Stabilire se esiste un omomorfismo da R3 ad R3 che manda un piano in una retta
buongiorno ho un problema non riesco a capire come svolgere questo esercizio la traccia dice
Puo esistere un omomorfismo ft : R3 → R3 che mandi il piano di equazioni 2x − y + z = 0 nella retta {s(1, −1, 2) : s ∈ R} ed il vettore (1, 1, 1) nel vettore (1, t + 2, t + 5), t ∈ R se esiste calcolarne la matrice associata e dire per quali valori di t esso non esiste per favore aiuto
ho provato a trasformare il piano in forma parametrica per ricavarne due vettori indipendenti della base ma poi non so come usare questi vettori per ricavare la matrice del omomorfismo e per capire per quali valori di t essa non esiste
Puo esistere un omomorfismo ft : R3 → R3 che mandi il piano di equazioni 2x − y + z = 0 nella retta {s(1, −1, 2) : s ∈ R} ed il vettore (1, 1, 1) nel vettore (1, t + 2, t + 5), t ∈ R se esiste calcolarne la matrice associata e dire per quali valori di t esso non esiste per favore aiuto
ho provato a trasformare il piano in forma parametrica per ricavarne due vettori indipendenti della base ma poi non so come usare questi vettori per ricavare la matrice del omomorfismo e per capire per quali valori di t essa non esiste
Risposte
Ciao Dario, benvenuto.
Puoi confermare il testo e i numeri?
Puoi confermare il testo e i numeri?
si confermo che sono corretti
Non avevo visto la risposta!
La retta s non appartiene al piano, quindi il problema è complesso.
Per darti un'idea spiccia ma fortemente intuitiva, prendiamo il classico sistema di riferimento XYZ.
Il problema è analogo a chiedere che l'intero piano XY (ovvero z=0) venga "proiettato" sull'asse Z.
Breve divagazione.
Se la retta $s$ appartenesse al piano z=0 stesso, allora prenderemmo un fascio di rette parallele tra di esse ma non alla retta $s$ e andremmo ad associare/proiettare tutti i punti di ogni retta con un solo punto di $s$.
A questo punto però l'applicazione (per poter essere lineare) deve fare la medesima cosa per tutti gli altri piani z=k verso le rette $s$ traslate di k. L'applicazione è lineare ed esaurisce tutti i punti di $RR^3$
In questo caso, avendo un ulteriore vincolo (come nell'esercizio proposto) potremmo determinare esattamente le inclinazioni rispetto ad $s$ ("permesse" dal vincolo) dei fasci di rette parallele che portano alla soluzione.
Fine divagazione.
Per risolvere il problema quindi dobbiamo portarci nella situazione della divagazione e questo può essere fatto con un pizzico di astuzia. Prima definiamo una rotazione del piano che ci porti ad includere la retta $s$ e poi creiamole possibili proiezioni. Quindi l'omomorfismo richiesto è del tipo $f:p@r$ ovvero prima una rotazione e poi una proiezione. Ovviamente ne esistono infiniti ma il vincolo ne falcierà via un bel po'.
Ecco il lavoro che devi fare
La retta s non appartiene al piano, quindi il problema è complesso.
Per darti un'idea spiccia ma fortemente intuitiva, prendiamo il classico sistema di riferimento XYZ.
Il problema è analogo a chiedere che l'intero piano XY (ovvero z=0) venga "proiettato" sull'asse Z.
Breve divagazione.
Se la retta $s$ appartenesse al piano z=0 stesso, allora prenderemmo un fascio di rette parallele tra di esse ma non alla retta $s$ e andremmo ad associare/proiettare tutti i punti di ogni retta con un solo punto di $s$.
A questo punto però l'applicazione (per poter essere lineare) deve fare la medesima cosa per tutti gli altri piani z=k verso le rette $s$ traslate di k. L'applicazione è lineare ed esaurisce tutti i punti di $RR^3$
In questo caso, avendo un ulteriore vincolo (come nell'esercizio proposto) potremmo determinare esattamente le inclinazioni rispetto ad $s$ ("permesse" dal vincolo) dei fasci di rette parallele che portano alla soluzione.
Fine divagazione.
Per risolvere il problema quindi dobbiamo portarci nella situazione della divagazione e questo può essere fatto con un pizzico di astuzia. Prima definiamo una rotazione del piano che ci porti ad includere la retta $s$ e poi creiamole possibili proiezioni. Quindi l'omomorfismo richiesto è del tipo $f:p@r$ ovvero prima una rotazione e poi una proiezione. Ovviamente ne esistono infiniti ma il vincolo ne falcierà via un bel po'.
Ecco il lavoro che devi fare
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