Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, sui miei appunti di riferimento viene fatta un'osservazione in merito alla successione di Mayer-Vietoris che non riesco a visualizzare. Giusto per far capire le notazioni riporto l'enunciato della prima parte del teorema.
Siano $X$ uno spazio topologico e $U,V$ aperti di $X$ tali che $X=U\cup V$. Se $c$ è un ciclo in $X$ allora esistono un ciclo $c_U$ in $U$ e un ciclo in ...
Sto trovando parecchie difficoltà a capire la definizione di "suddivisione baricentrica" esposta su questi appunti:
https://www1.mat.uniroma1.it/people/sal ... /Cap_5.pdf
In particolare non capisco come l'operatore $S$, che viene introdotto a partire da pagina 18, che è definito tra $k$-simplessi regolari affini poi agisca tra $k$-simplessi regolari (soliti).
Dunque se qualcuno può chiarirmi come si definisce la suddivisione baricentrica di un $k$-simplesso gliene sarei ...
L'esistenza di una decomposizione in fratti semplici è la maniera di spiegare questo fatto: supponiamo \(Q\) sia un polinomio di grado \(n\) a coefficienti in un campo \(K\), e supponiamo che
\[a(X-c_1)^{m_1}(X-c_2)^{m_2}\cdots (X - c_r)^{m_r}\] sia la sua decomposizione (completa) in fattori lineari, cioè che \(Q\) abbia tutte le radici in \(K\), eventualmente ripetute.
Definiamo ora lo spazio vettoriale \(V=\frac{K[X]}{Q}\) come l'insieme delle funzioni razionali \(P(X)/Q(X)\) al variare di ...
Ciao a tutti, vorrei chiedervi se un sistema lineare di questo tipo può essere risolto anche con metodi diretti (se si quali?) oltre che con metodi iterativi, quali il metodo delle potenze. Il problema penso sia il fatto che la variabile p comprare ad entrambi i membri
NB g è sempre un numero.
Grazie!
\begin{cases}
p_1=g_{11}p_1+g_{12}p_2+g_{13}p_3 \\
p_2=g_{21}p_1+g_{22}p_2+g_{23}p_3 \\
p_3=g_{31}p_1+g_{31}p_2+g_{33}p_3
\end{cases}
Ho un dubbio sulla segue notazione.
Sia $X$ una varietà algebrica affine e indichiamo con $O(X)$ l'anello delle funzioni regolari. Se $U,V$ sono aperti non vuoti e $f,g\in O(X)$, la relazione $(U,f)\equiv (V,g) \iff g_{|U\cap V} =f_{|U\cap V}$ è una relazione di equivalenza e ci siamo.
Molto spesso però negli appunti che seguo incontro il quoziente $\frac{O(X)}{\equiv}$ in luogo di $\frac{\tau\times O(X)}{\equiv}$, essendo $\tau$ l'insieme degli aperti non vuoti di $X$.
L'autore ...
Buongiorno, ho un dubbio su una dimostrazione che riguarda la seguente proposizione, mi sarei dato anche una risposta, ma non sono molto sicuro di essa.
Proposizione:
Siano $W_1, ..., W_n$ sottospazi vettoriali di $V$ su $K$.
Si ha che se ogni vettore $v in W_1+...+W_n$ si scrive in modo unico nella forma $v=w_1+...+w_n$ con $w_i in W_i, i=1,...,n$.
Allora dati $n$ vettori $w_i in W_i$ con $i=1,...,n$ se $w_1+...+w_n=0_V$ allora ...
