Esercizi sulla dimensione di spazi vettoriali.
Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Sia data un'applicazione lineare $f:V to W$ suriettiva.
Si consideri $H={v in V : f(v) in Z}$ con $ZsubseteqW$.
Bisogna dimostrare che la $dimH=dimZ+dimV-dimW.$
Sto provando a svolgerlo nel seguente modo, innanzitutto, da$dimH=dimZ+dimV-dimW$, segue $dimV-dimH=dimW-dimZ.$
Poi osservo $H ,Z $sono rispettivamente sottospazi vettoriali di $V,W$ e dalla semi semplicità degli spazi vettoriali ho l'esistenza di $X, Y$ sottospazi vettoriali di $V,W$ rispettivamente, per cui si ha
Se tutto va bene, $dimX=dimY$ equivale a dimostrare l'esistenza di un isomorfismo tra $X$ e $Y$.
Dunque, posso considerare tale strada, come corretta ? Inoltre, come isomorfismo ho pensato alla seguente funzione
Sia data un'applicazione lineare $f:V to W$ suriettiva.
Si consideri $H={v in V : f(v) in Z}$ con $ZsubseteqW$.
Bisogna dimostrare che la $dimH=dimZ+dimV-dimW.$
Sto provando a svolgerlo nel seguente modo, innanzitutto, da$dimH=dimZ+dimV-dimW$, segue $dimV-dimH=dimW-dimZ.$
Poi osservo $H ,Z $sono rispettivamente sottospazi vettoriali di $V,W$ e dalla semi semplicità degli spazi vettoriali ho l'esistenza di $X, Y$ sottospazi vettoriali di $V,W$ rispettivamente, per cui si ha
$V=Ho+X$ e $dimX=dimV-dimH$
$W=Zo+Y$ e $dimY=dimW-dimZ$
quindi, dovrei dimostrare $dimX=dimY.$$W=Zo+Y$ e $dimY=dimW-dimZ$
Se tutto va bene, $dimX=dimY$ equivale a dimostrare l'esistenza di un isomorfismo tra $X$ e $Y$.
Dunque, posso considerare tale strada, come corretta ? Inoltre, come isomorfismo ho pensato alla seguente funzione
$g : v in X to g(v)=f(v) in Y$
tale funzione è un omomorfismo suriettivo, quindi, se va bene, rimarrebbe da provare solo l'iniettività.
Risposte
\(H\) è la controimmagine di \(Z\) mediante \(f\), un sottospazio definito dalla seguente proprietà
(*) Esiste un quadrato commutativo di applicazioni lineari
\[\begin{array}{ccc}
H &\overset{f|^Z}\to & Z \\
_i\downarrow && \downarrow^j\\
V &\underset f\to & W
\end{array}\] tale per cui dato uno spazio vettoriale \(X\), ogni applicazione lineare \(g : X \to V\) tale che \(fg\) è l'identità su \(Z\) fattorizza lungo \(H\) in maniera unica con una \(\bar g : X \to H\).
Ora, è un fatto elementare che
1. Un quadrato come quello sopra induce una successione esatta \[0\to H \overset{\left[\begin{smallmatrix}f|^Z \\ i\end{smallmatrix}\right]}\to Z\oplus V \overset{[\begin{smallmatrix}f & -j\end{smallmatrix}]}\to W \to 0\] (e in effetti questa successione è esatta se e solo se il quadrato come sopra è universale, nel senso che vale la proprietà (*));
2. In ogni successione esatta come quella sopra, la somma a segni alterni delle dimensioni ad ogni posizione, \(\sum_i (-1)^i \dim E_i\), è uguale a zero. Questo conclude.
(*) Esiste un quadrato commutativo di applicazioni lineari
\[\begin{array}{ccc}
H &\overset{f|^Z}\to & Z \\
_i\downarrow && \downarrow^j\\
V &\underset f\to & W
\end{array}\] tale per cui dato uno spazio vettoriale \(X\), ogni applicazione lineare \(g : X \to V\) tale che \(fg\) è l'identità su \(Z\) fattorizza lungo \(H\) in maniera unica con una \(\bar g : X \to H\).
Ora, è un fatto elementare che
1. Un quadrato come quello sopra induce una successione esatta \[0\to H \overset{\left[\begin{smallmatrix}f|^Z \\ i\end{smallmatrix}\right]}\to Z\oplus V \overset{[\begin{smallmatrix}f & -j\end{smallmatrix}]}\to W \to 0\] (e in effetti questa successione è esatta se e solo se il quadrato come sopra è universale, nel senso che vale la proprietà (*));
2. In ogni successione esatta come quella sopra, la somma a segni alterni delle dimensioni ad ogni posizione, \(\sum_i (-1)^i \dim E_i\), è uguale a zero. Questo conclude.
