Determinare nucleo e immagine al variare di un parametro
Buongiorno..mi servirebbero alcuni chiarimenti riguardo al seguente esercizio:
Data A= $((1,1,0,0,0),(-1,1,0,0,0),(1,2,3,0,0),(3,-1,1,a,1))$
Determinare al variare di a $in$ $RR$ KerA e ImA.
Allora...sappiamo che una matrice può essere scritta come un'applicazione lineare...quindi si avrebbe:
$\{(x + y = 0),(-x + y = 0),(x + 2y + 3z = 0),(3x - y + z + aj + k = 0):}$
e risolvendo il sistema dovremmo ottenere questi risultati:
$\{(x =0),(y =0),(z =0),(k = p),(j = p/a):}$
con p $in$ $RR$
(siccome sono 4 equazioni in 5 incognite il sistema ha $oo^1$ giusto?)
Quindi, per a$!=$ 0 e con p=1 si ha: KerA={(0,0,0,-1/a,1)} con dim=1
se invece a=0 e p=1 nel nucleo è presente solo il vettore nullo e ha dim=0
Fino a qui è giusto??
ora il problema è che non so come trovare l'immagine...non ho proprio capito come fare!!!
Data A= $((1,1,0,0,0),(-1,1,0,0,0),(1,2,3,0,0),(3,-1,1,a,1))$
Determinare al variare di a $in$ $RR$ KerA e ImA.
Allora...sappiamo che una matrice può essere scritta come un'applicazione lineare...quindi si avrebbe:
$\{(x + y = 0),(-x + y = 0),(x + 2y + 3z = 0),(3x - y + z + aj + k = 0):}$
e risolvendo il sistema dovremmo ottenere questi risultati:
$\{(x =0),(y =0),(z =0),(k = p),(j = p/a):}$
con p $in$ $RR$
(siccome sono 4 equazioni in 5 incognite il sistema ha $oo^1$ giusto?)
Quindi, per a$!=$ 0 e con p=1 si ha: KerA={(0,0,0,-1/a,1)} con dim=1
se invece a=0 e p=1 nel nucleo è presente solo il vettore nullo e ha dim=0
Fino a qui è giusto??
ora il problema è che non so come trovare l'immagine...non ho proprio capito come fare!!!
Risposte
Scriviamo meglio ciò che ottieni dal sistema dopo le riduzioni:
$x=y=z=0,\ aj+k=0$.
Ora, se $a\ne 0$ abbiamo $(0,0,0,-ap,p)$ come soluzioni con $p\in RR$ e quindi per $p=1$ la base $\{(0,0,0,-a,1)\}$.
Se invece $a=0$ allora $k=0$ ma $j$ può fare quello che vuole 8scompare dal sistema) e pertanto hai come soluzione $(0,0,0,j,0)$ e quindi una base è $\{(0,0,0,1,0)\}$. Come vedi $\dim\ker A=1$ in tutti i casi, solo cambia la base e non è possibile passare dall'una all'altra.
Per determinare l'immagine, osserva per prima cosa che se $f:V\to W$ è un endomorfismo, detta $Im(f)$ l'immagine si ha
$\dim V=\dim\ker(f)\oplus\dim(Im(f))$
per cui $\dim(Im(f))=5-1=4$ per ogni $a$. Quello che accade è che, come prima, l'immagine avrà basi diverse. Ora, considera che un generico vettore dell'immagine ha quattro componenti e quindi è un vettore di $RR^4$: quanti sottospazi vettoriali di dimensione $4$ ci sono in esso? (L'immagine è un sottospazio vettoriale del codominio).
$x=y=z=0,\ aj+k=0$.
Ora, se $a\ne 0$ abbiamo $(0,0,0,-ap,p)$ come soluzioni con $p\in RR$ e quindi per $p=1$ la base $\{(0,0,0,-a,1)\}$.
Se invece $a=0$ allora $k=0$ ma $j$ può fare quello che vuole 8scompare dal sistema) e pertanto hai come soluzione $(0,0,0,j,0)$ e quindi una base è $\{(0,0,0,1,0)\}$. Come vedi $\dim\ker A=1$ in tutti i casi, solo cambia la base e non è possibile passare dall'una all'altra.