Buonasera sto trovando difficoltà nel comprendere una parte risolutiva di questo esercizio:
Sia $X$ uno spazio topologico contrattile e sia $Y$ uno sp. Topologico connesso per archi:
sia $[X,Y]$ l'insieme delle classi di equivalenza modulo omotopia di applicazioni continue da $X$ a $Y$
La parte dove ho dubbi è la seguente:
Poiché $X$ è contrattile esiste un'omotopia $F:(X x I)->Y$ tale che $F(x,0)=x$, ...
copio qui la domanda letta in altro forum (lì non ha ricevuto risposta):
Ho trovato in rete la seguente dispensa
https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/com ... ione17.pdf
ma non riesco a capire come ricava nell' osservazione 1.1.8. a pagina 5 la seguente operazione (al rigo -14): (£ intendo lamba)
£z = ([a + b]v_1 - bv_2, 2bv_1 + [a - b]v_2)
per ogni £ = a + ib appartenente a C, per ogni z = (v_1, v_2)
(e al rigo -13)
In particolare, iz = i(v_1, v_2)=(v_1 - v_2, v_2),
non dovrebbe essere, in base a quanto definito ...
Studiandolo qui:
https://www.****.it/domande-a-risposte/view/4039-dimostrazione-teorema-delle-dimensioni.html
circa a metà pagina dice : "Se proviamo che l'unica eventualità in cui la precedente combinazione lineare è nulla e data da....." e dimostra che in questo caso tutti i coefficienti lambda devono essere nulli: va bene questo l'ho capito, ma come fa ad escludere che non esistano altre eventualità in cui la combinazione si annulla ma usando coefficienti non tutti nulli?
Cioè oltre ...
Sia \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( C \), di dimensione finita. Sia \( g\colon V\times V\to C \) bilineare e simmetrica/alternate, e sia \( g_1\colon V\to V^* \) l'isomorfismo (uno dei due, tanto è uguale) tra \( V \) e il suo duale indotto da \( g \). Dato un sottospazio \( U \) di \( V \) non degenere, il suo ortogonale \( U^\perp \) rispetto alla forma \( g \) si scrive come intersezione \( U^\perp = \bigcap_{u\in U}\operatorname{Ker}{g_1(u)} \), dove le \( g_1(u) \) rangiano in ...
Buongiorno, ho la seguente osservazione presa dal libro di testo https://www1.mat.uniroma1.it/people/man ... ineare.pdf alla pagina 149,150.
Supponiamo di avere un sistema lineare omogeneo in $n$ equazioni in $m$ incognite, possiamo riscriverlo nella forma compatta come $Ax=0$ con $x in K^m.$
Siano $L_A : x in K^m to Ax in K^n\ qquad $ $Ker(L_A)={x in K^m \|\ Ax=0},$ dunque l'insieme delle soluzioni del sistema coincide con il nucleo dell'applicazione $L_A$, inoltre, formano un sottospazio vettoriale di ...
salve ragazzi l'esercizio mi chiede data la seguente quadrica $Q: : 3x^2+2y^2+2xz+3z^2+4=0$ 1)determinare il suo tipo affine e la forma canonica affine e 2)vista come quadrica complessa qual è la sua forma canonica?
ho visto che il rango della sottomatrice è 3, il determinante della matrice originaria 4x4 è 64 che è positivo , e che gli autovalori della matrice 3x3 sono concordi e quindi si tratta di un ellissoide immaginario , infatti alla fine da cambio di coordinate riesco a trovare l'equazione ...
Buonasera, sto leggendo il teorema sull'unicità del determinante del prof. Marco Manetti, dove ci sono alcuni punti che non mi sono molto chiari.
Posso postare il link del libro è commentare i passaggi che non mi sono chiari, oppure, devo riportare la dimostrazione del teorema per poi commentare.
Saluti
Buonasera,
Non riesco a capire un concetto riguardante gli operatori lineari.
Consideriamo l'equazione
$Lambdau= Phi$
Dove
$Lambda=(L_0,L_1, ..., L_k):X->Y$ è un operatore lineare che agisce tra due spazi vettoriali metrici $X$ ed $Y$
e
$Phi= (f, phi_1, ..., phi_k)$ è un vettore assegnato in $Y$.
Per determinare l'unicità della soluzione $u$ devo provare che l'operatore $Lambda$ è iniettivo.
Quello che non capisco è:
Perché per provare che ...
