Deduzione dei numeri naturali dagli assiomi geometrici di Hilbert
Salve a tutti. Tempo fa ho scritto una domanda su tale argomento. Purtroppo non ho capito bene le dritte che mi sono state segnalate. Comunque il dubbio che non ho risolto è quello di dedurre i numeri naturali dal sistema di assiomi di hilbert (visto che questo deve essere equivalente al sistema dei numeri reali). Il punto è il seguente. I numeri naturali dovrebbero scaturire dai multipli di un segmento. Un esempio di statement che fa uso del "linguaggio" dei multipli di un segmento è l'assioma di Archimede:
A) Dati due segmenti $AB$ e $AC$ tali che $Bet(A,B,C)$ (ove $Bet$ è la relazione di comprensione (B sta fra A e C)) esiste sempre un multiplo $AK$ di $AB$ tale che $Bet(A,C,K)$.
In geometria non si fa uso del linguaggio degli insiemi. Perciò occorre usare una logica del secondo ordine, trasmformando gli insiemi in proprietà. Se non mi sbaglio allora il percorso dovrebbe essere questo. Primo passo per introdurre i multipli di $AB$ è definire l'analogo della nozione di insieme induttivo, ovvero le proprietà induttive.
Def.1 Una proprietà $P$ dei segmenti si dice induttiva (rispetto al segmento $AB$ ) quando:
[list=1]1) $P(AB)$[/list:o:3szi4shg]
[list=2]2) Se $DE\cong AB$ e $Bet(C,D,E)$ allora $P(CD) \to P(CE)$ [/list:o:3szi4shg]
Ad esempio la proprietà $\geq AB$ è induttiva (così come l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali a zero è induttivo).
Adesso saremmo pronti per dare la :
Def.2(multiplo di $AB$) Un segmento $RS$ è multiplo di $AB$ quando per ogni proprietà $P$ induttiva si ha $P(RS)$.
La definizione sopra data costituisce l'analogo della definizione dei numeri naturali come l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.
Dalla definizione di multiplo di $AB$ conseguono immediatamante le seguenti proprietà:
A) Dati due segmenti $AB$ e $AC$ tali che $Bet(A,B,C)$ (ove $Bet$ è la relazione di comprensione (B sta fra A e C)) esiste sempre un multiplo $AK$ di $AB$ tale che $Bet(A,C,K)$.
In geometria non si fa uso del linguaggio degli insiemi. Perciò occorre usare una logica del secondo ordine, trasmformando gli insiemi in proprietà. Se non mi sbaglio allora il percorso dovrebbe essere questo. Primo passo per introdurre i multipli di $AB$ è definire l'analogo della nozione di insieme induttivo, ovvero le proprietà induttive.
Def.1 Una proprietà $P$ dei segmenti si dice induttiva (rispetto al segmento $AB$ ) quando:
[list=1]1) $P(AB)$[/list:o:3szi4shg]
[list=2]2) Se $DE\cong AB$ e $Bet(C,D,E)$ allora $P(CD) \to P(CE)$ [/list:o:3szi4shg]
Ad esempio la proprietà $\geq AB$ è induttiva (così come l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali a zero è induttivo).
Adesso saremmo pronti per dare la :
Def.2(multiplo di $AB$) Un segmento $RS$ è multiplo di $AB$ quando per ogni proprietà $P$ induttiva si ha $P(RS)$.
La definizione sopra data costituisce l'analogo della definizione dei numeri naturali come l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.
Dalla definizione di multiplo di $AB$ conseguono immediatamante le seguenti proprietà:
- 1) $AB$ è multiplo di $AB$ [/list:u:3szi4shg]
- 2) Se $DE \cong AB$ ,$ Bet(C,D,E)$ e $CD$ è multiplo di $AB$ allora $CE=CD+DE$ è multiplo di $AB $ [/list:u:3szi4shg]
- 3) Se $CE$ è un multiplo di AB e $Bet(C,D,E)$ e $DE \congAB$ allora $DE\neAB$[/list:u:3szi4shg]
- 4) Se $CD$ e $PQ$ sono multipli di $AB$ e $Bet(C,D,E)$ e $Bet(P,Q,R)$ e $DE\congQR\congAB$ allora $CD\congPQ$[/list:u:3szi4shg]
- 5) Se $ P$ è una proprietà tale che $P(AB)$ e, se $DE \congAB$, $P(CD)\toP(CE)$ allora P è vera per ogni multiplo di AB.[/list:u:3szi4shg]
che sono l'analogo degli assiomi di peano ricavati dalla definizione dei numeri naturali come l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi sui reali.
Però non si riesce ad esprimere, in termini di multipli, i poligoni. Non riesco a provare risultati come ad esempio il numero di diagonali di un poligono......Bisognerebbe tradurre in tali casi i naturali in termini sempre di multipli di un segmento......come si fa?
