Proiezione ortogonale di vettore

[Cate.98.]

Ciao, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio:

"Nello spazio vettoriale $R^3$ dotato del prodotto scalare euclideo usuale si considerino il vettore $v=(1,0,3)$ e, al variare di t, il vettore $w=(1,3,-t)$.
1) per t=2 determinare la proiezione ortogonale di w su .
2) per ogni valore di t determinare la proiezione ortogonale di w sul sottospazio ortogonale a v."

Non ho davvero idea di come fare.
Credo che corrisponda a v (come valori) ma a quel punto come trovo la proiezione ortogonale? È giusto fare $(v•w)/(w•w)$ o in questo modo trovo la proiezione ortogonale di w sul sottospazio ortogonale a v?

[anto_zoolander]

In quel modo non trovi niente

La proiezione di $w$ su $v$ è definita come

$pi_(v) (w) =(<>) /(<>) v$

[Cate.98.]

Quindi, se non sbaglio i calcoli, è giusto dire che $Pr(v)=(-3/5)(1,0,2)$? e sul vettore ortogonale a v è invece $(8/5,3,(-5t+6)/5)$?

[anto_zoolander]

Che conto hai fatto?

$pi_(v) (w) = (<<(1,3,-t)|(1,0,3)>>)/(<<(1,0,3)|(1,0,3)>>)(1,0,3)=(1-3t)/10 (1,0,3)$

Sai come funziona la proiezione? In caso la rivediamo.

[Cate.98.]

"anto_zoolander":Che conto hai fatto?

$pi_(v) (w) = (<<(1,3,-t)|(1,0,3)>>)/(<<(1,0,3)|(1,0,3)>>)(1,0,3)=(1-3t)/10 (1,0,3)$

Sai come funziona la proiezione? In caso la rivediamo.

Scusami, ho fatto confusione con un altro esercizio nel risponderti. I calcoli a questo punto mi tornano.
Per completezza vorrei chiedere anche come si proietta un vettore su un sottospazio. Prendiamo ad esempio il vettore v di prima e troviamo la sua proiezione ortogonale sul sottospazio $S=<(1,1,1),(1,2,2)>$. Devo applicare gram-schmidt? (Sono valori inventati quindi spero vadano bene per l'esempio)

[anto_zoolander]

Si i valori vanno bene
Per proiettare un vettore $v$ su un sottospazio $W$(con semplicità) devi:

1) prendere una base ortogonale ${w_1,...,w_m}$ del sottospazio

2) calcolare la proiezione di $v$ su ciascun $w_i$ con

$(<>) /norm(w_i)^2 w_i$

3) sommarle tutte quante $sum_(i=1)^(m)(<>) /norm(w_i)^2 w_i$

Per convincertene prendi un vettore $v in V$ e lo scrivi come

$v=(v-w) +w$

Richiedendo che $w in W$ e $v-w in W^(_|_) $
Dalla prima condizione $ w=sum_(i=1)^(m)lambda_i w_i$
Dalla seconda risulta che $v-w$ deve essere ortogonale ad ogni elemento della base quindi

$0= <>= <>-sum_(i=1)^(m)lambda_i <>=<>-lambda_j<>$

Quindi per ogni $j=1,...,m$ si ha $lambda_j = (<>) /norm(w_j) ^2 => w=sum_(i=1)^(m)(<>) /norm(w_i) ^2 w_i$

[Cate.98.]

"anto_zoolander":Si i valori vanno bene
Per proiettare un vettore $v$ su un sottospazio $W$(con semplicità) devi:

1) prendere una base ortogonale ${w_1,...,w_m}$ del sottospazio

2) calcolare la proiezione di $v$ su ciascun $w_i$ con

$(<>) /norm(w_i)^2 w_i$

3) sommarle tutte quante $sum_(i=1)^(m)(<>) /norm(w_i)^2 w_i$

Per convincertene prendi un vettore $v in V$ e lo scrivi come

$v=(v-w) +w$

Richiedendo che $w in W$ e $v-w in W^(_|_) $
Dalla prima condizione $ w=sum_(i=1)^(m)lambda_i w_i$
Dalla seconda risulta che $v-w$ deve essere ortogonale ad ogni elemento della base quindi

