Riduzione quadrica forma canonica
Ciao, avrei alcuni problemi con un tipo di esercizio che no mi riesce risolvere....
data la quadrica $z=(5/4)x^2-((sqrt3)/2)xy+(7/4)y^2 $
la devo ridurre in forma canonica...
so che lo devo fare con autovalori e autovettori e svolgendo la matrice dove nella diagonale sommo -λ ottengo i seuenti valori di $\lambda:\lambda=0,\lambda=4,\lambda=8$
adesso ottengo tre casi...però da qui in avanti ho solo molta confuzione in testa...come fare?
data la quadrica $z=(5/4)x^2-((sqrt3)/2)xy+(7/4)y^2 $
la devo ridurre in forma canonica...
so che lo devo fare con autovalori e autovettori e svolgendo la matrice dove nella diagonale sommo -λ ottengo i seuenti valori di $\lambda:\lambda=0,\lambda=4,\lambda=8$
adesso ottengo tre casi...però da qui in avanti ho solo molta confuzione in testa...come fare?
Risposte
Ciao "mormar02".
Devo chiederti di usare meglio le formule per scrivere la tua quadrica, altrimenti non posso nemmeno provare ad aiutarti.
Tieni conto che per scrivere $sqrt(32)$ puoi usare il comando \$sqrt(32)\$
e per scrivere $x^2$ o $y^2$ puoi usare il comando \$x^2\$ o \$y^2\$.
Detto questo, se ho capito bene, la quadrica ha equazione $z=54x^2-\sqrt{32}xy+74y^2$, giusto?
Ma gli autovalori della matrice $3\times3$ associata (quella dei termini di secondo grado) non sono quelli che dici tu! O sbaglio? Postami i tuoi calcoli e li controlliamo insieme.
Devo chiederti di usare meglio le formule per scrivere la tua quadrica, altrimenti non posso nemmeno provare ad aiutarti.
Tieni conto che per scrivere $sqrt(32)$ puoi usare il comando \$sqrt(32)\$
e per scrivere $x^2$ o $y^2$ puoi usare il comando \$x^2\$ o \$y^2\$.
Detto questo, se ho capito bene, la quadrica ha equazione $z=54x^2-\sqrt{32}xy+74y^2$, giusto?
Ma gli autovalori della matrice $3\times3$ associata (quella dei termini di secondo grado) non sono quelli che dici tu! O sbaglio? Postami i tuoi calcoli e li controlliamo insieme.
[mod="Alexp"]
@"cirasa": Ciao, ho provveduto a correggere le formule!
@"mormar02": cerca di stare più attento, altrimenti rischi che non si legga ciò che scrivi!
(per scrivere $\lambda$, devi digitare \lambda tra i simboli "dollaro").
[/mod]
@"cirasa": Ciao, ho provveduto a correggere le formule!
@"mormar02": cerca di stare più attento, altrimenti rischi che non si legga ciò che scrivi!
(per scrivere $\lambda$, devi digitare \lambda tra i simboli "dollaro").[/mod]
ops scusate tanto...solo che stamani ero all'uni e ho avuto un accesso veloce(oltre che instabile) ad internet e non ho potuto ricontrollare dopo aver postato..
adesso correggo la funzione..scusate ancora..
EDIT:quadrica corretta...
adesso correggo la funzione..scusate ancora..
EDIT:quadrica corretta...
[mod="Alexp"]
Ciao, ora ho ricorretto io...ma per scrivere la $sqrt(3)$ devi digitare sqrt(3) tra i simboli "dollaro", altrimenti risulta illeggibile.
[/mod]
Ciao, ora ho ricorretto io...ma per scrivere la $sqrt(3)$ devi digitare sqrt(3) tra i simboli "dollaro", altrimenti risulta illeggibile.
[/mod]
Spero di non commettere errori, visto che in queste cose sono un po' arrugginito e sinceramente non mi ricordo precisamente come si fa.
Innanzitutto, io inizierei con il classificare la quadrica.
Questa qui, se non sbaglio, è un paraboloide ellittico.
In questo caso, se non ricordo male, un riferimento "buono" nel quale la quadrica ha equazione nella forma canonica, è quello per cui l'asse $z$ coincide con l'asse del paraboloide, il vertice coincide con l'origine del sistema di riferimento e gli assi $x$ e $y$ sono le intersezioni dei due piani principali con il piano tangente al paraboloide in $V$.
