Teorema: Isomorfismo tra due spazi vettoriali $S, S_1.$
Buongiorno, sto studiando il seguente teorema, c'è un punto che non mi è chiaro della dimostrazione che troverete più giù, ossia quando viene provato che la funzione è iniettiva.
Teorema:
Siano $S, S_1$ spazi vettoriali sinistri su un $lambda$ corpo.
Si ha $dimS=dimS_1 to S cong S_1$
Dimostrazione:
Siano $B, B_1$ basi rispettivamente di $S, S_1$.
Si ha $|B|=dimS=dimS_1=|B_1|$ allora $|B|=|B_1|,$ dunque, $g:B to B_1$ biiettiva.
Considero
Tale applicazione è ben posta, infatti, per ogni $y$ in $S$ viene espresso come combinazione lineare dei vettori di una sua base, pertanto i coefficienti $a_x$ sono univocamente determinati.
In più la scrittura $f(y)$ assume il carattere di convergenza.
i) Omomorfismo
Siano $a, b in $ si ha $a=sum_(x in B)alpha_(x)x, b=sum_(x in B)beta_(x)x.$
$f(a+b)=f(sum_(x in B)alpha_(x)x+sum_(x in B)beta_(x)x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=f(sum_(x in B)(alpha_(x)+beta_(x))x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=sum_(x in B)(alpha_(x)+beta_(x))g(x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=sum_(x in B)alpha_(x)g(x)+sum_(x in B)beta_(x)g(x)=f(a)+f(b)$
Sia $delta in lambda, a=sum_(x in B)alpha_(x)x, a in S$
$f(deltaa)=f(deltasum_(x in B)alpha_(x)x)$
$\qquad\qquad=f(sum_(x in B)(deltaalpha_(x))x)$
$\qquad\qquad=sum_(x in B)(deltaalpha_(x))g(x)$
$\qquad\qquad=deltasum_(x in B)alpha_(x)g(x)=deltaf(a).$
ii) Iniettività.
Sia $a=sum_(x in B)alpha_(x)x$ con $a in N_f$. Allora $f(a)=sum_(x in B)alpha_(x)g(x)=0$
Si ha $g(B)={g(x):x in B}=B_1$ parte libera, ed i $g(x)$ sono distinti a due a due.
Allora $alpha_x=0$ per ogni $x in B$ e $a=0$.
Questo è il punto che non mi torna.
Se viene detto che $B_1$ è una parte libera, questo non basta a garantire che i vettori $g(x)$ siano linearmente indipendenti ? dunque $alpha_x$ sono tutti nulli.
Cosa serve aggiungere che i vettori $g(x)$ siano distinti a due a due ?
Forse una mezza risposta a questa mia domanda è:
affinché i coefficienti $alpha_x=0,$ [bgcolor=red]$forall x in B$[/bgcolor] necessariamente i $g(x)$ devono essere tutti distinti a due a due, perché se cosi non fosse, ad esempio, $g(x)=g(y), x, y in B$ allora dalla iniettività $x=y$ quindi, in un certo senso non esaurisco tutti i vettori $x in B.$?
Teorema:
Siano $S, S_1$ spazi vettoriali sinistri su un $lambda$ corpo.
Si ha $dimS=dimS_1 to S cong S_1$
Dimostrazione:
Siano $B, B_1$ basi rispettivamente di $S, S_1$.
Si ha $|B|=dimS=dimS_1=|B_1|$ allora $|B|=|B_1|,$ dunque, $g:B to B_1$ biiettiva.
Considero
$f:y=sum_(x in B)alpha_(x)x in S to f(y)=sum_(x in B)alpha_(x)g(x) in S_1$
Tale applicazione è ben posta, infatti, per ogni $y$ in $S$ viene espresso come combinazione lineare dei vettori di una sua base, pertanto i coefficienti $a_x$ sono univocamente determinati.
In più la scrittura $f(y)$ assume il carattere di convergenza.
i) Omomorfismo
Siano $a, b in $ si ha $a=sum_(x in B)alpha_(x)x, b=sum_(x in B)beta_(x)x.$
$f(a+b)=f(sum_(x in B)alpha_(x)x+sum_(x in B)beta_(x)x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=f(sum_(x in B)(alpha_(x)+beta_(x))x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=sum_(x in B)(alpha_(x)+beta_(x))g(x)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=sum_(x in B)alpha_(x)g(x)+sum_(x in B)beta_(x)g(x)=f(a)+f(b)$
Sia $delta in lambda, a=sum_(x in B)alpha_(x)x, a in S$
$f(deltaa)=f(deltasum_(x in B)alpha_(x)x)$
$\qquad\qquad=f(sum_(x in B)(deltaalpha_(x))x)$
$\qquad\qquad=sum_(x in B)(deltaalpha_(x))g(x)$
$\qquad\qquad=deltasum_(x in B)alpha_(x)g(x)=deltaf(a).$
ii) Iniettività.