Risposte
Non puoi crearti un modello dei numeri naturali o più precisamente dell'aritmetica di Peano dentro la geometria perchè la geometria è completa mentre l'aritmetica di Peano no.
@astrifiammante ...e potrebbe essere utile linkare questa discussione a quell'altra, così da poter capire cosa hai capìto e\o quali indicazioni ti sono già state date! 
Ecco il link in questione sono i seguenti:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=204417
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=198749
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=190034
Perdonatemi se rivango ma non riesco a capire, vorrei a tutti i costi capire.
otta96 purtroppo non sono esperto sui fondamenti della matematica. Cosa significa l'osservazione che mi hai fatto?
Vorrei conoscere meglio i fondamenti della matematica, qualcosa ho fatto sul formalismo. Però gli assiomi di hilbert non sono equivalenti agli assiomi dei numeri reali (campo archimedeo ordinato)? Se è così si deve dedurre la teoria dei numeri naturali, o meglio in geometria si parlerà dei multipli di un segmento, dagli assiomi di hilbert giusto?
Quando hilbert enuncia i primi gruppi di assiomi (giacenza, comprensione, congruenza) non usa il "linguaggio" degli insiemi, ma delle proprietà (logica del primo ordine, lo so per i numeri naturali occorre logica 2 ordine ma sino a tale punto è sufficiente una logica del primo ordine, comunque il fatto è che non viene usata la teoria degli insiemi). Quando invece enuncia l'assioma di Archimede cambia linguaggio. Non usa più le proprietà, ma è come se avesse cambiato il suo "vocabolario" parla nel linguaggio delle teoria degli insiemi. Fa scaturire "dal nulla" i numeri naturali perchè ovviamnete in tale assioma occorrono i multipli di un segmento.
La mia idea è, visto che gli assiomi di H, sono equivalenti ai numeri reali, in questi ultimi per costruire i naturali si parte dagli insiemi induttivi. Così faccio anch'io usando però le proprietà induttive (la geometria euclidea non fa uso della teoria degli insiemi ma delle proprietà) rispetto ad un determinato segmento $AB$ nel mio post iniziale.
Successivamente (non voglio spingermi troppo in là) vorrei ottenere tutti i teoremi nei quali entrano i multipli di un segmento usando esclusivamente la teoria delle porporzioni di eudosso (senza introdurre la moltiplicazione come hilbert ha fatto).
Ad esempio provare che se un rettangolo ha un lato $AB$ ed un lato $BC$ multiplo di $AB$ allora l'area del rettangolo è nella stessa proporzione con l'area del quadrato $AB$.
Vorrei ad esempio anche dedurre il teorema di talete in tal modo per segmenti commensurabili. E poi estendere il risultato per segmenti incommensurabili (sotto una particolare definizione per le proporzioni fra segmenti incommensurabili e quindi usare ad esempio l'assioma di continuità (impresa ardua visto che con gli assiomi di hilbert non è così facile)).
Nei tipi di problemi sopra espressi i numeri naturali "compaiono" come multipli di segmenti. Ma se ad esempio voglio definire un generico poligono e volessi determinare il numero di diagonali che possiede in questi problemi, per così dire, i numeri naturali in geometria non escono come multipli di segmenti ma come numeri veri e propri. Come faccio perciò in tal caso partendo dalgi assiomi della geometria a farli scaturire?
Scusate le lungaggini ed il linguaggio "alla carlona". Ma vorrei capire.
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=204417
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=198749
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=190034
Perdonatemi se rivango ma non riesco a capire, vorrei a tutti i costi capire.
otta96 purtroppo non sono esperto sui fondamenti della matematica. Cosa significa l'osservazione che mi hai fatto?
Non puoi crearti un modello dei numeri naturali o più precisamente dell'aritmetica di Peano dentro la geometria perchè la geometria è completa mentre l'aritmetica di Peano no.
Vorrei conoscere meglio i fondamenti della matematica, qualcosa ho fatto sul formalismo. Però gli assiomi di hilbert non sono equivalenti agli assiomi dei numeri reali (campo archimedeo ordinato)? Se è così si deve dedurre la teoria dei numeri naturali, o meglio in geometria si parlerà dei multipli di un segmento, dagli assiomi di hilbert giusto?
Quando hilbert enuncia i primi gruppi di assiomi (giacenza, comprensione, congruenza) non usa il "linguaggio" degli insiemi, ma delle proprietà (logica del primo ordine, lo so per i numeri naturali occorre logica 2 ordine ma sino a tale punto è sufficiente una logica del primo ordine, comunque il fatto è che non viene usata la teoria degli insiemi). Quando invece enuncia l'assioma di Archimede cambia linguaggio. Non usa più le proprietà, ma è come se avesse cambiato il suo "vocabolario" parla nel linguaggio delle teoria degli insiemi. Fa scaturire "dal nulla" i numeri naturali perchè ovviamnete in tale assioma occorrono i multipli di un segmento.
