[Esercizio] rette nello spazio che formano angoli fra loro
Salve a tutti, sono uno studente di Informatica e sto svolgendo vari compiti di Algebra Lineare e Geometria in preparazione per un esame. Mi sono imbattuto in questo esercizio che non sto riuscendo a svolgere:
Nello spazio si considerino i punti A=(1,1,1), B=(0,1,-1), C=(2,0,2). Determinare un sistema di equazioni cartesiane di una retta passante per A, giacente sul piano ABC e che formi con la retta AB un angolo di 30 gradi.
Sono riuscito a trovare il piano ABC, cioè $ 2x+y-z-2=0 $ e la retta AB, cioè $\{(y=1),(2x-z-1=0):}$.
Adesso come trovo la retta "r", giacente su ABC e che forma l'angolo di 30° con AB? Sono disperato!!
Nello spazio si considerino i punti A=(1,1,1), B=(0,1,-1), C=(2,0,2). Determinare un sistema di equazioni cartesiane di una retta passante per A, giacente sul piano ABC e che formi con la retta AB un angolo di 30 gradi.
Sono riuscito a trovare il piano ABC, cioè $ 2x+y-z-2=0 $ e la retta AB, cioè $\{(y=1),(2x-z-1=0):}$.
Adesso come trovo la retta "r", giacente su ABC e che forma l'angolo di 30° con AB? Sono disperato!!
Risposte
Il vettore perpendicolare al piano e' $\bb n = (2, 1, -1)$. Ho preso i coefficienti delle coordinate nell'equazione del piano.
$(\bb n)/(||\bb n||)$ e' il versore (ha lunghezza unitaria).
$\bb v = \bb {AB} \times (\bb n)/(||\bb n||)$e' un vettore di lunghezza $||\bb{AB}||$ perpendicolare ad $\bb {AB}$ stesso e perpendicolare ad $\bb n$, quindi giace sul piano.
Se prendo il vettore $\bb p = \sqrt 3 \ \bb v +\bb {AB}$ ottengo un vettore che forma un angolo di $60$ gradi con $\bb {AB}$.
Quindi $\bb {AB$ forma un angolo di $30$ gradi con il piano individuato da $\bb p$.
Il passo finale e' prendere l'equazione del piano individuato da $\bb p$ (che passa per $A$), ovvero $\bb p \cdot ((x, y, z) - A)= 0$ e metterlo a sistema con l'equazione del piano $ABC$.
Il sistema di equazioni della retta cercata e' questo.
$(\bb n)/(||\bb n||)$ e' il versore (ha lunghezza unitaria).
$\bb v = \bb {AB} \times (\bb n)/(||\bb n||)$e' un vettore di lunghezza $||\bb{AB}||$ perpendicolare ad $\bb {AB}$ stesso e perpendicolare ad $\bb n$, quindi giace sul piano.
Se prendo il vettore $\bb p = \sqrt 3 \ \bb v +\bb {AB}$ ottengo un vettore che forma un angolo di $60$ gradi con $\bb {AB}$.
Quindi $\bb {AB$ forma un angolo di $30$ gradi con il piano individuato da $\bb p$.
Il passo finale e' prendere l'equazione del piano individuato da $\bb p$ (che passa per $A$), ovvero $\bb p \cdot ((x, y, z) - A)= 0$ e metterlo a sistema con l'equazione del piano $ABC$.
Il sistema di equazioni della retta cercata e' questo.
"Quinzio":
Il vettore perpendicolare al piano e' $\bb n = (2, 1, -1)$. Ho preso i coefficienti delle coordinate nell'equazione del piano.
$(\bb n)/(||\bb n||)$ e' il versore (ha lunghezza unitaria).
$\bb v = \bb {AB} \times (\bb n)/(||\bb n||)$e' un vettore di lunghezza $||\bb{AB}||$ perpendicolare ad $\bb {AB}$ stesso e perpendicolare ad $\bb n$, quindi giace sul piano.
Se prendo il vettore $\bb p = \sqrt 3 \ \bb v +\bb {AB}$ ottengo un vettore che forma un angolo di $60$ gradi con $\bb {AB}$.
Quindi $\bb {AB$ forma un angolo di $30$ gradi con il piano individuato da $\bb p$.
Il passo finale e' prendere l'equazione del piano individuato da $\bb p$ (che passa per $A$), ovvero $\bb p \cdot ((x, y, z) - A)= 0$ e metterlo a sistema con l'equazione del piano $ABC$.
Il sistema di equazioni della retta cercata e' questo.
Come è stato ricavato il vettore $ p $ ?
"SamuBa00":
Come è stato ricavato il vettore $ p $ ?
Dai un occhiata qui:
https://www.geogebra.org/calculator/gtrtmjey
Il piano $ABC$ e' lo schermo che stai guardando. Il vettore $\bb n$ e' perpendicolare allo schermo, parte dall'origine e esce dietro allo schermo.
La linea tratteggiata perpendicolare a $\bb p$ e' una sezione del piano perpendicolare a $\bb p$ stesso. Questo piano quindi e' perpendicolare allo schermo.
La linea tratteggiata e' la soluzione del problema (una soluzione grafica).
Il vettore $\bb p$ e' stato impostato in modo che l'angolo tra il vettore stesso e $\bb {AB}$ risultasse di $60$ gradi.
La $\sqrt 3$ che ho usato e' perche' $tan 60 = \sqrt 3$.
In questo modo l'angolo tra il piano perpendicolare al $\bb p$ e $\bb {AB}$ risulta di $30 $ gradi. $30 = 90 - 60$.
Cosi' dovrebbe essere un po' piu' chiaro.
PS. Tieni conto che comunque le rette che risolvono il problema sono due. Una e' quella tratteggiata nel disegno. L'altra e' quella simmetrica rispetto ad $\bb {AB}$.
PPS. Fai attenzione che il disegno che ho fatto NON e' in scala (ad esempio nel disegno $\bb{AB}$ ha lunghezza $1$). Inoltre l'asse $x$ e $y$ del disegno NON sono quelli del problema originale.
Grazie mille! Credo di aver capito, penso però che mi convenga andare a ripassare la goneometria 
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