Immagine e span

[mirko.saggioro]

Ciao a tutti
Ho questa matrice:
[tex]R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1& 0 & -2 \end{bmatrix}[/tex]
devo calcolare l'immagine:
[tex]\displaystyle Im(R)= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1& 0 & -2 \end{bmatrix}[/tex]
e quindi lo span.
Io ho sottratto all'ultima riga la prima, così da ottenere:
[tex]\displaystyle Im(R)= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0& -2 & -2\end{bmatrix}[/tex]
dove quindi le ultime due righe sono linearmente dipendenti, perciò il rango è 2, ma non capisco come ottenere lo span, qualcuno può aiutarmi?

[gugo82]

Anzitutto, l'immagine di una matrice (? ) è un insieme, non una matrice; quindi nella notazione c'è qualcosa che non quadra.

Inoltre, l'immagine è un sottospazio e coincide col sottospazio "spannato"[nota]Non perché prima fosse appannato, però...[/nota] dalle colonne di $R$; se sai cosa ciò significa -i.e., se hai studiato un po' di teoria- ci ricavi quel che ti serve.

[Pasquale 90]

Buonasera, scusatemi se mi intrometto, vorrei provare a risolvere la questione.
Premetto che devo fare l'esame di geometria uno nella prossima sessione, dunque quello che scrivo non prendetelo molto in considerazione...gugo82 non ti arrabbiare ...

L'immagine dell'applicazione lineare coincide con le colonne della matrice.

Infatti, noi abbiamo una matrice $R$, quindi possiamo considerare l'applicazione lineare associata alla matrice, cioè $L_R$, dove

$L_R : (x,y,z) in RR^3 to (x+2y, 2y+2z,x-2z )in RR^3,$

dunque, considero i vettori della base canonica, quindi, in particolare risultano essere un sistema di generatori per $RR^3$, poiché un'applicazione lineare trasforma sistemi di generatori del dominio in sistemi di generatori per l'immagine, cioè,

$[L_R(e_1),L_R(e_2),L_R(e_3)]=Imm(L_R)$

Spero di aver detto tutto corretto.
Un saluto

[gugo82]

"Pasquale 90":L'immagine dell'applicazione lineare coincide con le colonne della matrice.

Ah..
Quindi $"Im"(R)$ ha esattamente tre elementi: $(1,0,1)$, $(2,2,0)$ e $(0,2,-2)$.

Sei proprio sicuro-sicuro?

[Pasquale 90]

No, infatti da un sistema di generatori possiamo per estrarre una base, dunque si vedono ad occhio che le colonne linearmente indipendenti sono le prime due, lette da sinistra.

Quindi la dimensione è due e $ImL_R=[L_R(e_1), L_R(e_2)]$

[gugo82]

"Pasquale 90":No, infatti da un sistema di generatori possiamo per estrarre una base [...]

Il che non c'entra nulla con quello che hai scritto e che ti ho fatto notare.

"Pasquale 90":[...] dunque si vedono ad occhio che le colonne linearmente indipendenti sono le prime due, lette da sinistra.

Perché l'articolo determinativo? Prima e terza o seconda e terza ti fanno schifo?

"Pasquale 90":Quindi la dimensione è due e $ImL_R=[L_R(e_1), L_R(e_2)]$

Immagino che le parentesi quadre significhino qualcosa di specifico, vero?

[Pasquale 90]

Buongiorno gugo82, io faccio cosi dimmi dove sbaglio.
Dal teorema del nucleo e dell'immagine, sappiamo che

$dim(RR^3)=dim(ker(L_R))+dim(im(L_R)) to dim(im(L_R))=dim(RR^3)-dim(ker(L_R)),$

quindi, per determinare la $dim(ker(L_R))$ basta conoscere la cardinalità di una sua base,
in tal caso posso risolvere il seguente sistema

$ { ( x+2y=0 ),( 2y+2z=0 ),( z-2z=0 ):} leftrightarrow { ( x+2y=0 ),( 2y+2z=0 ),( x=2z ):} leftrightarrow { ( 2z+2y=0 ),( 2y+2z=0 ),( x=2z ):} leftrightarrow { ( 2y+2z=0 ),( x=2z ):} leftrightarrow { ( x=2t ),( y=-t ), (z=t ):}$ con $t in RR.$

Allora il $ker(L_R)={(2t,-t,t): t in RR}=<(2,-1,1)>$.
Quindi, il vettore $(2,-1,1)$ è un generatore per il $ker(L_R)$ ed è non nullo, quindi è linearmente indipendente, segue che la dimensione del $ker(L_R)$ è pari ad uno.

Dalla formula del teorema detta prima, ricavo

$dim(im(L_R))=dim(RR^3)-dim(ker(L_R))=3-1=2$

A questo punto, tengo presente quello che ho scritto qui

"Pasquale 90": Un'applicazione lineare trasforma sistemi di generatori del dominio in sistemi di generatori per l'immagine

e

"Pasquale 90":Da un sistema di generatori possiamo per estrarre una base

ed infine, da quello che mi hai fatto osservare qui

"gugo82":
[quote="Pasquale 90"][...] dunque si vedono ad occhio che le colonne linearmente indipendenti sono le prime due, lette da sinistra.

Perché l'articolo determinativo? Prima e terza o seconda e terza ti fanno schifo?[/quote]

posso concludere che una base $B$ per l'immagine di $L_R$ può essere formata da
1) prima e seconda colonna della matrice $R$,
2) prima e terza colonna della matrice $R$,
3) seconda e terza colonna della matrice $R$,
relativamente al riferimento canonico di $RR^3.$