Norma euclidea
Buongiorno a tutti.
Ho una domanda banalissima, ma a scanso di equivoci chiedo lo stesso
.
Consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale $V$ sul campo $\mathbb{R}$, e una sua base $B={b_1,...,b_n}$.
La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).
La domanda è: il valore della norma euclidea $||v||$ dipende dalla base $B$ scelta, vero?
Cioè ad esempio poniamo che stiamo considerando lo spazio vettoriale $\mathbb{R}$ su se stesso e prendiamo come sua base $B={b_1=5}$.
Dunque per esempio abbiamo che $||3||=|\frac{3}{5}|$ dato che $3=\frac{3}{5}b_1$.
So che è una cosa banale, ma non ci avevo mai pensato, visto che di solito si usa sempre la base canonica per $\mathbb{R}^n$.
Ho una domanda banalissima, ma a scanso di equivoci chiedo lo stesso
.Consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale $V$ sul campo $\mathbb{R}$, e una sua base $B={b_1,...,b_n}$.
La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).
La domanda è: il valore della norma euclidea $||v||$ dipende dalla base $B$ scelta, vero?
Cioè ad esempio poniamo che stiamo considerando lo spazio vettoriale $\mathbb{R}$ su se stesso e prendiamo come sua base $B={b_1=5}$.
Dunque per esempio abbiamo che $||3||=|\frac{3}{5}|$ dato che $3=\frac{3}{5}b_1$.
So che è una cosa banale, ma non ci avevo mai pensato, visto che di solito si usa sempre la base canonica per $\mathbb{R}^n$.
Risposte
Su un qualunque libro di algebra lineare. Ad esempio il Marco Abate, pagina 281, definizione 12.13.
Su "Geometria - Marco Abate" 1996 - 1^ ed. a pag.281 c'è questa definizione:
Definizione 12.13
Uno spazio metrico vettoriale reale o complesso è uno spazio vettoriale $V$ su $RR$ o su $CC$ provvisto di un prodotto scalare (o hermitiano nel caso complesso) $<*,*>$ definito positivo.
La norma $||*||$ : $V -> RR^+$ in questo spazio metrico vettoriale è definita da $||v|| = sqrt()$
La norma $||v||$ di un vettore $v$ si dice anche lunghezza di $v$.
EDIT: ooops, arrivato tardi
Definizione 12.13
Uno spazio metrico vettoriale reale o complesso è uno spazio vettoriale $V$ su $RR$ o su $CC$ provvisto di un prodotto scalare (o hermitiano nel caso complesso) $<*,*>$ definito positivo.
La norma $||*||$ : $V -> RR^+$ in questo spazio metrico vettoriale è definita da $||v|| = sqrt(
La norma $||v||$ di un vettore $v$ si dice anche lunghezza di $v$.
EDIT: ooops, arrivato tardi
Quindi intendete dire che $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ non è una norma di $V$ spazio vettoriale finito dimensionale su $\mathbb{R}$??
Sono un po' perplesso...
$$\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ \mid \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$$ è chiaramente un prodotto scalare definito positivo di $V$.
Dunque $$||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$$ è una norma indotta da tale prodotto scalare.
$$\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ \mid \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$$ è chiaramente un prodotto scalare definito positivo di $V$.
Dunque $$||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$$ è una norma indotta da tale prodotto scalare.
In uno spazio vettoriale $V$ finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$ le componenti di un suo generico vettore $v \in V$ cosa sono? Io ho sempre saputo fossero i numerini $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ tali che $v=v_1b_1+...+v_nb_n$, dove $B={b_1,...,b_n}$ è una base di $V$. Quindi le componenti di un vettore $v \in V$ dipendono dalla base scelta. Oppure con componenti voi intendete qualcosa di diverso?
Vi allego il seguente link: https://www.****.it/lezioni/algebra- ... -base.html
Leggete le prime righe.
Beninteso, vi ringrazio moltissimo del vostro intervento, non vorrei avervi dato l'impressione di dare il vostro gentile aiuto come scontato.
Leggete le prime righe.
Beninteso, vi ringrazio moltissimo del vostro intervento, non vorrei avervi dato l'impressione di dare il vostro gentile aiuto come scontato.
Grazie mille del chiarimento. Si può dire allora che per definizione le componenti di un vettore sono le sue coordinate relative alla base canonica?
Il punto è che però in uno spazio vettoriale generico (non $\mathbb{R}^n$) le componenti di $v$ quali sono?
Cioè in uno spazio vettoriale che non è $\mathbb{R}^n$, e quindi $v$ non si può scrivere come una n-upla $(v_1,...,v_n)$, allora quali sono le componenti di $v$?
