Ammissibilità di un sistema con coefficiente?
Ciao a tutti, vi avevo scritto qualche tempo fa perchè stavo preparando un esamino di algebra lineare. Purtroppo l'esame non l'ho passato, avevo in effetti troppo poco tempo per farcela. E in più l'esercizio era uno solo, questo:
Per quali valori di α il sistema qui sotto ammette soluzioni?
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{rl}
αx + y - z = 0\\
x + αy - z = 2\\
(α+1)x + 3y -2z = 2\\
\end{array}
\right. \)
Ho provato ad applicare il metodo di eliminazione di Gauss, ma mi blocco dopo poco perchè non riesco ad arrivare alla forma corretta. Voi avete qualche idea di come si potrebbe risolvere, casomai ricapitasse un esercizio del genere?
Per quali valori di α il sistema qui sotto ammette soluzioni?
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{rl}
αx + y - z = 0\\
x + αy - z = 2\\
(α+1)x + 3y -2z = 2\\
\end{array}
\right. \)
Ho provato ad applicare il metodo di eliminazione di Gauss, ma mi blocco dopo poco perchè non riesco ad arrivare alla forma corretta. Voi avete qualche idea di come si potrebbe risolvere, casomai ricapitasse un esercizio del genere?
Risposte
Vale il Teorema di Rouché-Capelli ovvero "un sistema lineare di n equazioni in n incognite del tipo AX=b ammette soluzioni se e solo se rango(A)=rango(A,b)".
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_d ... ni_lineari
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... A9-Capelli
Se poi il rango(A)=n, il sistema ammetterà solo 1 soluzione.
Quindi il sistema ammetterà 1 soluzione se det(A) non è nullo. Per i valori di $alpha$ per cui si annulla det(A) bisognerà applicare il teorema nella sua completezza.
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_d ... ni_lineari
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... A9-Capelli
Se poi il rango(A)=n, il sistema ammetterà solo 1 soluzione.
Quindi il sistema ammetterà 1 soluzione se det(A) non è nullo. Per i valori di $alpha$ per cui si annulla det(A) bisognerà applicare il teorema nella sua completezza.
Ti ringrazio. Avevo pensato di usare Rouché-Capelli, il problema è che non riesco ad arrivare alla matrice triangolare superiore...
Se però capisco bene tu suggerisci di calcolare il determinante (che conterrà α) e imporre che sia ≠ 0? Ma è possibile calcolare il determinante di una matrice non quadrata?
Se però capisco bene tu suggerisci di calcolare il determinante (che conterrà α) e imporre che sia ≠ 0? Ma è possibile calcolare il determinante di una matrice non quadrata?
A è una matrice quadrata
$A=((alpha,1,-1),(1,alpha,-1),(alpha+1,3,-2))$
e quindi puoi calcolare il determinante.
Il rango invece si può applicare a qualunque matrice. Il fatto che il determinante di A non sia nullo implica che il rango di A è 3 e poiché (A,b) è una matrice 3x4 con det(A) diverso da zero anche il suo rango è 3. Quindi il sistema ha soluzione e in particolare ha 1 soluzione.
I problema ti nascerà per i valori di $alpha$ per i quali det(A)=0, e per i quali bisognerà fare l'analisi completa.
$A=((alpha,1,-1),(1,alpha,-1),(alpha+1,3,-2))$
e quindi puoi calcolare il determinante.
Il rango invece si può applicare a qualunque matrice. Il fatto che il determinante di A non sia nullo implica che il rango di A è 3 e poiché (A,b) è una matrice 3x4 con det(A) diverso da zero anche il suo rango è 3. Quindi il sistema ha soluzione e in particolare ha 1 soluzione.
I problema ti nascerà per i valori di $alpha$ per i quali det(A)=0, e per i quali bisognerà fare l'analisi completa.
"ingres":
A è una matrice quadrata
$A=((alpha,1,-1),(1,alpha,-1),(alpha+1,3,-2))$
e quindi puoi calcolare il determinante.
Il rango invece si può applicare a qualunque matrice. Il fatto che il determinante di A non sia nullo implica che il rango di A è 3 e poiché (A,b) è una matrice 3x4 con det(A) diverso da zero anche il suo rango è 3. Quindi il sistema ha soluzione e in particolare ha 1 soluzione.
I problema ti nascerà per i valori di $alpha$ per i quali det(A)=0, e per i quali bisognerà fare l'analisi completa.
Scusate se riporto in vita questo thread ma sto forse cominciando a capirci qualcosa (ho mollato un po' la presa perchè l'esame è più in là).
Mi rendo conto che mi manca qualche passaggio, di sicuro.