Buongiorno, le successione esatta ancora non l'ho studiate.
Ci sarebbe un modo più classico di dimostrare quanto richiesto dall'esercizio ? Infine la mia strada è completamente sbagliata ?
Ci sarebbe un modo più classico di dimostrare quanto richiesto dall'esercizio ? Infine la mia strada è completamente sbagliata ?
[ot]Sempre attuale...
[/ot]
[/ot]
@megas_archon [ot]Curiosità: l'Ultimo Teorema di Fermat è abbastanza potente per dimostrare la irrazionalità di \(\displaystyle\sqrt{2}\)? 
[/ot]
@Yuyu_13 Ma \(\displaystyle Z\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{W}\)?
@gugo82 [ot]...il solito yoga: finché c'è Yoneda c'è speranza! [/ot]
[/ot]@Yuyu_13 Ma \(\displaystyle Z\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{W}\)?
@gugo82 [ot]...il solito yoga: finché c'è Yoneda c'è speranza!
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@ j18eos si, è un sottospazio vettoriale di $W$, mi sono dimenticato di specificarlo, scusate.
Io proverei a ragionare direttamente con le basi: considera una base di \(\displaystyle H\), completala a una base di \(\displaystyle V\);
considera le immagini dei vettorei della base in \(\displaystyle Z\), da questo sistema di generatori puoi estrarre una base di \(\displaystyle Z\) e completarla a una base di \(\displaystyle W\).
Oppure, un altro tentativo: nota che \(\displaystyle\ker f\leq H,Im f=W,\dim V=\dim\ker f+\dim W\)... e giocare con le basi di cui sopra.
Qualcosa ti si smuove?
considera le immagini dei vettorei della base in \(\displaystyle Z\), da questo sistema di generatori puoi estrarre una base di \(\displaystyle Z\) e completarla a una base di \(\displaystyle W\).
Oppure, un altro tentativo: nota che \(\displaystyle\ker f\leq H,Im f=W,\dim V=\dim\ker f+\dim W\)... e giocare con le basi di cui sopra.
Qualcosa ti si smuove?
"gugo82":Dimmi pure.
[ot]Sempre attuale...
@ j18eos ho provato a fare come mi hai detto, ma ho delle difficolta.
Seguo passo passo quello che mi hai scritto, sperando di interpretarlo nella maniera giusta.
Suppongo $dimV=n, dimW=m$, considero una base $B_H={h_1,...,h_r}$, dopodiché la completo ad una base di $V$, dunque, $B_V={h_1,...,h_r, h_(r+1),...,h_n}.$
Valuto l'immagine del sistema $B_V$, cioè ${f(h_1),...,f(h_r), f(h_(r+1)),...,f(h_n)}$, quest'ultimo è un sistema di generatori per $Z$, quindi, posso estrarre una base, suppongo che siano i primo $t$ vettori, cioè $B_Z={f(h_1),...,f(h_t)}$, come prima la completo ad una base di $W$, cioè $B_W={f(h_1),...,f(h_t), f(h_(t+1)),...,f(h_m)}$.
Adesso che devo fare ?
Comunque ho provato risolvere la verifica che $g$ sia iniettiva nella seguente maniera.
Per il seguito mi occorre ricordare due cose
1) $g$ è lineare, dunque, trasforma $0_V$ in $0_W$, cioè $g(0_V)=0_W$.
2) $gmbox{ iniettiva} <=> kerg={0_V}$
Suppongo per assurdo che $kerg ne {0_V}$, quindi $exists x in kerg : x ne 0_V$ e $g(x)=0_W.$
Allora posso trovare un unico vettore $h in H$ tale che $0_V=x+h$, quindi, abbiamo
Per la 2), $g$ è iniettiva.
Quindi, componendo $g$ è un isomorfismo tra il s.s.v $X$ e il s.s.v. $Y$.
Allora $dimX=dimY$.
@j18eos, @gugo82 : Nota dalla località che siamo tre campani
Seguo passo passo quello che mi hai scritto, sperando di interpretarlo nella maniera giusta.
Suppongo $dimV=n, dimW=m$, considero una base $B_H={h_1,...,h_r}$, dopodiché la completo ad una base di $V$, dunque, $B_V={h_1,...,h_r, h_(r+1),...,h_n}.$
Valuto l'immagine del sistema $B_V$, cioè ${f(h_1),...,f(h_r), f(h_(r+1)),...,f(h_n)}$, quest'ultimo è un sistema di generatori per $Z$, quindi, posso estrarre una base, suppongo che siano i primo $t$ vettori, cioè $B_Z={f(h_1),...,f(h_t)}$, come prima la completo ad una base di $W$, cioè $B_W={f(h_1),...,f(h_t), f(h_(t+1)),...,f(h_m)}$.
Adesso che devo fare ?