Grazie ancora
Il punto è che però in uno spazio vettoriale generico (non $\mathbb{R}^n$) le componenti di $v$ quali sono?
Cioè in uno spazio vettoriale che non è $\mathbb{R}^n$, e quindi $v$ non si può scrivere come una n-upla $(v_1,...,v_n)$, allora quali sono le componenti di $v$?
Grazie ancora
Quindi se ho la norma $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v \in V$ spazio vettoriale diverso da $\mathbb{R}^n$, allora $v_1,...,v_n$ cosa sono? Se come dici tu ha senso parlare di componenti solo in $\mathbb{R}^n$, allora per il mio $v \in V \ne \mathbb{R}^n$ non ha senso parlare di componenti, e quindi non posso nemmeno parlare di norma su $V \ne \mathbb{R}^n$?
Mi sta cadendo una certezza...
Mi sta cadendo una certezza...
Quindi non posso parlare di norma euclidea al di fuori di $\mathbb{R}^n$ poiché non starei più ragionando con n-uple che quindi hanno delle componenti?
Non penso sia cosi...
Guardiamo i seguenti fatti:
Sia $V$ un generico spazio vettoriale finito dimensionale (di dimensione $n$) sul campo $\mathbb{R}$. Sia $B={b_1,...,b_n}$ una sua generica base. ($V$ non è detto che sia $\mathbb{R}^n$, anzi facciamo che sia proprio diverso per nostra ipotesi).
STEP 1:Una funzione del tipo $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+$ che soddisfa le seguenti proprietà:
$1)\langle v|w \rangle=\langle w|v \rangle$, $2)\langle v+u|w \rangle=\langle v|w \rangle+\langle u|w \rangle$, $3)\langle \lambda v|w \rangle=\lambda \langle v|w \rangle$, $4)\langle v|v \rangle \ge 0$.
si dice un prodotto scalare definito positivo di $V$. (fin qui d'accordo?)
STEP 2:Ora $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ | \langle v|w\rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ si verifica facilmente essere un prodotto scalare definito positivo di $V$, dove $v_1,...,v_n$ e $w_1,...,w_n$ sono rispettivamente le coordinate di $v \in V$ e $w \in V$ rispetto alla base $B$. ($\langle \rangle$ cosi definito è un prodotto scalare definito positivo di $V$ perché soddisfa le $1,2,3,4$)
STEP 3:Ora, la funzione $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ è quindi una norma di $V$ indotta dal sopra definito prodotto scalare definito positivo di $V$.
Ebbene, il valore $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ DIPENDE dalla base $B$ scelta, dato che variando $B$ variano le $v_1,...,v_n$.
Quale STEP non ti convince?
Non penso sia cosi...
Guardiamo i seguenti fatti:
Sia $V$ un generico spazio vettoriale finito dimensionale (di dimensione $n$) sul campo $\mathbb{R}$. Sia $B={b_1,...,b_n}$ una sua generica base. ($V$ non è detto che sia $\mathbb{R}^n$, anzi facciamo che sia proprio diverso per nostra ipotesi).
STEP 1:Una funzione del tipo $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+$ che soddisfa le seguenti proprietà:
$1)\langle v|w \rangle=\langle w|v \rangle$, $2)\langle v+u|w \rangle=\langle v|w \rangle+\langle u|w \rangle$, $3)\langle \lambda v|w \rangle=\lambda \langle v|w \rangle$, $4)\langle v|v \rangle \ge 0$.
si dice un prodotto scalare definito positivo di $V$. (fin qui d'accordo?)
STEP 2:Ora $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ | \langle v|w\rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ si verifica facilmente essere un prodotto scalare definito positivo di $V$, dove $v_1,...,v_n$ e $w_1,...,w_n$ sono rispettivamente le coordinate di $v \in V$ e $w \in V$ rispetto alla base $B$. ($\langle \rangle$ cosi definito è un prodotto scalare definito positivo di $V$ perché soddisfa le $1,2,3,4$)
STEP 3:Ora, la funzione $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ è quindi una norma di $V$ indotta dal sopra definito prodotto scalare definito positivo di $V$.
Ebbene, il valore $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ DIPENDE dalla base $B$ scelta, dato che variando $B$ variano le $v_1,...,v_n$.
Quale STEP non ti convince?
So che esistono molte norme diverse, alcune non definite a partire da prodotti scalari. Non mi pare però che c'entri molto con il mio dubbio. 
Sei riuscito a chiarirmi un bel dubbio che inconsciamente mi portavo dietro da un bel po'.
Riassumendo quello che mi hai spiegato: un prodotto salare e/o una norma definiti su un generico spazio vettoriale $V$ non sono ovviamente buoni se dipendono dalla scelta di una base su $V$, cioè se il loro output numerico varia al variare della base scelta.