In pratica quello che dice @ingres è
- per Rouchè Capelli, se il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa, allora il sistema ammette soluzioni
- per capire se le soluzioni sono una o infinite, bisogna guardare al determinante.
Se det(A) è ≠0, allora avrò una sola soluzione.
Se det(A) è =0, allora posso avere 0 o infinite soluzioni.
È corretto? Lo spero.
Non capisco però queste frasi:
"Il fatto che il determinante di A non sia nullo implica che il rango di A è 3"
"Quindi il sistema ammetterà 1 soluzione se det(A) non è nullo"
Cioè: perchè c'è questa relazione tra determinante e numero delle soluzioni?
"Veijo":
Il fatto che il determinante di A non sia nullo implica che il rango di A è 3"
Ci sono molte definizioni equivalenti di rango
https://it.wikipedia.org/wiki/Rango_(algebra_lineare)
ma quella più semplice ed usata è che rango di una matrice è pari al suo minore quadrato invertibile, ovvero con il determinante non nullo, di ordine massimo.
Quindi se A ha determinante non nullo, il suo rango è 3. Poichè per definizione la matrice AB ovvero associando i termini noti è 3x4 e il minore quadrato A ha determinante non nullo, anche il suo rango è 3.
A questo punto il T di RC ti dice che in questo caso, in cui il rango coincide con la dimensione, il sistema ha solo 1 soluzione.
Ok, capisco fino a un certo punto ma mi dovrò rassegnare, arrivo solo fin lì.
A questo punto devo calcolare il rango di A. Se è 3 allora siamo a posto, è 3 anche il determinante di AB (come mi pare di capire abbia detto tu qui sopra).
Se è <3 allora avrò due casi: uno in cui rk(AB)=rk(A), e allora siamo nel caso in cui ci sono infinite soluzioni perchè una riga è linearmente dipendente (?). Un altro caso in cui rk(AB)>rk(A), e qui non abbiamo nessuna soluzione.
Tornando un attimo indietro però, per calcolare il rango di A devo usare uno dei metodi disponibili. Minori, teorema di Kronecker o eliminazione di Gauss. Il problema è che io conosco solo l'eliminazione, ma qui si può usare? Tu cosa useresti?
Ti ringrazio davvero molto per la pazienza, sono molto in difficoltà con la matematica in generale, e questa cosa non l'ho mai studiata in vita mia.
A questo punto devo calcolare il rango di A. Se è 3 allora siamo a posto, è 3 anche il determinante di AB (come mi pare di capire abbia detto tu qui sopra).
Se è <3 allora avrò due casi: uno in cui rk(AB)=rk(A), e allora siamo nel caso in cui ci sono infinite soluzioni perchè una riga è linearmente dipendente (?). Un altro caso in cui rk(AB)>rk(A), e qui non abbiamo nessuna soluzione.
Tornando un attimo indietro però, per calcolare il rango di A devo usare uno dei metodi disponibili. Minori, teorema di Kronecker o eliminazione di Gauss. Il problema è che io conosco solo l'eliminazione, ma qui si può usare? Tu cosa useresti?
Ti ringrazio davvero molto per la pazienza, sono molto in difficoltà con la matematica in generale, e questa cosa non l'ho mai studiata in vita mia.
Di solito preferisco guardare i minori, ma questa è una mia scelta.
Comunque in molti casi si capisce abbastanza facilmente come stanno le cose.
Vediamo giusto questo esercizio. Si ha che
$det(A) = -alpha^2+3*alpha-2=0$
da cui si ottengono i valori $alpha_1 =1$ e $alpha_2 =2$. Quindi per $alpha$ diverso da 1 e 2 avremo solo 1 soluzione.
Vediamo il caso $alpha =1$. In questo caso abbiamo
$A=((1,1,-1),(1,1,-1),(2,3,-2))$
Siccome la prima e la seconda riga sono uguali correttamente non ha rango 3 (perché questa affermazione?). Invece se prendo il minore
$((1,1),(2,3))$
ha chiaramente determinante non nullo e quindi il rango di A è 2 (Nota: non tutti i minori sono di rango 2, ma a noi basta trovarne uno che lo sia). Adesso vediamo AB
$AB=((1,1,-1,0),(1,1,-1,2),(2,3,-2,2))$
Se considero il minore costituito dalle colonne 1,2 e 4 (perché prendo questo minore?) si ha:
$((1,1,0),(1,1,2),(2,3,2))$
il determinante vale -2, per cui il rango di AB è 3. Si conclude pertanto che il sistema non ha soluzioni.
E' plausibile questo risultato? Si perchè se scrivo le prime due equazioni del sistema per $alpha=1$ ottengo
$x+y-z=0$
$x+y-z=2$
Palesamente impossibile!