La mia idea è, visto che gli assiomi di H, sono equivalenti ai numeri reali, in questi ultimi per costruire i naturali si parte dagli insiemi induttivi. Così faccio anch'io usando però le proprietà induttive (la geometria euclidea non fa uso della teoria degli insiemi ma delle proprietà) rispetto ad un determinato segmento $AB$ nel mio post iniziale.
Successivamente (non voglio spingermi troppo in là) vorrei ottenere tutti i teoremi nei quali entrano i multipli di un segmento usando esclusivamente la teoria delle porporzioni di eudosso (senza introdurre la moltiplicazione come hilbert ha fatto).
Ad esempio provare che se un rettangolo ha un lato $AB$ ed un lato $BC$ multiplo di $AB$ allora l'area del rettangolo è nella stessa proporzione con l'area del quadrato $AB$.
Vorrei ad esempio anche dedurre il teorema di talete in tal modo per segmenti commensurabili. E poi estendere il risultato per segmenti incommensurabili (sotto una particolare definizione per le proporzioni fra segmenti incommensurabili e quindi usare ad esempio l'assioma di continuità (impresa ardua visto che con gli assiomi di hilbert non è così facile)).
Nei tipi di problemi sopra espressi i numeri naturali "compaiono" come multipli di segmenti. Ma se ad esempio voglio definire un generico poligono e volessi determinare il numero di diagonali che possiede in questi problemi, per così dire, i numeri naturali in geometria non escono come multipli di segmenti ma come numeri veri e propri. Come faccio perciò in tal caso partendo dalgi assiomi della geometria a farli scaturire?
Scusate le lungaggini ed il linguaggio "alla carlona". Ma vorrei capire.
In realtà se usi la logica del secondo ordine mi sa che quello che dicevo prima non si applica, inoltre io non me ne intendo degli assiomi di Hilbert quindi non so aiutarti.
Ma comunque come mai ti interessa questo approccio, che è abbastanza inusuale e penso che veramente in pochi seguano?
Ma comunque come mai ti interessa questo approccio, che è abbastanza inusuale e penso che veramente in pochi seguano?
Ho sviluppato un certo interesse per questi argomenti. Volevo vedere come percorrere la via della formalizzazione dei numeri reali dal punto di vista "strettamente" geometrico, utilizzando la tecnica delle proporzioni (visto che il prodotto di segmenti non ha senso dal punto di vista geometrico ....a parte ciò che hilbert ha dedotto dal teorema di pascal se ben ricordo).
Una domanda otta 96: è corretto introdurre i multipli come ho fatto io? Se è così avrei dovuto introdurre il "principio di induzione" (l'ultima proprietà del mio primo messaggio). Del resto la logica del secondo ordine non è equivalente ai numeri reali introdotti con ZFC?
Con gli argomenti che sopra ho introdotto posso dimostrare ad esempio il teorema di talete (con la sola teoria delle proporzioni di eudosso) nel caso di segmenti commensurabili? e poi con i segmenti incommensurabili usando in qualche modo l'assima di continuità?
Altrimenti otta 96 mi potresti indirizzare sul metodo migliore per cavare fuori i multipli di un segmento dagli assiomi di hilbert (usando che so il linguaggio degli insiemi) per poi ricavare il teorema di talete ad esempio?
Una domanda otta 96: è corretto introdurre i multipli come ho fatto io? Se è così avrei dovuto introdurre il "principio di induzione" (l'ultima proprietà del mio primo messaggio). Del resto la logica del secondo ordine non è equivalente ai numeri reali introdotti con ZFC?
Con gli argomenti che sopra ho introdotto posso dimostrare ad esempio il teorema di talete (con la sola teoria delle proporzioni di eudosso) nel caso di segmenti commensurabili? e poi con i segmenti incommensurabili usando in qualche modo l'assima di continuità?
Altrimenti otta 96 mi potresti indirizzare sul metodo migliore per cavare fuori i multipli di un segmento dagli assiomi di hilbert (usando che so il linguaggio degli insiemi) per poi ricavare il teorema di talete ad esempio?
Purtroppo non te lo so dire perchè gli assiomi di Hilbert li conosco solo per sentito dire ma non so come si usano.
Comunque grazie otta96 per avermi risposto.
Chiedo se qualcuno nel forum è esperto di questo argomento perchè oramai è diventata un'ossessione
Chiedo se qualcuno nel forum è esperto di questo argomento perchè oramai è diventata un'ossessione
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