Commutazioni di traformazioni geometriche
Salve ragazzi, mi rendo conto che la domanda sia molto banale ma volevo chiedervi una cosa del seguente problema:
Si consideri l’insieme di $\mathbb R^n $composto da tutte le omotetie e da tutte le traslazioni :
In quali casi $h_{c,\lambda}$ (omotetia di centro $c$ e rapporto $lamda$) commuta con una traslazione $t_u$ di vettore u?
Mi hanno detto che c'è un caso in cui è vero , però non ho capito come agisce questa commutazione , cioè mi è chiaro che posso fare prima l'omotetia e poi traslare questo punto appena ottenuto , ma nel caso inverso dovrei traslare sia il centro sia il punto che prendo per fare l'omotetia ? in questo caso allora non dovrebbe andare sempre bene e le due operazioni essere così commutative ? oppure devo traslare solo il centro e poi fare l'omotetia? in questo caso però non otterrei solo la soluzione banale? ovvero traslazione di vettore nullo?
Grazie mille
Si consideri l’insieme di $\mathbb R^n $composto da tutte le omotetie e da tutte le traslazioni :
In quali casi $h_{c,\lambda}$ (omotetia di centro $c$ e rapporto $lamda$) commuta con una traslazione $t_u$ di vettore u?
Mi hanno detto che c'è un caso in cui è vero , però non ho capito come agisce questa commutazione , cioè mi è chiaro che posso fare prima l'omotetia e poi traslare questo punto appena ottenuto , ma nel caso inverso dovrei traslare sia il centro sia il punto che prendo per fare l'omotetia ? in questo caso allora non dovrebbe andare sempre bene e le due operazioni essere così commutative ? oppure devo traslare solo il centro e poi fare l'omotetia? in questo caso però non otterrei solo la soluzione banale? ovvero traslazione di vettore nullo?
Grazie mille
Risposte
Omotetia di centro $c$ e rapporto $lambda$:
$f(x)=c+lambda(x-c)$.
Traslazione di vettore $u$:
$g(x)=x+u$.
Condizione di commutazione: "$f(g(x))=g(f(x))$ per ogni $x in RR^n$", cioè
"$c+lambda(x+u-c) = c+lambda(x-c)+u$ per ogni $x in RR^n$".
Riesci ad andare avanti da solo?
$f(x)=c+lambda(x-c)$.
Traslazione di vettore $u$:
$g(x)=x+u$.
Condizione di commutazione: "$f(g(x))=g(f(x))$ per ogni $x in RR^n$", cioè
"$c+lambda(x+u-c) = c+lambda(x-c)+u$ per ogni $x in RR^n$".
Riesci ad andare avanti da solo?
se non ho sbagliato i conti ad occhio dovrebbe essere $lamda=1$ e vettore $u$ qualunque oppure anche solo vettore nullo giusto ?
In che senso "a occhio"? E' un conticino elementare, puoi condividere con noi i passaggi. La matematica non si fa a occhio.
sisi scusa hai ragione ovviamente , ti ringrazio 
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