Per determinare l'immagine, osserva per prima cosa che se $f:V\to W$ è un endomorfismo, detta $Im(f)$ l'immagine si ha
$\dim V=\dim\ker(f)\oplus\dim(Im(f))$
per cui $\dim(Im(f))=5-1=4$ per ogni $a$. Quello che accade è che, come prima, l'immagine avrà basi diverse. Ora, considera che un generico vettore dell'immagine ha quattro componenti e quindi è un vettore di $RR^4$: quanti sottospazi vettoriali di dimensione $4$ ci sono in esso? (L'immagine è un sottospazio vettoriale del codominio).
aaah ho capito!!!! oddio...per pensare alle cose complicate sbaglio le cose banali!!!>.<
quindi...a può assumere qualsiasi valore giusto?? e come unico caso alternativo abbiamo quello di a=0 che fa scomparire k..ok...per quanto riguarda l'immagine invece, abbiamo al suo interno 4 vettori, indipendentemente dal valore dato ad a, e questi vettori sono formati da 4 componenti; per trovare l'immagine faccio così:
(1,0,0,0,0) -> (1,-1,1,3)
(0,1,0,0,0) -> (1,1,2,-1)
(0,0,1,0,0) -> (0,0,3,1)
(0,0,0,1,0) ->(0,0,0,a)
quindi ImA={(1,-1,1,3),(1,1,2,-1),(0,0,3,1),(0,0,0,a)}
e ho finito l'esercizio??
e un'ultimissima domanda...se l'esercizio chiede anche di calcolare l'angolo fra KerA e ImA cosa vuol dire?!?!?!?
quindi...a può assumere qualsiasi valore giusto?? e come unico caso alternativo abbiamo quello di a=0 che fa scomparire k..ok...per quanto riguarda l'immagine invece, abbiamo al suo interno 4 vettori, indipendentemente dal valore dato ad a, e questi vettori sono formati da 4 componenti; per trovare l'immagine faccio così:
(1,0,0,0,0) -> (1,-1,1,3)
(0,1,0,0,0) -> (1,1,2,-1)
(0,0,1,0,0) -> (0,0,3,1)
(0,0,0,1,0) ->(0,0,0,a)
quindi ImA={(1,-1,1,3),(1,1,2,-1),(0,0,3,1),(0,0,0,a)}
e ho finito l'esercizio??
e un'ultimissima domanda...se l'esercizio chiede anche di calcolare l'angolo fra KerA e ImA cosa vuol dire?!?!?!?
Continui a fare le cose complicate e non ragioni sulle banalità: se $W$ sottospazio di $V$ e hanno la stessa dimensione allora $W=V$. Per cui $Im(A)=...$
Per l'ultima questione: non ne ho idea. I due spazi sono sottospazi di due $RR^n$ con $n$ differente per cui non mi è proprio chiaro.
Per l'ultima questione: non ne ho idea. I due spazi sono sottospazi di due $RR^n$ con $n$ differente per cui non mi è proprio chiaro.
aaaa...ho capito!!! per l'immagine mi basta guardare le colonne della matrice A!!!(ho detto bene stavolta??:))
per la seconda domanda hai ragione scusa..l'angolo viene richiesto in un altro esercizio..volevo solo sapere in teoria cosa vuol dire, perchè non ho trovato nula nel corso che si riferisse all'angolo fra il nuccleo e l'immagine...
per la seconda domanda hai ragione scusa..l'angolo viene richiesto in un altro esercizio..volevo solo sapere in teoria cosa vuol dire, perchè non ho trovato nula nel corso che si riferisse all'angolo fra il nuccleo e l'immagine...
Ribadisco: continui a fare le cose complicate. Tu sai che $W\subset V$ e che $\dim W=\dim V$, per cui deve essere per forza $W=V$. Ora: $Im(A)\subset RR^4$ e $\dim Im(A)=4=\dim RR^4$, per cui, molto più banalmente, $Im(A)=RR^4$.
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