Adesso prova a esplorare da solo il caso $alpha=2$
Comunque in molti casi si capisce abbastanza facilmente come stanno le cose.
Vediamo giusto questo esercizio. Si ha che
$det(A) = -alpha^2+3*alpha-2=0$
da cui si ottengono i valori $alpha_1 =1$ e $alpha_2 =2$. Quindi per $alpha$ diverso da 1 e 2 avremo solo 1 soluzione.
Vediamo il caso $alpha =1$. In questo caso abbiamo
$A=((1,1,-1),(1,1,-1),(2,3,-2))$
Siccome la prima e la seconda riga sono uguali correttamente non ha rango 3 (perché questa affermazione?). Invece se prendo il minore
$((1,1),(2,3))$
ha chiaramente determinante non nullo e quindi il rango di A è 2 (Nota: non tutti i minori sono di rango 2, ma a noi basta trovarne uno che lo sia). Adesso vediamo AB
$AB=((1,1,-1,0),(1,1,-1,2),(2,3,-2,2))$
Se considero il minore costituito dalle colonne 1,2 e 4 (perché prendo questo minore?) si ha:
$((1,1,0),(1,1,2),(2,3,2))$
il determinante vale -2, per cui il rango di AB è 3. Si conclude pertanto che il sistema non ha soluzioni.
E' plausibile questo risultato? Si perchè se scrivo le prime due equazioni del sistema per $alpha=1$ ottengo
$x+y-z=0$
$x+y-z=2$
Palesamente impossibile!
Adesso prova a esplorare da solo il caso $alpha=2$
GRAZIE!
Vediamo se ho capito il procedimento logico.
1. Per valutare se un sistema ammette soluzioni posso usare il teorema di Rouchè Capelli, che mi dice che quando una matrice completa e la sua corrispondente matrice incompleta hanno rango uguale, sappiamo che ammettono soluzioni.
Il numero di soluzioni dipende dal rango in rapporto al numero di righe della matrice: se inferiore al numero di righe, allora avrò infinite soluzioni; se uguale al numero di righe, avrò una soluzione.
2. A questo punto si procede a capire qual è il rango della matrice incompleta, con il metodo del determinante: se il determinante è non nullo, il rango è uguale al numero di righe. Di conseguenza anche la matrice completa avrà rango uguale al numero di righe (di più non può!).
3. Essendo quello in questione un sistema parametrico, il determinante risulta essere in funzione di un parametro. Imponiamo il determinante = 0 per stabilire i casi in cui il sistema NON ha una soluzione unica. Per contro, per tutti i valori di α in R-{1,2} il sistema avrà una sola soluzione.
4. Poi si analizzano i casi in cui il sistema può avere nessuna o infinite soluzioni, sostituendo nelle due matrici, A e A|B, i valori parametrici "vietati".
5. In ciascuno dei due casi si calcola il rango delle matrici, e dal confronto tra i ranghi si discende alle varie possibilità.
5a. Nel caso di α=1 hai determinato il rango di A osservando che due righe sono uguali (e perciò con l'eliminazione di Gauss una delle due diventerebbe nulla. È questo il motivo per cui l'hai fatto notare, giusto?). Il rango di A|B invece l'hai capito usando la regola del determinante non nullo. Hai per caso usato il minore in questione perché con lo 0 nella terza colonna facilitava il calcolo? Io ho riprovato a svolgere i calcoli usando Sarrus: può andare?
Il risultato, in ogni modo, è che i due ranghi sono differenti -> nessuna soluzione in caso α=1
5b. Nel caso di α=2 con Gauss ho calcolato il rango di A, che risulta 2.
Ancora con il metodo di eliminazione di Gauss ho calcolato il rango di A|B, e anch'esso è 2. In questo caso il sistema dovrebbe avere infinite soluzioni.
Boh, spero di aver capito giusto e in ogni caso ti ringrazio di nuovo moltissimo.
PS: per te e per tutti. Ora più o meno ho capito il metodo degli orlati e conosco il metodo di Gauss per il calcolo del rango. Come fate a decidere qual è il più adatto ad ogni situazione? Mi rendo conto che con Gauss ho più familiarità, ma magari con qualche trucchetto Kronecker è meglio?
Grazie di nuovo.
Vediamo se ho capito il procedimento logico.
1. Per valutare se un sistema ammette soluzioni posso usare il teorema di Rouchè Capelli, che mi dice che quando una matrice completa e la sua corrispondente matrice incompleta hanno rango uguale, sappiamo che ammettono soluzioni.