Comunque ho provato risolvere la verifica che $g$ sia iniettiva nella seguente maniera.
Per il seguito mi occorre ricordare due cose
1) $g$ è lineare, dunque, trasforma $0_V$ in $0_W$, cioè $g(0_V)=0_W$.
2) $gmbox{ iniettiva} <=> kerg={0_V}$
Suppongo per assurdo che $kerg ne {0_V}$, quindi $exists x in kerg : x ne 0_V$ e $g(x)=0_W.$
Allora posso trovare un unico vettore $h in H$ tale che $0_V=x+h$, quindi, abbiamo
$g(x)=0_W, g(x+h)=g(0_V)=0_W$
ho ottenuto il vettore nullo di $W$ in due modi distinti, assurdo.Per la 2), $g$ è iniettiva.
Quindi, componendo $g$ è un isomorfismo tra il s.s.v $X$ e il s.s.v. $Y$.
Allora $dimX=dimY$.
@j18eos, @gugo82 : Nota dalla località che siamo tre campani
"Yuyu_13":No, questo è un sistema di generatori di \(\displaystyle W\)!, casomai \(\displaystyle\{f(h_1),\dotsc,f(h_r)\}\) è un sistema di generatori di \(\displaystyle Z\) da cui estrarre una base \(\displaystyle\{f(h_1),\dotsc,f(h_t)\}\), e poi completarla a una base di \(\displaystyle W\).
[...]Valuto l'immagine del sistema $ B_V $, cioè $ {f(h_1),...,f(h_r), f(h_(r+1)),...,f(h_n)} $, quest'ultimo è un sistema di generatori per $ Z $[...]
...poi che c'entra \(\displaystyle g\)?
---
Alternativa: \(\displaystyle\ker f\leq H\), quindi \(\displaystyle\dim H=\dim\ker f+\dim Z\) e \(\displaystyle\dim V=\dim\ker f+\dim W\); sottrai ambo i membri e concludi!
P.S.: sì, sono napoletano!
"j18eos":
P.S.: sì, sono napoletano!
Con il secondo metodo, quello che chiami alternativa, stai applicando il teorema del rango?
Perché $f$ suriettiva, quindi, come giustamente hai detto, $Imf=W$ dunque $dimW=dimImf:=rg(f)$, poi dal teorema del rango si ottiene l'identità.
Invece qui, $dimH=dimkerf+ dimZ$ valuti $f$ su una sua restrizione a $Z$ del codominio, quindi, applicando il teorema del rango, ottieni l'identità ?
La funzione $g$ è quella che ho scritto nel messaggio iniziale, dove inizialmente non riuscivo a provare la sua iniettiva.
Ora non lo so se il metodo che ho proposto può andare bene, forse può andare bene.
Io quella identità l'ho sempre chiamata Formula Nullità più Rango... e la posso applicare in quella forma, perché le funzioni lineari in gioco sono suriettive. Nel caso in cui dominio e codominio abbiano dimensioni finite, è una sorta di corollario del teorema di Rouché-Capelli.
Il teorema del Rango, almeno per me, afferma che per una matrice qualsiasi i ranghi per righe e per colonne coincidono.
Sulla funzione \(\displaystyle g\): devo leggere meglio, prima di fornire un suggerimento...
Il teorema del Rango, almeno per me, afferma che per una matrice qualsiasi i ranghi per righe e per colonne coincidono.
Sulla funzione \(\displaystyle g\): devo leggere meglio, prima di fornire un suggerimento...
Si mi sono espresso male, volutamente 
, mi sta antipatico il nome, comunque, il teorema di cui parlavo è proprio quello che dici tu.
Prossima volta sarò più preciso.
Va bene
, mi sta antipatico il nome, comunque, il teorema di cui parlavo è proprio quello che dici tu.Prossima volta sarò più preciso.
"j18eos":
Sulla funzione \( \displaystyle g \): devo leggere meglio, prima di fornire un suggerimento...
Va bene
"megas_archon":Dimmi pure.[/quote]
[quote="gugo82"][ot]Sempre attuale...
In realtà saresti tu a dover dire qualcosa... Tipo: perché usare due account quando ne è concesso solo uno.
A latere, mi fai ricordare una frase che mi disse il mio prof. di Analisi I e II, uno vecchia scuola, quando accettai un 27 (dato non per l'esame -brillante come al solito- ma per il solo fatto che avevo seguito metà corso, perché avevo conosciuto una bella ragazza e stavo più con lei che in aula...) dopo aver tentennato per buoni 10 minuti: "Si ricordi: a furia di tirare, la corda si spezza..."