Quindi io inizierei a trovarmi tutti questi oggetti e a trovare l'equazione del cambio di riferimento.
Se ci sono problemi, dimmelo...
Innanzitutto, io inizierei con il classificare la quadrica.
Questa qui, se non sbaglio, è un paraboloide ellittico.
In questo caso, se non ricordo male, un riferimento "buono" nel quale la quadrica ha equazione nella forma canonica, è quello per cui l'asse $z$ coincide con l'asse del paraboloide, il vertice coincide con l'origine del sistema di riferimento e gli assi $x$ e $y$ sono le intersezioni dei due piani principali con il piano tangente al paraboloide in $V$.
Quindi io inizierei a trovarmi tutti questi oggetti e a trovare l'equazione del cambio di riferimento.
Se ci sono problemi, dimmelo...
si, qualche problemino c'è....per la classificazione della quadrica non ci sono problemi, lo saprei fare...
il problema per me è la riduzione in forma canonica mediante autovalori ed autovettori..riesco a trovare ii valori di $λ$
però poi mi fermo li dato che nel libro è spiegato male e non riesco a capire come andare avanti
il problema per me è la riduzione in forma canonica mediante autovalori ed autovettori..riesco a trovare ii valori di $λ$
però poi mi fermo li dato che nel libro è spiegato male e non riesco a capire come andare avanti
Io ho provato a fare così, dovrebbe essere giusto, ma non ne sono certo...
Gli autovalori della matrice servono a trovare i piani principali. Dato un autovalore non nullo della matrice, devi calcolarti il relativo autospazio e una sua base.
Con il vettore di questa base, chiamiamolo $(a,b,c)$, ottieni il punto improprio di coordinate proiettive omogenee $(a,b,c,0)$. Il suo piano polare sarà un piano principale.
Con questo metodo ottieni i due piani principali:
$\alpha:\sqrt(3)x+y=0$ relativo all'autovalore $4$
$\beta:x-\sqrt(3)y=0$ relativo all'autovalore $8$
Quindi l'asse del paraboloide è $\alpha\cap\beta:{(x=0), (y=0):}$.
Il vertice $V$ é dato da $\alpha\cap\beta\cap Q$, dove $Q$ è la quadrica. Si ottiene $V$ di coordinate affini $(0,0,0)$.
Il piano tangente a $Q$ in $V$ è (facile da calcolare) $\pi:z=0$.
Il riferimento "buono" è quello con origine $V=O$, asse $Z$ dato da $\alpha\cap\beta$, asse $X$ dato da $\alpha\cap\pi$ e asse $Y$ dato da $\beta\cap\pi$.
L'equazione del cambiamento di riferimento in questo caso è
${(X=x-\sqrt(3)y),(Y=\sqrt(3)x+y),(Z=z):}$
In questo riferimento la quadrica ha equazione nella forma canonica.
Gli autovalori della matrice servono a trovare i piani principali. Dato un autovalore non nullo della matrice, devi calcolarti il relativo autospazio e una sua base.
Con il vettore di questa base, chiamiamolo $(a,b,c)$, ottieni il punto improprio di coordinate proiettive omogenee $(a,b,c,0)$. Il suo piano polare sarà un piano principale.
Con questo metodo ottieni i due piani principali:
$\alpha:\sqrt(3)x+y=0$ relativo all'autovalore $4$
$\beta:x-\sqrt(3)y=0$ relativo all'autovalore $8$
Quindi l'asse del paraboloide è $\alpha\cap\beta:{(x=0), (y=0):}$.
Il vertice $V$ é dato da $\alpha\cap\beta\cap Q$, dove $Q$ è la quadrica. Si ottiene $V$ di coordinate affini $(0,0,0)$.
Il piano tangente a $Q$ in $V$ è (facile da calcolare) $\pi:z=0$.
Il riferimento "buono" è quello con origine $V=O$, asse $Z$ dato da $\alpha\cap\beta$, asse $X$ dato da $\alpha\cap\pi$ e asse $Y$ dato da $\beta\cap\pi$.
L'equazione del cambiamento di riferimento in questo caso è
${(X=x-\sqrt(3)y),(Y=\sqrt(3)x+y),(Z=z):}$
In questo riferimento la quadrica ha equazione nella forma canonica.
ti ringrazio...domani appena ho tempo mi rimetto li per bene e vedo di capire bene il metodo con altri esercizi...
bel caso avessi ancora confusione sarò costretto a contattarti ancora!!
grazie mille!
bel caso avessi ancora confusione sarò costretto a contattarti ancora!!
grazie mille!
