e il vettore normale al piano \(\displaystyle \lambda' \)
Ma chi mi dice che tali vettori sono anche paralleli al piano che noi stiamo cercando?
"DeltaEpsilon":
Ora, prendendo il nostro caso in esame il mio dubbio è questo: i due vettori v,w descritti sopra sono esattamente il vettore direzione della retta \(\displaystyle r \) e il vettore normale al piano \(\displaystyle \lambda' \)
Il mio vettore d=(2,1,0) è normale al piano $lambda$
"DeltaEpsilon":
Ma chi mi dice che tali vettori sono anche paralleli al piano che noi stiamo cercando?
Quei due vettori stanno nella versione del piano che passa per l'origine perchè lo generano! Sono una base del piano.
Quando si trasla uno spazio (in generale) significa nella sostanza "spostare l'origine del sistema.
La traslazione è una simmetria. Significa prendere un oggetto e spostarlo lungo una direzione SENZA ruotarlo o tirarlo o allungarlo.
Se prendi un piano e lo trasli quindi trovi una famiglia di piani tutti paralleli.
Ok, quindi se ho capito bene hai preso il vettore direzione di \(\displaystyle r \) e il vettore normale al piano \(\displaystyle \lambda' \) così da usarli per generare il piano cercato (e poi traslarlo per contenere P)
E siccome sono proprio quei due vettori a generarlo (lo hai imposto) allora sono automaticamente paralleli al piano generato.
Inoltre, siccome i due vettori risultano linearmente indipendenti posso concludere che individuano un piano... diversamente, non sarebbe stato possibile.
Corretto?
E siccome sono proprio quei due vettori a generarlo (lo hai imposto) allora sono automaticamente paralleli al piano generato.
Inoltre, siccome i due vettori risultano linearmente indipendenti posso concludere che individuano un piano... diversamente, non sarebbe stato possibile.
Corretto?
Si, è così. Sembra che ti abbia illuminato quando non ho fatto nulla de che!
Però non capisco perchè insisti a scrivere che il vettore d=(2,1,0) sia normale al piano $lambda'$
E' il vettore perpendicolare a $lambda$.
$lambda'$ contiene sia la direzione perpendicolare a $lambda$ che quella parallela alla retta.
Però non capisco perchè insisti a scrivere che il vettore d=(2,1,0) sia normale al piano $lambda'$
E' il vettore perpendicolare a $lambda$.
$lambda'$ contiene sia la direzione perpendicolare a $lambda$ che quella parallela alla retta.
"Bokonon":
Si, è così. Sembra che ti abbia illuminato quando non ho fatto nulla de che!
Però non capisco perchè insisti a scrivere che il vettore d=(2,1,0) sia normale al piano $lambda'$
E' il vettore perpendicolare a $lambda$.
$lambda'$ contiene sia la direzione perpendicolare a $lambda$ che quella parallela alla retta.
Si ho sbagliato, intendevo dire normale a \(\displaystyle \lambda \) non a \(\displaystyle \lambda' \), avendo come componenti i coefficienti di \(\displaystyle \lambda \)
Grazie infinite per l'aiuto!
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