Isomorfismo e prodotti tensoriali

[thedarkhero]

Siano $V,V',W$ spazi vettoriali, voglio mostrare che esiste un isomorfismo di spazi vettoriali $(V \oplus V') \otimes W \cong (V \otimes W) \oplus (V' \otimes W)$.
Sia ${v_i}_{i=1,...,n}$ una base di $V$, sia ${v'_j}_{j=1,...,m}$ una base di $V'$ e sia ${w_k}_{k=1,...,p}$ una base di $W$.
Allora ${(v_i+v'_j) \otimes w_k}_{i,j,k}$ è una base di $(V \oplus V') \otimes W$.
Definisco $F:(V \oplus V') \otimes W -> (V \otimes W) \oplus (V' \otimes W)$ ponendo $F((v_i+v'_j) \otimes w_k)=(v_i \otimes w_k)+(v_j \otimes w_k)$.
Come posso verificare che $F$ è un isomorfismo?

[solaàl]

Mostra che è iniettiva (attento a come sono fatti gli elementi di \((V\oplus V')\otimes W\)) e suriettiva (piu facile).