Struttura complessa di un paio di pantaloni
Salve, negli appunti del mio prof viene detto che un paio di pantaloni $P$ è omeomorfo ad un disco chiuso privato di due dischetti interni tra loro disgiunti, dunque del tipo $D\setminus (D_a\cup D_b)$. A questo viene detto che $P$ ha un'ovvia struttura complessa ereditata dal disco $D$ che addirittura dipende da $a$ e $b$.
Mi aiutate a capire perché un disco ammette una struttura complessa? Perché poi la struttura analitica di $P$ dipende da $a$ e $b$?
Grazie in anticipo.
Mi aiutate a capire perché un disco ammette una struttura complessa? Perché poi la struttura analitica di $P$ dipende da $a$ e $b$?
Grazie in anticipo.
Risposte
[ot]Complimenti per il titolo! 
[/ot]Qual è la definizione di struttura complessa che utilizzate?
Ti faccio notare che il disco aperto \(\displaystyle\mathbb{D}\) è bi-olomorfo al semipiano superiore \(\displaystyle\mathcal{H}=\{x+iy\in\mathbb{C}\mid y>0\}\) mediante la funzione \(\displaystyle z\in\mathbb{D}\to i\frac{1+z}{1-z}\in\mathcal{H}\).
[/ot]Qual è la definizione di struttura complessa che utilizzate?Ti faccio notare che il disco aperto \(\displaystyle\mathbb{D}\) è bi-olomorfo al semipiano superiore \(\displaystyle\mathcal{H}=\{x+iy\in\mathbb{C}\mid y>0\}\) mediante la funzione \(\displaystyle z\in\mathbb{D}\to i\frac{1+z}{1-z}\in\mathcal{H}\).
Per "struttura complessa" si dovrebbe intendere "struttura di varietà analitica", dunque una varietà differenziabile di dimensione $2$ (nel nostro caso) equipaggiata di un atlante i cui cambi di carte sono funzioni analitiche.
Io so che le superfici riemanniane orientabili ammettono una struttura complessa che le rende superfici di Riemann. Il disco, come mi facevi notare, è una superficie riemanniana orientabile, dunque anche superficie di Riemann.
Se fosse vero questo discorso, devi tener conto che abbiamo parlato molto dopo delle superfici riemanniane...
Io so che le superfici riemanniane orientabili ammettono una struttura complessa che le rende superfici di Riemann. Il disco, come mi facevi notare, è una superficie riemanniana orientabile, dunque anche superficie di Riemann.
Se fosse vero questo discorso, devi tener conto che abbiamo parlato molto dopo delle superfici riemanniane...
...e quali sono gli aperti "basici" che vai intersecare al fine di verificare che i cambi di carta siano olomorfi? 
Nel caso del disco non saprei con certezza, visto che questo ha un "bordo". Per i punti interni $p$ del disco $D$ sarei tentato a prendere dei dischetti aperti $D_p$ la cui chiusura è contenuta in $D$ e come carta l'inclusione \(D_p\hookrightarrow D\).
Purtroppo devi saperlo: usualmente si considerano i dischi aperti (i quali non sono bi-olomorfi a \(\mathbb{C}^n\) od ai polidischi); ecco perché te l'ho chiesto.
Inoltre: avete definito le manifolds complesse con bordo?
Inoltre: avete definito le manifolds complesse con bordo?
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