Esercizio su iperbole

[PaoloC94]

salve a tutti non riesco a risolvere un problema che è sorto durante l' esercizio di una conica:

presa la seguente conica $4x^2-y^2-2y+3=0$ si determinino se esistono e sono reali centro asintoti assi e vertici.
Io sono già riuscito a determinare che la conica è un' iperbole di centro $C(0,-1)$ e di asintoti $y=2x+1$ e $y=-2x+1$ ma non riesco a determinare gli assi e i vertici. Inoltre non riesco a determinare il polo della retta $r: x+y+1=0$ nella polarità associata a C.
qualcuno è in grado di aiutarmi?

[jellybean22]

Se non vado errando, per trovare le direzioni degli assi è necessario calcolare gli autovettori della matrice associata alla parte quadratica della conica. Fatto ciò ti basta imporre il passaggio per il centro della conica ed avrai i tuoi assi. Per i vertici devi intersecare gli assi con la tua conica ed avrai le tue coordinate.

[PaoloC94]

"JellyBean22":Se non vado errando, per trovare le direzioni degli assi è necessario calcolare gli autovettori della matrice associata alla parte quadratica della conica. Fatto ciò ti basta imporre il passaggio per il centro della conica ed avrai i tuoi assi. Per i vertici devi intersecare gli assi con la tua conica ed avrai le tue coordinate.

scusa ma non sò come si fà a trovare gli autovettori della matrice associata alla parte quadrica

[minomic]

Ciao, con il completamento dei quadrati ottieni la seguente forma $$
x^2 - \frac{\left(y+1\right)^2}{4} = -1
$$ quindi ricavi, oltre a quello che hai già trovato, $$a = 1,\ b = 2.$$ Ora per trovare i vertici, ti "sposti" di $b$ in su e in giù partendo dal centro della curva.
Facci sapere se hai altri dubbi.

[Sk_Anonymous]

La soluzione che fa riferimento al completamento dei quadrati è legata alla forma dell'equazione della conica. In particolare al fatto che manca il termine "rettangolare " xy. In presenza di questo termine le cose si complicano. Una soluzione più generale mi sembra quella suggerita da JellyBean22. La parte quadratica è chiaramente fornita dal complesso dei termini di secondo grado dell'equazione della conica. Nel nostro caso tale parte è $4x^2-y^2$ e
la matrice corrispondente a questa parte è :
$((4,0),(0,-1))$
Con facili calcoli si trova che gli autovalori di essa sono :$lambda_1=-1,lambda_2=4$ e che gli autospazi corrispondenti sono :$V_{-1}={x=0}, V_4={y=0}$
Pertanto gli assi della conica sono le parallele agli assi coordinati condotte per il centro $C(0,-1)$, ovvero le rette di equazione : $x=0,y=-1$
Il resto è facile.