Sotto spazi, base, base ortogonale

[Roberto0699]

Ciao a tutti!
Mi sapreste aiutare con un esercizio del genere? Il problema è che l'esercizio è troppo generico e non capisco proprio da dove prendere..

Sia c ∈ R e sia Vc l'insieme definito come
Vc= {[x1,x2,x3,x4] in R4 | x1-x2-x4= c }
(a) Si determino i valori di c per i quali Vc è sottospazio vettoriale di R4
(b) Per c = 0 si trovi una base di V0
(c) Per c = 0 si trovi una base ortogonale di V0

Grazie infinite.

[Sk_Anonymous]

Ciao.

(a) È chiaro che, per $c!=0$, l'insieme $V_c$ non può essere sottospazio vettoriale di $RR^4$, poichè in tal caso si verifica che $(0,0,0,0) notin V_c$.

(b) Sia $V=V_0={(x_1,x_2,x_3,x_4)inRR^4:x_1-x_2-x_4=0}$

Effettuando le opportune verifiche (che ometto), si può mostrare che $V$ è sottospazio vettoriale di $RR^4$.

Ora, dal momento che si ricava $x_4=x_1-x_2$, si noti che vale la seguente definizione di $V$:

$V={(x_1,x_2,x_3,x_1-x_2):x_1,x_2,x_3inRR}={x_1(1,0,0,1)+x_2(0,1,0,-1)+x_3(0,0,1,0):x_1,x_2,x_3inRR}$

cioè

$V=mathcalL{(1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1,0)}$

Siccome vale, chiaramente, che

$rk((1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1,0))=3$

significa che i tre vettori che generano $V$ sono linearmente indipendenti, quindi una possibile base $mathcalB$ di $V$ è data da:

$mathcalB={(1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1,0)}$

(c) Per trovare una base ortogonale di $V$, basta applicare il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ai tre vettori della base $mathcalB$, assumendo, ovviamente, come prodotto scalare quello usuale (o standard) in $RR^4$.
Anche in questo caso ometto i conti.

Saluti.