Esercizio sul prodotto righe per colonne.

[Pasquale 90]

Buonasera, ho un esercizio il quale ho provato a svolgerlo da solo, ma non sono sicuro se l'ho svolto correttamente.

Esercizio:
Siano due matrici $A in K^(n,m)$ e $D in K^(n,l)$, esiste una matrice $B in K^(m,l)$ tale che $AB=D$ se e solo se ogni colonna di $D$ è combinazione lineare della colonne di $A.$

Svolgimento:
Si ha una doppia implicazione, dunque, l'implicazione che va da sinistra verso destra, segue dalla definizione di prodotto righe per colonne. Invece, la rimanente segue dalla definizione di combinazione lineare, ossia,
considero la colonna i-esima di $D$, cioè, $D^i$, dunque risulta

$D^i=b_1A^1+b_2A^2+...+b_mA^m,$

cioè, per ogni colonna della matrice $D$ esistono $m$ coefficienti in $K,$ quindi

$D^i=b_(1i)A^1+b_(2i)A^2+...+b_(mi)A^m, qquad forall i=1,...,l$

i coefficienti $b_(1i),b_(2i),...,b_(mi)$ definiscono un vettore $B_i$ di $m$ componenti, ossia, $B_i=(b_(1i),b_(2i),...,b_(mi))^T.$
Questo ragionamento si ripete per ogni indice $i$ con $1le i le l$, pertanto abbiamo costruito una matrice $B$ di $m$ righe e $l$ colonne, inoltre, dal prodotto righe per colonne, si ha $AB=D.$

E' fatto bene?...sono un pochettino incerto se posso fare il prodotto righe per colonne, mi confondo con gli indici.

[fulcanelli]

Se scrivi le entrate delle matrici con due indici invece che uno è ovvio, sì.

[Pasquale 90]

Ciao, intendi l'implicazione da destra verso sinistra ?

[fulcanelli]

Entrambe.