Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ragazzi, sto preparando l'orale di Matematica e mentre apprendevo la dimostrazione del Teorema di Cramer non sono riuscito a capire due passaggi importanti (anche se il primo più o meno potrei esserci, per il secondo no ).
Dimostrando l'unicità della soluzione poichè la matrice A è invertibile:
$A^-1*A*X=B hArr X = A^-1*B$. Se X è soluzione deve essere data dalla formula che ho scritto. (mi spiegate il perchè?).
Dopo bisogna dimostrare che la soluzione sia effettivamente data da:
...
Ciao, so che probabilmente è una domanda stupida, ma non mi trovo a lavorare spesso con matrici molto elaboriose e quindi vi chiedo se per la seguente matrice esiste un metodo rapido per calcolare il rango:
$A=((3,sqrt2,sqrt2,5sqrt2),(sqrt2,3/2,3,3+sqrt2),(sqrt2,3,3/2,3-sqrt2),(5sqrt2,3+sqrt2,3-sqrt2,22))$
So che la matrice ha questa forma:
$A=((A_2,A_1),(A_1^t,a))$ dove $A_2$ è simmetrica.
Secondo voi esiste un modo per calcolare velocemente il rango? Sto provando con Gauss e con gli Orlati... ma è da suicidio...
Mi sto esercitando risolvendo matrici. Mi imbatto in questa:
Studiare, al variare del parametro a € R , il sistema lineare:
ax + y + z = 3 a
2x y = 0
x + 2y z = 0
e determinarne le soluzioni quando e' possibile.
Faccio operazioni tra la seconda e la terza e la prima e la seconda e mi ritrovo:
A= $((a,1,1,3-a),(0,-2/a,1/a,(a-3)/a),(0,-5,2,0))$ la quarta colonna è quella dei termini noti
Poi ancora: sommo alla terza riga, la seconda moltiplicata per -2,5a e mi ritrovo
A= $((a,1,1,3-a),(0,-2/a,1/a,(a-3)/a),(0,0,-8,-2.5a))$ con la quarta ...
Salve a tutti sui miei appunti di geometria mi ritrovo una parte incompleta dove parla di come possono essere 2 rette nello spazio, e riguardo al parallelismo tengo scritto che per studiare $rnns$ nello spazio meglio un parametro e 1 cartesiano...E finisce la...Sapete come fare? l'equazioni delle rette sono:
$r){(x= 1+3t),(y=2t),(z=-t):}$
$s){(x=4-t),(y=2+t),(z=-1):}$
Salve, ho un problema su due esercizi (in realtà su uno, sull'altro vorrei avere una conferma).
il primo:
Sia r una retta generica appartenente a R^2.
E sia F:R^2-->R^3
Si dica che aspetto ha F(r).
Ora, per me i casi sono due:
-dimKer=1 e dimImf=1, in tal caso l'immagine della retta è la retta stessa.
-dimKer=0 e dimImf=2, in tal caso ci sarebbero due piani che intersecandosi generano la retta.
Ma sono molto dubbioso, sinceramente. Come può essere svolto?
Il secondo: In R^3, scrivere ...
Buonasera gente:) Sono nuova del forum, quindi vi prego di avere pazienza con me
Non sono molto brava con algebra e una mia amica mi ha consigliato questo forum Magari qualcuno di voi può aiutarmi
Purtroppo non riesco proprio a fare un esercizio Datemi una mano vi prego!!!
In pratica ho due sottospazi affini:
E=\$\{(x1-2x2+x3+x4=1),(2x1+x2+3x3-x4=-1):}\$
e
Fk= \$((1-k,1, k,2))\$ Span \$((-k, 2k^2-3k+2, 1, 2k^2-5k+5))\$ , \$((2(1-k),2k(k-1), k-1, 2k^2-3k+i))\$
l'esercizio mi chiede di determinare i valori di k per i quali E e Fk si ...
salve a tutti ragazzi, dovrei risolvere questo esercizio, e volevo solo sapere se il mio ragionamento è corretto..
ho questo punto P=(2,3,1)
e la retta r che è un sistema tra 2x-3y+z=1 e x+2y-z=3
mi chiedevo dato che la retta è un sistema si 3 incognite a 2 equazioni, devo prima risolvere il sistema che dipenderà da un valore t e dopo andare avanti normalmente?
qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Buonasera ragazzi
Ho riscontrato delle difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio:
Sia `V` uno spazio vettoriale sul campo reale e sia `B=(e_1,e_2,e_3)` una sua base ordinata. Si consideri l'endomorfismo `f:V->V` definito ponendo:
`f(e_1)= -e_1 - 2e_2`
`f(e_2)= 2e_1 + 4e_2`
`f(e_3)=-2e_1 - e_2 + 3e_3`
Calcolare:
1) I sottospazi `Ker f` ed `Im f`
2) Le controimmagini dei vettori `e_1+e_2` e `2e_1+e_2-e_3`
Possibile svolgimento
Punto 1
1) Per quanto riguarda `Ker ...
Ragazzi qualcuno mi può spiegare questa dimostrazione:
Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n, f $in$ End(V) e P($\lambda$) il polinomio caratteristico di f. Allora f è diagonalizzabile se e solo se sono verificate le due seguenti proprietà:
1- tutti gli autovalori di f sono reali;
2- per ogni autovalore di f si ha mg=ma
Ciao a tutti, sto impazzendo su queste due matrici con parametri, ogni volta che cerco di calcolare il rango al variare di h mi esce sempre qualcosa di diverso e non so dove sbattere la testa, spero che qualche anima gentile abbia voglia di provare a svolgere i calcoli e magari due occhi nuovi vedono semplificazioni che io non riesco a vedere,premetto che la teoria sulla riduzione a scalini e sull'algoritmo di Gauss l'ho fatta mia nel senso che migliaia di altri esercizi mi tornano ma questi ...