Dunque, non ha senso definire per uno spazio vettoriale $V$ diverso da $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ un prodotto scalare del tipo: $\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R} | \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ dove $v_1,...,v_n,w_1,...,w_n$ rappresentano le coordinate dei due vettori $v$ e $w$ rispetto a una fissata base di $V$, in quanto tale funzione, [highlight]pur essendo una applicazione bilineare simmetrica definita positiva[/highlight], dipende dalla base scelta, e questo non va bene.
Di conseguenza non ha nemmeno senso parlare di una norma $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ se $V \ne \mathbb{K}^n$ (con $\mathbb{K}$ intendo $\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$).
Insomma per fare un esempio concreto, la p-norma $$||.||_p : \mathbb{K}^n \to \mathbb{R}^+ | \quad || (x_1,...,x_n) ||_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$ non può essere in generale definita in uno spazio vettoriale arbitrario generico diverso da $\mathbb{K}^n$, dato che mancherebbero appunto le famose componenti ($x_1,...,x_n$) di cui parlavi (e che esistono ovviamente solo in $\mathbb{K}^n$).
[highlight]Sarebbe insomma un errore dire che su $V$ (generico spazio vettoriale finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$) considero la "p-norma"[/highlight]
$$||.||_p : V \to \mathbb{R}^+ | \quad || v ||_p=(\sum_{i=1}^n |v_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$
[highlight]dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v \in V$ rispetto a una arbitraria base $B$ di $V$.[/highlight]
Giusto?
Grazie mille per il chiarimento!
Riassumendo quello che mi hai spiegato: un prodotto salare e/o una norma definiti su un generico spazio vettoriale $V$ non sono ovviamente buoni se dipendono dalla scelta di una base su $V$, cioè se il loro output numerico varia al variare della base scelta.
Dunque, non ha senso definire per uno spazio vettoriale $V$ diverso da $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ un prodotto scalare del tipo: $\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R} | \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ dove $v_1,...,v_n,w_1,...,w_n$ rappresentano le coordinate dei due vettori $v$ e $w$ rispetto a una fissata base di $V$, in quanto tale funzione, [highlight]pur essendo una applicazione bilineare simmetrica definita positiva[/highlight], dipende dalla base scelta, e questo non va bene.
Di conseguenza non ha nemmeno senso parlare di una norma $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ se $V \ne \mathbb{K}^n$ (con $\mathbb{K}$ intendo $\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$).
Insomma per fare un esempio concreto, la p-norma $$||.||_p : \mathbb{K}^n \to \mathbb{R}^+ | \quad || (x_1,...,x_n) ||_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$ non può essere in generale definita in uno spazio vettoriale arbitrario generico diverso da $\mathbb{K}^n$, dato che mancherebbero appunto le famose componenti ($x_1,...,x_n$) di cui parlavi (e che esistono ovviamente solo in $\mathbb{K}^n$).
[highlight]Sarebbe insomma un errore dire che su $V$ (generico spazio vettoriale finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$) considero la "p-norma"[/highlight]
$$||.||_p : V \to \mathbb{R}^+ | \quad || v ||_p=(\sum_{i=1}^n |v_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$
[highlight]dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v \in V$ rispetto a una arbitraria base $B$ di $V$.[/highlight]
Giusto?
Grazie mille per il chiarimento!
Grazie mille!
Sintetizzando al massimo la morale allora sarebbe: la norma euclidea
\[ || (x_1,...,x_n) ||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \]
è definita solo per $\mathbb{K}^n$, in quanto si definisce a partire dalle componenti di un n-upla, delle quali non ha senso parlare in spazi vettoriali più generici (i quali possederanno altre norme, ad esempio la norma del sup per lo spazio delle funzioni e via dicendo).
Sintetizzando al massimo la morale allora sarebbe: la norma euclidea
\[ || (x_1,...,x_n) ||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \]
è definita solo per $\mathbb{K}^n$, in quanto si definisce a partire dalle componenti di un n-upla, delle quali non ha senso parlare in spazi vettoriali più generici (i quali possederanno altre norme, ad esempio la norma del sup per lo spazio delle funzioni e via dicendo).
Scusami se chiedo ancora un chiarimento.
Sempre sul Marco Abate, pagina 270, l'osservazione 12.1 (che rimanda all'esercizio 12.1) sembra suggerire che la distanza definita su $\mathbb{R}^2$ dipenda dalla scelta della base fissata. O sbaglio?
Sempre sul Marco Abate, pagina 270, l'osservazione 12.1 (che rimanda all'esercizio 12.1) sembra suggerire che la distanza definita su $\mathbb{R}^2$ dipenda dalla scelta della base fissata. O sbaglio?
Chiarissimo grazie.
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