Sono qui, se ti serve fai un fischio!
Buon pomeriggio!
ho rivisto qualcosa sulle quadriche, e in particolare sul modo di classificarle
e poi ridurle a forma canonica.
per comodità ho riscritto l'equazione della quadrica al seguente modo:
$ (5/4)x^2 + (7/4)y^2 - ((sqrt3)/2)xy - z = 0 $
quindi occorre calcolare il determinante della matrice simmetrica A formata con i
coefficienti di secondo grado:
$A=((5/4,-(sqrt3)/4,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0),(0,0,0))$
il determinante è nullo (una riga (colonna) è formata da zeri).
condizione per cui la quadrica è priva di centro di simmetria.
consideriamo adesso la matrice completa M associata all'equazione della quadrica e calcoliamo
il determinante.
$M=((5/4,-(sqrt3)/4,0,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0,0),(0,0,0,-1/2),(0,0,-1/2,0))$
il determinante è $|M|=-44/64!=0 =>$ quadrica non degenere.
Poichè $|M|<0 =>$ quadrica a punti ellittici. cioè trattasi di un paraboloide ellittico
in quanto il rango di M è 4 e il rango di A è 2.
successivamente si procede con il calcolo degli autovalori di A:
$|A-lambda I|=0$
ovvero determini il polinomio caratteristico:
$lambda^3-3lambda+2lambda=0$
utilizzando il metodo di scomposizione dei polinomi, trovi :
$(lambda-1) \times (lambda^2-2lambda)=0$
Gli autovalori associati : $lambda_1=1$, $lambda_2=2$ , $lambda_3=0$
a questo punto calcoli gli autovettori linearmente indipendenti relativi a ciascun autovalore.
ti scrivo direttamente la matrice ortonormale che definisce la rotazione:
$P=(((sqrt3)/2,-1/2,0),(1/2,(sqrt3)/2,0),(0,0,1))$
ho già calcolato l'equazione del paraboloide, ma aspetto a scriverla, in modo tale da verificare i calcoli.
magari hai già trovato la forma canonica.
seguendo questa risoluzione,
Z è asse di simmetria per la quadrica.
A presto!
ho rivisto qualcosa sulle quadriche, e in particolare sul modo di classificarle
e poi ridurle a forma canonica.
per comodità ho riscritto l'equazione della quadrica al seguente modo:
$ (5/4)x^2 + (7/4)y^2 - ((sqrt3)/2)xy - z = 0 $
quindi occorre calcolare il determinante della matrice simmetrica A formata con i
coefficienti di secondo grado:
$A=((5/4,-(sqrt3)/4,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0),(0,0,0))$
il determinante è nullo (una riga (colonna) è formata da zeri).
condizione per cui la quadrica è priva di centro di simmetria.
consideriamo adesso la matrice completa M associata all'equazione della quadrica e calcoliamo
il determinante.
$M=((5/4,-(sqrt3)/4,0,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0,0),(0,0,0,-1/2),(0,0,-1/2,0))$
il determinante è $|M|=-44/64!=0 =>$ quadrica non degenere.
Poichè $|M|<0 =>$ quadrica a punti ellittici. cioè trattasi di un paraboloide ellittico
in quanto il rango di M è 4 e il rango di A è 2.
successivamente si procede con il calcolo degli autovalori di A:
$|A-lambda I|=0$
ovvero determini il polinomio caratteristico:
$lambda^3-3lambda+2lambda=0$
utilizzando il metodo di scomposizione dei polinomi, trovi :
$(lambda-1) \times (lambda^2-2lambda)=0$
Gli autovalori associati : $lambda_1=1$, $lambda_2=2$ , $lambda_3=0$
a questo punto calcoli gli autovettori linearmente indipendenti relativi a ciascun autovalore.
ti scrivo direttamente la matrice ortonormale che definisce la rotazione:
$P=(((sqrt3)/2,-1/2,0),(1/2,(sqrt3)/2,0),(0,0,1))$
ho già calcolato l'equazione del paraboloide, ma aspetto a scriverla, in modo tale da verificare i calcoli.
magari hai già trovato la forma canonica.
seguendo questa risoluzione,
Z è asse di simmetria per la quadrica.
A presto!