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Studente Anonimo
18 mag 2021, 18:19
Buongiorno ragazzi ho a che fare con questa matrice ricavata dalla forma ridotta di Echelon
$ ( ( -9.4 , 5.14 , 5.25 ),( 0 , -8.13 , 7.75 ),( 0 , 0 , -9.53 ) ) $
Le colonne base sono la prima e la seconda quindi prendo z come variabile libera. Imposto il sistema omogeneo(perché così è richiesto):
$ { ( -9.4x+5.14y-5.25z=0 ),( -8.13y+7.75z=0 ),( -9.53z=0 ):} $
è corretto procedere in questo modo?:
$ { ( x=(-5.14y-5.25z)/-9.4 ),( y=(-7.75z)/-8.13):} $ cioè ignorando praticamente la terza equazione dato che z è fissato? Possibile che non si debba tener conto della terza equazione? Sono confuso =(.
Non mi sono mai ritrovato ...
Buongiorno,
Sto leggendo il libro Algebra lineare e Geometria di Enrico Schlesinger , in particolare, il paragrafo inerente al prodotto righe per colonne.
Inizia cosi:
Una matrice $A$ di tipo $(m,n)$ definisce una funzione
$L_A : x in K^n to Ax in K^m.$
La funzione $L_A$ determina la matrice, infatti, se $e_k$ è il k-esimo vettore della basa canonica di $L^n$, il vettore
$L_A(e_k)=Ae_k$
è la colonna k-esima di $A.$
Tutto ...
Ciao ragazzi, non so se questa è la sezione adatta per questo tipo di domande, provo comunque a farla perché non ne trovo una più in tema. Non ho ben chiara la definizione di ideale solubile: ora mi spiego. Per definire il concetto di algebra $g$ di Lie solubile passiamo per la definizione di questi oggetti $g^k$ (di cui non conosco il nome) con $k$ intero non negativo, ma di cui trovo due definizioni diverse da fonti diverse. Una mi dice che ...
Sia $A$ la matrice di dimensione $n$ su $RR$ così definita:
$a_(j,k)=\{(pi, ", se " j=1 " e " k in \{1,...,n\}),(1, ", se " k=1 " e "j in \{2,...,n\}),(pi +j-1, ", se " j=k in \{2,...,n\}),(1, ", se " k>j " e " j in \{2,...,n-1\}),(0, ", se " k<j " e " j in \{2,...,n-1\}):}$
Sia poi $e_1$ il primo vettore della base canonica e $e_2$ il secondo vettore della base canonica
La matrice $M=A*(A)^T + e_1*(e_1)^T + e_2*(e_2)^T$ è definita positiva? Semidefinita positiva?
Siccome calcolare gli autovalori oppure semplicemente fare il prodotto $A*(A)^T$ non è per nulla banale, come potrei agire per giungere alla soluzione?
Ringrazio ...
"Sergio":(omissis)
Tralascio questa matrice e mi rimane il vettore colonna dei coefficienti della combinazione lineare, quindi:
$(T(b_1)" "T(b_2)" "..." T(b_j) "..." "T(b_n))=((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1m}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2m}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{nm}))$
Ecco la nosta matrice!
Ma quel "tralasciare" ha un prezzo
(omissis)
Secondo me l'ultima colonna di quella matrice è sbagliata. Dovrebbe essere:
$((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1n}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2n}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{mn}))$
Infatti la matrice associata ha $n$ colonne: la dimensione del dominio ($V$) (come indicato nella definizione a inizio post). ...
Ho un dubbio (forse sciocco) sulla seguente:
Una funzione su uno spazio topologico banale (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua se e solo se è costante.
Dato che una funzione costante è continua su qualsiasi spazio topologico l'implicazione verso sinistra è immediata; se la funzione ad ogni elemento del sostegno dello spazio del dominio associa un certo elemento a del sostegno dello spazio del codominio, basta far vedere che presa una generica topologia e un generico suo ...
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