Caratterizzazione Iperpiano.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho qualche dubbio su una dimostrazione riguardante la caratterizzazione degli iperpiani.

Definizione: Un sottospazio $H$ di uno spazio vettoriale $V$ si dice iperpiano se esiste un'applicazione lineare non nulla $f:V\to K$ tale che $H=ker(f).$

Proposizione: Sia $V$ spazio vettoriale sul campo $K.$ Sia $H$ iperpiano allora risulta $H ne V$ e $forall v notin H$ vale $V=H o+ Kv $

Dimostrazione: Sia $H=ker(f)$ e $f$ applicazione lineare non nulla, dunque, esiste almeno $v in V$ tale che $f(v) ne 0$ quindi, $v notin H.$ Fin qui tutto chiaro
Sia adesso $v notin H$, vogliamo dimostrare che ogni vettore $x in V$ si scrive in modo unico come somma di un vettore di $H$ e di un vettore di $Kv,$ cioè $x=av+w, qquad a in K, w in H.$

Per il seguito suddivido la dimostrazione in due parti:

Prima parte:
Basta osservare

$f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)=0,$

quindi la quantità $x-f(x)/f(v)v in H,$ allora, esiste un vettore $w in H$ tale che $w=x-f(x)/f(v)v$
cioè $x=f(x)/f(v)v+w.$

Seconda parte:
Viceversa, se $x=av+w$ applicando $f$ troviamo che $f(x)=af(v)$ da cui segue che $a$ è univocamente determinato da $x, v$ e di conseguenza anche $w=x-av$ è univocamente determinato.

Non ho ben capito l'idea della dimostrazione, cioè, perché dice viceversa ? Non basta solo la seconda parte per determinare $a in K$ e $w in H$, perché la prima che ci dice?
Spero di essere stato chiaro nel porre il mio problema.

[Gi81]

Nella prima parte viene dimostrato che esiste una possibile scrittura di $x in V$ come somma di un vettore di $H$ e di un vettore di $Kv$.

Nella seconda parte viene dimostrato che, se esiste una scrittura di $x in V$ come somma di un vettore di $H$ e di un vettore di $Kv$, è unica.

Quindi sono necessarie entrambe le parti.

[Pasquale 90]

Grazie mille Gi8 sei stato chiarissimo.