Problema con i Sottospazi

[bobbinetor]

Salve a tutti ragazzi non riesco a capire come svolgere la seguente tipologia di esercizio..

Sia S lo spazio delle soluzioni dell'equazione : x-y-z=0 e T lo spazio delle soluzioni dell'equazione :
2x+y-2z=0 Determinare la dimensone e una base di S, di S intersecato T , e di S+T, stabilire se S e T sono supplementari e/o complementari

Ragazzi il concetto di sommma e di intersezione di sottospazi praticamente come avviene?

E poi ancora non riesco a trovare niente su internet che mi aiuti con i complementari.. per risolvere esercizi del tipo
Dire se U è un complementare di W motivando la risposta..

Un ringraziamento a tutti quelli che risponderanno..

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Potrebbe, forse, essere utile questa discussione per i concetti di sottospazio complementare e supplementare.

Per quanto riguarda la parte preliminare, sei, per lo meno, in grado di trovare le basi dei sottospazi $S$ e $T$, o di far vedere un qualsiasi tentativo di risoluzione dell'esercizio, come prescrive il regolamento del forum (art. 1.4)?

Saluti.

[bobbinetor]

Allora so che la dimensione della base di S come la dimensione della base di T è 2, fisso due variabili e risolvo in funzione della terza e risolvo le due equazione separatamente... dovrebbe essere questo il procedimento..

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Immagino che $S$ e $T$ siano sottospazi di $RR^3$.

Dalla condizione espressa in $S$ si ha che $z=x-y$, per cui:

$S={(x,y,x-y)inRR^3:x,yinR}={x(1,0,1)+y(0,1,-1):x,yinR}$

cioè

$S=mathcalL{(1,0,1),(0,1,-1)}$

Dalla condizione espressa in $T$ si ha che $y=2z-2x$, per cui:

$T={(x,2z-2x,z)inRR^3:x,zinR}={x(1,-2,0)+z(0,2,1):x,zinR}$

cioè

$T=mathcalL{(1,-2,0),(0,2,1)}$

Siccome le coppie di vettori che generano i due sottospazi sono linearmente indipendenti (banale) è chiaro che:

${(1,0,1),(0,1,-1)}$ è una base di $S$

${(1,-2,0),(0,2,1)}$ è una base di $T$

quindi $dimS=dimT=2$.

Si consideri lo spazio somma $S+T=mathcalL{(1,0,1),(0,1,-1),(1,-2,0),(0,2,1)}$; si può far vedere che $S+T$ altro non è che $RR^3$. Per fare ciò considero il determinante della matrice formata con i primi tre vettori:

$|(1,0,1),(0,1,-1),(1,-2,0)|!=0$, quindi $dim(S+T)=3 Rightarrow S+T=RR^3$

Dalla formula di Grassmann (invertita) si ricava che

$dim(SnnT)=dimS+dimT-dim(S+T)=2+2-3=1$

Saluti.