Buona sera....ho un problema con questo tipo di esercizio.. per esempio..
Determinare le equazioni di W ={ Span(3; 7;-1); (8; 0; 2); (1; 1; 3)}. Fino a qui ok....
Stabilire se u = (1; 1; 0) appartiene a W..
come procedo?? Poichè W=[tex]R^3[/tex] allora u appartiene a W??
Salve ragazzi, ho il seguente quesito.
Sia $q : RR^3->RR$ forma quadratica definita da $q(x,y,z)=2\lambda x^2-6xy+2y^2+8yz+2z^2$. $\lambda \in RR$.
a)
Per quali $\lambda\in RR$ $q$ è definita positiva?
b) Per $\lambda=1$ diagonalizzare $q$. Determinare la signatura di $q$.
Parto dal quesito b)
Se $\lambda=1$ allora $q(x,y,z)=2 x^2-6xy+2y^2+8yz+2z^2$. Sia $g : RR^3\timesRR^3-> RR$ la forma bilinerare associata a $q$. E sia $B_c$ la base canonica di ...
Sia $V = R_2[t]$ lo spazio dei polinomi di grado $<=2$ e $f : V \to V$ l'operatore lineare definito da $f(a_0+a_1t+a_2t^2) = a_0+a_1+(a_0+a_1+a_2)t+a_2t^2$
Si determini la matrice $A =_B[f]_B$ dove $B = (1,t,t^2)$.
Mi sono imbattuto in questo esercizio e non sò come procedere per il cambiamento di base.. Qualcuno può aiutarmi grazie
Salve a tutti ragazzi.
Vi espongo subito il mio dubbio riguardante l'esercizio sottostante.
sia la matrice A = `((1,1,0),(0,3,1),(0,0,1))`
stabilire:
1)Gli autovalori di A
2)Se A è diagonalizzabile
3)Gli autospazi e autovettori relativi ad A
Svolgimento:
Ho iniziato calcolandomi il polinomio caratteristico e la mia soluzione è stata ` (1-t)^2 *(3-t) `.
Adesso ho che il mio primo autovalore è `t=1 ` con ` ma ` pari a `2 ` mentre, il secondo autovalore è `t=3 ` con ` ma ` pari a `1 `. ...
Il prodotto di due quantità diverse c=a*b si può ottenere con una costruzione geometrica descritta da Hilbert nei sui 'Fondamenti della Geometria' attraverso la comparazione di due triangoli simili.
La comparazione porta però sempre al suo interno il seme del prodotto, mi chiedevo se esistono costruzioni geometriche alternative per la rappresentazione del prodotto più primitive.
Grazie per la pazienza.
Pier Paolo
Ciao ragazzi, ho un piccolo problema. Devo stabilire se la conica intersezione del seguente piano
$x - 2y=0$
con la seguente quadrica
$x^2 + z^2 -8x - 2z=0$
è una circonferenza, ed in caso affermativo trovarne centro e raggio.
Ora non so come procedere. Perché ad occhio mi rendo contro che l'intersezione della quadrica con il piano xz è una circonferenza, pertanto la quadrica dovrebbe essere un cilindro con asse ortogonale al piano xz.
Quello che non capisco è se posso dire che anche ...
Salve, voglio chiedere come si calcola la posizione reciproca di due rette, e come verificare la complanarità .
Se è complanare devo trovare una equazione cartesiana del piano che la contiene.
Nel mio caso ho:
r:\$\{(t=x/-2+1),(z=1),(z+y-3*x/2-1):}\$
s:\$\{(t=x/4),(y=3*x/2:}\$
Posizione reciproca: ho risolto facendo il sistema delle due rette però l'incognita x non si può trovare
Complanarità: le due rette devono avere lo stesso coefficiente angolare, come si trova il coefficiente angolare di una retta nello ...
Buongiorno..mi servirebbero alcuni chiarimenti riguardo al seguente esercizio:
Data A= $((1,1,0,0,0),(-1,1,0,0,0),(1,2,3,0,0),(3,-1,1,a,1))$
Determinare al variare di a $in$ $RR$ KerA e ImA.
Allora...sappiamo che una matrice può essere scritta come un'applicazione lineare...quindi si avrebbe:
$\{(x + y = 0),(-x + y = 0),(x + 2y + 3z = 0),(3x - y + z + aj + k = 0):}$
e risolvendo il sistema dovremmo ottenere questi risultati:
$\{(x =0),(y =0),(z =0),(k = p),(j = p/a):}$
con p $in$ $RR$
(siccome sono 4 equazioni in 5 incognite il sistema ha ...
come esercizio mi hanno dato due matrici:
A = \$((2,-1,1),(0,-2,-2),(3,-2,1))\$
B= \$((3,4,-1),(2,0,2),(1,2,-1))\$
mi chiede: trovare una base del Ker(A) e una per Im(A) e Im(B)
so che la dimensione dell'immagine è il numero di colonne linearmente indipendenti (anche se non so perchè )
ma non ho idea di come svolgere l'esercizio.
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