[ot]Tutti i miei account sono legati a un indirizzo throwaway, non c'è alcuna email da cui poter recuperare le credenziali quando, per motivi esogeni o endogeni, le perdo: non ho modo di ritrovarle (nella fattispecie di questa volta, il browser si è semplicemente dimenticato la mia identità, e puf); non che sia particolarmente legato alla mia utenza: traggo altrove conferme di pertinenza.[/ot]
Torno alla domanda sulla funzione \(g\): il sottospazio \(Y\) è complementare a \(Z\)... ed avendo considerati spazi vettoriali (complementari) di medesima dimensione (finita): è facile dimostrare che questi siano isomorfi.
Conosci quest'ultimo teorema?
Conosci quest'ultimo teorema?
@j18eos, questo teorema non lo conosco, non vorrei dire sciocchezze, ma la la funzione $g$, non si presta ad essere un isomorfismo ?
"Yuyu_13":Vuoi dire $Z$, invece di $H$.
$W=Ho+Y$
"Yuyu_13":Il problema è che in generale non è vero che se $v in X$ allora $f(v) in Y$. A mio modo di vedere questa strada non porta molto lontano. D'altra parte, osserva che se è $f(v) in Y$ per ogni $v in X$ allora questa funzione $g$ da te definita si dimostra molto facilmente essere iniettiva (hai provato?). Tuttavia, come ti dicevo, in generale non è ben definita.$g : v in X to g(v)=f(v) in Y$tale funzione è un omomorfismo suriettivo, quindi, se va bene, rimarrebbe da provare solo l'iniettività.
Ti consiglio di riflettere sul suggerimento che ti ha dato j18eos che riguarda il $ker(f)$.
@Martino, si ho visto hai ragione, mi sono confuso.
Ho pensato se la funzione $f$ va bene su certi insiemi più grandi, allora se mi metto in qualcosa di più piccolo devo funzionare lo stesso, invece non è cosi.
Grazie che me l'hai fatto notare.
Invece per quanto riguarda il suggerimento, forse ci sono, devo dimostrare $dimX=dimY <=> X~Y.$
Suppongo $dimX=n, dimY=m$, faccio vedere $n=m$.
Se $X ~ Y$ allora esiste un isomorfismo $f : X to Y$.
$f$ monomorfismo da $X$ in $Y$ comporta che $n<=m$.
Infatti, se considero una base $B$ di $X$, l'immagine della base secondo $f$ è un sistema linearmente indipendente in $Y$. Teorema dello scambio $n<=m$.
$f$ epimorfismo da $X$ in $Y$ comporta $m<=n$.
Infatti, se considero una base $B$ di $X$, l'immagine di $f$ è un sistema di generatori per $Y$ e ha ordine $n$.
Allora una base di $Y$ ha ordine al più $m$, quindi $m<=n$.
$f$ isomorfismo, combinando le due, si ha $n<=m, m<=n$ segue $m=n$.
Ho pensato se la funzione $f$ va bene su certi insiemi più grandi, allora se mi metto in qualcosa di più piccolo devo funzionare lo stesso, invece non è cosi.
Grazie che me l'hai fatto notare.
Invece per quanto riguarda il suggerimento, forse ci sono, devo dimostrare $dimX=dimY <=> X~Y.$
Suppongo $dimX=n, dimY=m$, faccio vedere $n=m$.
Se $X ~ Y$ allora esiste un isomorfismo $f : X to Y$.
$f$ monomorfismo da $X$ in $Y$ comporta che $n<=m$.
Infatti, se considero una base $B$ di $X$, l'immagine della base secondo $f$ è un sistema linearmente indipendente in $Y$. Teorema dello scambio $n<=m$.
$f$ epimorfismo da $X$ in $Y$ comporta $m<=n$.
Infatti, se considero una base $B$ di $X$, l'immagine di $f$ è un sistema di generatori per $Y$ e ha ordine $n$.
Allora una base di $Y$ ha ordine al più $m$, quindi $m<=n$.
$f$ isomorfismo, combinando le due, si ha $n<=m, m<=n$ segue $m=n$.
"Martino":Vuoi dire $Z$, invece di $H$.[/quote]
[quote="Yuyu_13"]$W=Ho+Y$
Si, mi sono sbagliato. Se puoi e vuoi, correggilo.
Comunque, l'iniettività della funzione $g$ l'ho provata " a modo mio".
Non lo so se va bene.
"Yuyu_13":No, non è questo che intendevo. Quello che scrivi è vero, ma pensavo che lo considerassi sostanzialmente ovvio. In ogni caso è un fatto molto di base.
forse ci sono, devo dimostrare $dimX=dimY <=> X~Y.$
Mi sono spiegato male, intendevo di riflettere su questo:
"j18eos":
Alternativa: \(\displaystyle\ker f\leq H\), quindi \(\displaystyle\dim H=\dim\ker f+\dim Z\) e \(\displaystyle\dim V=\dim\ker f+\dim W\); sottrai ambo i membri e concludi!
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