Basi

[francicko]

Scusate per le domande banali, ma ho iniziato da poco ad avvicinarmi all'algebra lineare, mi chiedevo se uno spazio vettoriale ha una base di $n$ elementi,è possibile che esistano benissimo altri insiemi di vettori sempre in numero di $n$, linearmente indipendenti ma che non siano generatori dello spazio?

[dissonance]

No. (Non capisco l'uso di "benissimo", mi sembra una parola ridondante in quanto scrivi).

Se uno spazio vettoriale ha dimensione n, un insieme di n vettori linearmente indipendenti è automaticamente una sua base. Questo è uno dei teoremi di base.

[vict85]

Sono un po' perplesso. Che cosa studi o studiavi? Insomma, nel 2010 facevi domande di teoria dei gruppi e ora dici che "hai iniziato da poco ad avvicinarti all'algebra lineare". Stai studiando da autodidatta? Probabilmente lo hai già scritto altrove ma non ricordo.

[francicko]

Da autodidatta, ultimamente ho concentrato l'interesse sulla teoria di Galois, visto che la teoria dei gruppi ha origine da essa, ed mi sto imbattendo in definizioni e teoremi che riguardano l'algebra lineare, anzi mi chiedevo Galois ai suoi tempi era a conoscenza di queste definizioni e teoremi, o li ha formulati di sana pianta per poter elaborare la sua teoria?

[vict85]

L'attuale formalizzazione dell'algebra lineare è successiva se non mi sbaglio. Penso fine ottocento, inizio novecento. Stessa cosa vale per la teoria dei gruppi e per la moderna algebra in generale. Però una cosa sono le generalizzazioni e le formalizzazioni, un'altra sono i singoli risultati. Insomma, puoi lavorare con lo spazio vettoriale \(\mathbf{R}^n\) senza sapere esplicitamente che sia uno spazio vettoriale. In fondo, fanno somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni anche persone che non sanno cosa sia un anello o un campo.
Detto questo, non so quale sia stato esattamente il contributo di Galois alla teoria che porta il suo nome.