Il numero di soluzioni dipende dal rango in rapporto al numero di righe della matrice: se inferiore al numero di righe, allora avrò infinite soluzioni; se uguale al numero di righe, avrò una soluzione.
2. A questo punto si procede a capire qual è il rango della matrice incompleta, con il metodo del determinante: se il determinante è non nullo, il rango è uguale al numero di righe. Di conseguenza anche la matrice completa avrà rango uguale al numero di righe (di più non può!).
3. Essendo quello in questione un sistema parametrico, il determinante risulta essere in funzione di un parametro. Imponiamo il determinante = 0 per stabilire i casi in cui il sistema NON ha una soluzione unica. Per contro, per tutti i valori di α in R-{1,2} il sistema avrà una sola soluzione.
4. Poi si analizzano i casi in cui il sistema può avere nessuna o infinite soluzioni, sostituendo nelle due matrici, A e A|B, i valori parametrici "vietati".
5. In ciascuno dei due casi si calcola il rango delle matrici, e dal confronto tra i ranghi si discende alle varie possibilità.
5a. Nel caso di α=1 hai determinato il rango di A osservando che due righe sono uguali (e perciò con l'eliminazione di Gauss una delle due diventerebbe nulla. È questo il motivo per cui l'hai fatto notare, giusto?). Il rango di A|B invece l'hai capito usando la regola del determinante non nullo. Hai per caso usato il minore in questione perché con lo 0 nella terza colonna facilitava il calcolo? Io ho riprovato a svolgere i calcoli usando Sarrus: può andare?
Il risultato, in ogni modo, è che i due ranghi sono differenti -> nessuna soluzione in caso α=1
5b. Nel caso di α=2 con Gauss ho calcolato il rango di A, che risulta 2.
Ancora con il metodo di eliminazione di Gauss ho calcolato il rango di A|B, e anch'esso è 2. In questo caso il sistema dovrebbe avere infinite soluzioni.
Boh, spero di aver capito giusto e in ogni caso ti ringrazio di nuovo moltissimo.
PS: per te e per tutti. Ora più o meno ho capito il metodo degli orlati e conosco il metodo di Gauss per il calcolo del rango. Come fate a decidere qual è il più adatto ad ogni situazione? Mi rendo conto che con Gauss ho più familiarità, ma magari con qualche trucchetto Kronecker è meglio?
Grazie di nuovo.
1. Corretto
2. Corretto
3. Corretto (non ha soluzione unica oppure non ha soluzione)
4. Corretto
5. Corretto
5a Corretto, ma anche senza usare Gauss (comunque ne discende quasi subito), una proprietà dei determinanti è che se A ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora det(A)=0
Puoi sicuramente usare Sarrus. Per quanto riguarda la matrice scelta ho usato il metodo degli orlati partendo dalla matrice 2x2 che ho preso per dimostrare che A ha rango 2. Facendone gli orlati ci sono solo la matrice che ho selezionato oppure A. Ma ovviamente A la posso scartare.
5b Corretto. Infatti se scrivi il sistema per $alpha=2$ risultano le seguenti equazioni:
${\(2x + y - z = 0),(x + 2y - z = 2),(3x +3y- 2z = 2):}$
da cui appare chiaro che la terza è la somma delle prime due e quindi può essere eliminata. A questo punto si può trovare x e y in funzione di z e quindi ci sono infinite soluzioni per tutti i possibili valori di z.
Quanto al metodo da usare: usa quello su cui ti senti più confidente, e cerca sempre conferme ai risultati che ottieni guardando il sistema originale.
2. Corretto
3. Corretto (non ha soluzione unica oppure non ha soluzione)
4. Corretto
5. Corretto
5a Corretto, ma anche senza usare Gauss (comunque ne discende quasi subito), una proprietà dei determinanti è che se A ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora det(A)=0
Puoi sicuramente usare Sarrus. Per quanto riguarda la matrice scelta ho usato il metodo degli orlati partendo dalla matrice 2x2 che ho preso per dimostrare che A ha rango 2. Facendone gli orlati ci sono solo la matrice che ho selezionato oppure A. Ma ovviamente A la posso scartare.
5b Corretto. Infatti se scrivi il sistema per $alpha=2$ risultano le seguenti equazioni:
${\(2x + y - z = 0),(x + 2y - z = 2),(3x +3y- 2z = 2):}$
da cui appare chiaro che la terza è la somma delle prime due e quindi può essere eliminata. A questo punto si può trovare x e y in funzione di z e quindi ci sono infinite soluzioni per tutti i possibili valori di z.
Quanto al metodo da usare: usa quello su cui ti senti più confidente, e cerca sempre conferme ai risultati che ottieni guardando il sistema originale.
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