$0= <>= <>-sum_(i=1)^(m)lambda_i <>=<>-lambda_j<>$

Quindi per ogni $j=1,...,m$ si ha $lambda_j = (<>) /norm(w_j) ^2 => w=sum_(i=1)^(m)(<>) /norm(w_i) ^2 w_i$

Giusto per levarmi ogni dubbio: la base ortogonale del sottospazio la trovo con Gram-Schmidt? (So che non sarebbe corretto dire "la base" ma è per intendere la base che andrò ad utilizzare nei passaggi successivi).
E la proiezione di ciascun v su ciascun w viene fatta dividendo per la norma al quadrato? Cioè $(√(w•w))^2$?
Scusami ma voglio essere ben sicura di aver capito.
Comunque grazie mille per la risposta

[anto_zoolander]

Perché non è corretto? Alla fine l'algorimo si usa per trovare una base ortogonale
O costruirla da quella di partenza, ma siamo li.

La base ortogonale la puoi ricavare come ti viene meglio, Gram va pure bene, basta che alla fine della fiera hai una base ortogonale: è il prezzo da pagare per avere una notazione così semplice della proiezione su un sottospazio.

Si esatto la norma al quadrato è quella.
Preferisco scrivere $norm(v) ^2$ anziché $<>$ ma è semplicemente gusto personale.

Prova ad applicare quanto detto sul tuo esempio.

[Cate.98.]

"anto_zoolander":Perché non è corretto? Alla fine l'algorimo si usa per trovare una base ortogonale
O costruirla da quella di partenza, ma siamo lì.

Perché sono infinite basi, non una sola quindi mi pare quasi un errore dire che mi ricavo LA base

Tornando all'esercizio... L'ho svolto e la base ortogonale mi risulta ${(1,1,1),(-2/3,1/3,1/3)}$.
Da qui mi sono trovato separatamente le proiezioni che mi risultano essere $(4/3,4/3,4/3)$ e $(-2/6,1/6,1/6)$ quindi la proiezione ortogonale sul sottospazio dovrebbe essere $(1,3/2,3/2)$.
Spero di non aver fatto qualche errore di calcolo

[anto_zoolander]

Ah si è meglio "una base", non avevo fatto caso all'articolo

La proiezione è corretta, non ci sono errori.
Un consiglio: quando hai basi con numeri razionali, ogni vettore lo puoi moltiplicare per il minimo comune multiplo dei denominatori, in modo da levarteli.
Ricorda che se $<> =0$ allora $<>=k<>=0$. Quindi se moltiplichi un vettore di una base ortogonale per uno scalare ottieni ancora unna base ortogonale, infatti se avessi preso $B={(1,1,1),(-2,1,1)}$ avresti ottenuto lo stesso risultato.

Questo ti dice anche che la proiezione non dipende dalla particolare base ortogonale che utilizzi.

[anto_zoolander]

Ciao sergio
Il vettore $(1,3/2,3/2)$ è relativo ad un altro esempio, non rispetto al vettore $v$.
Ovvero la proiezione sul sottospazio $W = <(1,1,1),(1,2,2)>$

Inoltre il procedimento da te esposto è lo stesso metodo usato per dimostrare la formula generale della proiezione, quello che ho descritto sopra.

[anto_zoolander]

Questo è il sottospazio

"ccc": Prendiamo ad esempio il vettore v di prima e troviamo la sua proiezione ortogonale sul sottospazio $S=<(1,1,1),(1,2,2)>$

Questo è quello di cui parlavo

"anto_zoolander":

$v=(v-w) +w$

Richiedendo che $w in W$ e $v-w in W^(_|_) $
Dalla prima condizione $ w=sum_(i=1)^(m)lambda_i w_i$
Dalla seconda risulta che $v-w$ deve essere ortogonale ad ogni elemento della base quindi

$0= <>= <>-sum_(i=1)^(m)lambda_i <>=<>-lambda_j<>$

Quindi per ogni $j=1,...,m$ si ha $lambda_j = (<>) /norm(w_j) ^2 => w=sum_(i=1)^(m)(<>) /norm(w_i) ^2 w_i$