Sia $a=sum_(x in B)alpha_(x)x$ con $a in N_f$. Allora $f(a)=sum_(x in B)alpha_(x)g(x)=0$
Si ha $g(B)={g(x):x in B}=B_1$ parte libera, ed i $g(x)$ sono distinti a due a due.
Allora $alpha_x=0$ per ogni $x in B$ e $a=0$.
Questo è il punto che non mi torna.
Se viene detto che $B_1$ è una parte libera, questo non basta a garantire che i vettori $g(x)$ siano linearmente indipendenti ? dunque $alpha_x$ sono tutti nulli.
Cosa serve aggiungere che i vettori $g(x)$ siano distinti a due a due ?
Forse una mezza risposta a questa mia domanda è:
affinché i coefficienti $alpha_x=0,$ [bgcolor=red]$forall x in B$[/bgcolor] necessariamente i $g(x)$ devono essere tutti distinti a due a due, perché se cosi non fosse, ad esempio, $g(x)=g(y), x, y in B$ allora dalla iniettività $x=y$ quindi, in un certo senso non esaurisco tutti i vettori $x in B.$?
Risposte
Buonasera.
Ho posto male la domanda?
Ho posto male la domanda?
"Yuyu_13":
Ho posto male la domanda?
No è che IMHO è una conseguenza. Se si manda una base in una base consegue che i vettori dell'immagine sono distinti a coppie. Secondo me il tuo problema ha più a che fare con la grammatica usata che con i concetti.
"Yuyu_13":
Buongiorno, sto studiando il seguente teorema, c'è un punto che non mi è chiaro della dimostrazione che troverete più giù, ossia quando viene provato che la funzione è iniettiva.
Teorema:
Siano $S, S_1$ spazi vettoriali sinistri su un $lambda$ corpo.
Si ha $dim S=dim S_1 to S cong S_1$
Piccolo commento: secondo me è più chiaro scrivere "allora" invece che \(\to\). La freccia può infatti essere usata per altri usi.
Riguardo alla dimostrazione la trovo terribilmente prolissa e al contempo taglia le frasi arbitrariamente (con la punteggiatura a casaccio).
Per la dimostrazione bastava dire qualcosa come. Sia \(B\) una base di \(S\) e \(B_1\) una base di \(S_1\). Siccome i due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione, allora le \(B\) e \(B_1\) hanno la stessa cardinalità ed esiste una biezione tra le due. Sia \(\tilde{g}\) l'estensione per linearità della funzione \(g\).
L'applicazione lineare \(\tilde{g}\) è iniettiva perché \(g\) è iniettiva e \(B_1\) è libera, ed è suriettiva perché \(g\) è suriettiva e \(B_1\) è un insieme di generatori.
Salve.
Vi ringrazio per avermi risposto e per avermi tolto i miei dubbi.
Quello che posso dirvi, in particolare a @vict85, che per come è stata scritta la dimostrazione io non ho aggiunto e tolto quasi nullo.
Forse, l'unica cosa che ho potuto modificare è la seguente affermazione:
"In più la scrittura $f(y)$ assume il carattere di convergenza"
è una mia interpretazione che può essere sbagliata oppure no.
Quella originale
"inoltre l'insieme ${x: a_x ne 0}$ è finito e dunque ha senso scrivere $sum_(x in B) a_xg(x)$"
Se volete capire cosa si intende con quell'insieme leggete questo mio topic aperto poco tempo fa
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.phpf=37&t=96881&sid=f0a8f2f1ab1adc2e4db9a7ece8db95dc&start=10
Comunque questa dimostrazione è di un corso di Algebra, non di un corso di Geometria ed Algebra lineare, forse per questo risulta essere un pò prolissa.
Tanto è vero, che non ricordo con l'esattezza di aver postato in questa sezione. Chiedo dunque, se lo ritenete opportuno, di spostarlo nella sezione di Algebra.
Vi ringrazio per avermi risposto e per avermi tolto i miei dubbi.
Quello che posso dirvi, in particolare a @vict85, che per come è stata scritta la dimostrazione io non ho aggiunto e tolto quasi nullo.
Forse, l'unica cosa che ho potuto modificare è la seguente affermazione:
"In più la scrittura $f(y)$ assume il carattere di convergenza"
è una mia interpretazione che può essere sbagliata oppure no.
Quella originale
"inoltre l'insieme ${x: a_x ne 0}$ è finito e dunque ha senso scrivere $sum_(x in B) a_xg(x)$"
Se volete capire cosa si intende con quell'insieme leggete questo mio topic aperto poco tempo fa
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.phpf=37&t=96881&sid=f0a8f2f1ab1adc2e4db9a7ece8db95dc&start=10
Comunque questa dimostrazione è di un corso di Algebra, non di un corso di Geometria ed Algebra lineare, forse per questo risulta essere un pò prolissa.