"salfor76":
...
quindi occorre calcolare il determinante della matrice simmetrica A formata con i
coefficienti di secondo grado:
$A=((5/4,-(sqrt3)/4,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0),(0,0,0))$
il determinante è nullo (una riga (colonna) è formata da zeri).
condizione per cui la quadrica è priva di centro di simmetria.
consideriamo adesso la matrice completa M associata all'equazione della quadrica e calcoliamo
il determinante.
$M=((5/4,-(sqrt3)/4,0,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0,0),(0,0,0,-1/2),(0,0,-1/2,0))$
...
Un consiglio: moltiplica le due matrici per $4$, tanto la quadrica resta la stessa..
ma non hai i "fastidiosi" denominatori!
grazie mille!!con voi sono riuscito a capire molto meglio questo argomento!!
C'è qualcuno disposto a spiegarmi come ci si è calcolati la matrice ortonormale che definisce la rotazione? ed a conlcudere l'esercizio?
vi prego,
, mi sarebbe molto di aiuto!
vi prego,
, mi sarebbe molto di aiuto!
Buon dì tinam!
provo a rispondere alla tua domanda. Per il calcolo della matrice ortonormale, devi
prima procedere al calcolo degli autovettori linearmente indipendenti relativi a ciascun autovalore.
ovvero per ciascun autovettore risulta:
$AU = \lambdaU$
che in termini matriciali, nel caso specifico per il primo autovettore relativo all'autovalore $\lambda=1$
si ha:
$((5/4,-(sqrt3)/4,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0),(0,0,0))*((x),(y),(z))=\lambda_1((x),(y),(z))$
risolvi il sistema e trovi le componenti $x,y,z$ dell'autovettore.
e allo stesso modo procedi per gli altri due autovettori. Poi , ottenuti gli autovettori , li
"normalizzi" e costruisci la matrice ortonormale (disponi per colonne le componenti dei
tre autovettori normalizzati).
per normalizzare gli autovettori devi trovare il "modulo" di ciascun autovettore e quindi
dividere per esso le componenti dell'autovettore.
Poi procedi con il cambio di riferimento.
mi auguro di aver chiarito un pò di più.
buona giornata!
provo a rispondere alla tua domanda. Per il calcolo della matrice ortonormale, devi
prima procedere al calcolo degli autovettori linearmente indipendenti relativi a ciascun autovalore.
ovvero per ciascun autovettore risulta:
$AU = \lambdaU$
che in termini matriciali, nel caso specifico per il primo autovettore relativo all'autovalore $\lambda=1$
si ha:
$((5/4,-(sqrt3)/4,0),(-(sqrt3)/4,7/4,0),(0,0,0))*((x),(y),(z))=\lambda_1((x),(y),(z))$
risolvi il sistema e trovi le componenti $x,y,z$ dell'autovettore.
e allo stesso modo procedi per gli altri due autovettori. Poi , ottenuti gli autovettori , li
"normalizzi" e costruisci la matrice ortonormale (disponi per colonne le componenti dei
tre autovettori normalizzati).
per normalizzare gli autovettori devi trovare il "modulo" di ciascun autovettore e quindi
dividere per esso le componenti dell'autovettore.
Poi procedi con il cambio di riferimento.
mi auguro di aver chiarito un pò di più.
buona giornata!
scrivo l'equazione della quadrica in forma canonica.
mi auguro di non aver commesso errori.
$X^2+(11/16)Y^2 - Z =0$
$Z$ è asse di simmetria per la quadrica.
è un paraboloide ellittico.
alla prossima!
mi auguro di non aver commesso errori.
$X^2+(11/16)Y^2 - Z =0$
$Z$ è asse di simmetria per la quadrica.
è un paraboloide ellittico.
alla prossima!
E invece per trovare la forma canonica?
Si procede come con le quadriche, ovvero autovalori della matrice A e poi si mettono come coefficienti di X e Y e si cerca il termine noto?
Grazie
Si procede come con le quadriche, ovvero autovalori della matrice A e poi si mettono come coefficienti di X e Y e si cerca il termine noto?
Grazie
CIa0, benvenuto.
Forse è meglio che apri un nuovo thread e poni una domanda su un esercizio più specifico.
[xdom="j18eos"]Chiudo.[/xdom]
Forse è meglio che apri un nuovo thread e poni una domanda su un esercizio più specifico.
[xdom="j18eos"]Chiudo.[/xdom]
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