Diagonalizzazione forma quadratica
Salve ragaz,
Sto studiando le forme bilineari e le forme quadratiche, ma la diagonalizzazione non la capisco. Inoltre il mio libro porta un tipo procedimento e sul web ne ho visto un altro, tramite l algoritmo di gauss-lagrange. Potreste spiegarmi come procedere per diagonalizzare una forma quadratica e quale strada conviene usare? Grazie anticipatamente.
Sto studiando le forme bilineari e le forme quadratiche, ma la diagonalizzazione non la capisco. Inoltre il mio libro porta un tipo procedimento e sul web ne ho visto un altro, tramite l algoritmo di gauss-lagrange. Potreste spiegarmi come procedere per diagonalizzare una forma quadratica e quale strada conviene usare? Grazie anticipatamente.
Risposte
Metodo migliore è il completamento dei quadrati o l'andare ad occhio 
E cioèè? 
Ad esempio ho questa forma quadratica:
$ q (X) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 $
Come la diagonalizzo?
Ad esempio ho questa forma quadratica:
$ q (X) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 $
Come la diagonalizzo?
Vediamo se intendiamo la stessa cosa, intendi questa matrice associata?
$((0,0,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0))$
O questa?
$((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
Risolviamo la seconda, visto che siamo furbi moltiplichiamo tutto per 4:
$4q(X)= 4x_1x_2 +4x_1x_3 +4x_2x_3=(x_1 +x_2 +2x_3)^2 -(x_1 -x_2)^2 -4(x_3)^2$
Quindi viene:
$((1/4,0,0),(0,-1/4,0),(0,0,-1))$
$((0,0,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0))$
O questa?
$((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
Risolviamo la seconda, visto che siamo furbi moltiplichiamo tutto per 4:
$4q(X)= 4x_1x_2 +4x_1x_3 +4x_2x_3=(x_1 +x_2 +2x_3)^2 -(x_1 -x_2)^2 -4(x_3)^2$
Quindi viene:
$((1/4,0,0),(0,-1/4,0),(0,0,-1))$
La matrice associata è la seconda che hai scritto, quella con tutti 0 sulla diagonale principale e 1 altrove. Non ho capito perchè moltiplichi per 4.
È un trucchetto, praticamente ci sono due metodi standard:
1) Hai almeno un termine quadrato, allora ricostruisci un quadrato grazie a quel termine.
2) Non hai un termine quadrato, allora hai solo termini misti e grazie a questo devi costruirti dei quadrati.
Questo esempio potrebbe aiutarti a capire
1)
$x^2 +4xy +8yz=0$
$(x^2 +4xy +4y^2) -(4y^2 -8yz +4z^2) +4z^2 $
Come vedi ottieni tre quadrati perfetti
2)
$xy + xz +yz=0$
$x(y+z) + y(z)= (x+y+2z)^2/4 - (x-y)^2/4 -z^2$
Come vedi ancora tre quadrati perfetti.
1) Hai almeno un termine quadrato, allora ricostruisci un quadrato grazie a quel termine.
2) Non hai un termine quadrato, allora hai solo termini misti e grazie a questo devi costruirti dei quadrati.
Questo esempio potrebbe aiutarti a capire
1)
$x^2 +4xy +8yz=0$
$(x^2 +4xy +4y^2) -(4y^2 -8yz +4z^2) +4z^2 $
Come vedi ottieni tre quadrati perfetti
2)
$xy + xz +yz=0$
$x(y+z) + y(z)= (x+y+2z)^2/4 - (x-y)^2/4 -z^2$
Come vedi ancora tre quadrati perfetti.
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