Tanto è vero, che non ricordo con l'esattezza di aver postato in questa sezione. Chiedo dunque, se lo ritenete opportuno, di spostarlo nella sezione di Algebra.
È così prolissa perché è un corso base e il professore pensa che così sia più semplice. Inoltre deve definire il concetto di estensione per linearità. Non c'è niente di geometrico in quel che ho detto.
Scusami se ti faccio questa domanda: ma il topic che ho fatto presente l'hai letto ?
ti faccio questa domanda per sapere se la mia affermazione può risultare equivalente a quella originale.
Cosa vuoi dire con estensione per linearità?
ti faccio questa domanda per sapere se la mia affermazione può risultare equivalente a quella originale.
Cosa vuoi dire con estensione per linearità?
Mi dà pagina non trovata. Non lo vedo neanche nei tuoi messaggi.
Dato un insieme libero \(X\) di uno spazio vettoriale \(V\) e una funzione \(g\colon X\to V'\) dove \(V'\) è un altro spazio vettoriale, si dice estensione per linearità di \(g\), l'applicazione lineare \(\tilde{g}\) che ristretta a \(X\) coincide con \(g\) e tale che:
\[ \tilde{g}\biggl(\sum_{y\in Y} \alpha_{y}y\biggr) = \sum_{y\in Y} \alpha_{y}g(y) \] per ogni \(\alpha_y\in \mathbb{R}\) e sottoinsieme finito \(Y\) di \(X\).
È abbastanza banale mostrare che sia ben definita per insiemi liberi. La definizione è a memoria, non l'ho copiata da nessuna parte. A dire il vero dubito che sia un termine completamente standard o che vi siano esplicite definizioni di questa cosa nei libri. Il tuo professore preferisce usare lo stesso approccio dei polinomi, io preferisco definire le somme per insiemi finiti, ma il risultato è lo stesso.
Dato un insieme libero \(X\) di uno spazio vettoriale \(V\) e una funzione \(g\colon X\to V'\) dove \(V'\) è un altro spazio vettoriale, si dice estensione per linearità di \(g\), l'applicazione lineare \(\tilde{g}\) che ristretta a \(X\) coincide con \(g\) e tale che:
\[ \tilde{g}\biggl(\sum_{y\in Y} \alpha_{y}y\biggr) = \sum_{y\in Y} \alpha_{y}g(y) \] per ogni \(\alpha_y\in \mathbb{R}\) e sottoinsieme finito \(Y\) di \(X\).
È abbastanza banale mostrare che sia ben definita per insiemi liberi. La definizione è a memoria, non l'ho copiata da nessuna parte. A dire il vero dubito che sia un termine completamente standard o che vi siano esplicite definizioni di questa cosa nei libri. Il tuo professore preferisce usare lo stesso approccio dei polinomi, io preferisco definire le somme per insiemi finiti, ma il risultato è lo stesso.
Per provare che è ben posta, si potrebbe procedere con la seguente osservazione ?
basta osservare $YsubseteqX$ con $Y$ finito, dunque, $Y$ parte libera, ed in tal caso $a_y$ sono univocamente determinati.
Forse hai ragione quando dici che il mio professore usa lo stesso approccio dei polinomi.
Infine, per provare la suriettività, si ha: $f(S)=f()=\=^1\\=S_1$
1) Su tale punto ho un dubbio; ricordo $S$ spazio vettoriale siano $X, Y $ parti di $S$ si ha $XsubseteqY => subseteq $
Osservo $B_1=f(B)$ dove $B_1={g(x): x in B}$ e $f(B)= {f(y): y in B}.$
Quindi $g(x)=1*g(x)$ per ogni $g(x) in B_1$, inoltre $f(B) \equiv B \equiv B_1.$
Allora $B_1 subseteq f(B)$ e $|f(B)|=|B_1|$ segue $f(B)=B_1$
Può andare bene?
basta osservare $YsubseteqX$ con $Y$ finito, dunque, $Y$ parte libera, ed in tal caso $a_y$ sono univocamente determinati.
Forse hai ragione quando dici che il mio professore usa lo stesso approccio dei polinomi.
Infine, per provare la suriettività, si ha: $f(S)=f()=
1) Su tale punto ho un dubbio; ricordo $S$ spazio vettoriale siano $X, Y $ parti di $S$ si ha $XsubseteqY =>
Osservo $B_1=f(B)$ dove $B_1={g(x): x in B}$ e $f(B)= {f(y): y in B}.$
Quindi $g(x)=1*g(x)$ per ogni $g(x) in B_1$, inoltre $f(B) \equiv B \equiv B_1.$
Allora $B_1 subseteq f(B)$ e $|f(B)|=|B_1|$ segue $f(B)=B_1$
Può andare bene?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo