Dimostrazione rette in un piano di sottospazi 1-dimensionali
Ciao,
avrei bisogno di qualcuno che mi spieghi i passaggi di questa dimostrazione..o che mi sappia dire dove trovarla per poterla studiare.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n + 1 su un campo K e denotiamo con PG(V ) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di V, che chiameremo punti di P G(V ).
Provare che due rette distinte di un piano di PG(V ) si intersecano in esattamente un punto.
Vi ringrazio per l'aiuto.
avrei bisogno di qualcuno che mi spieghi i passaggi di questa dimostrazione..o che mi sappia dire dove trovarla per poterla studiare.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n + 1 su un campo K e denotiamo con PG(V ) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di V, che chiameremo punti di P G(V ).
Provare che due rette distinte di un piano di PG(V ) si intersecano in esattamente un punto.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Risposte
[xdom="j18eos"]CIa0,
potresti gentilmente scrivere il testo usando le formule in \(\LaTeX\).
Grazie della collaborazione.[/xdom]
Inoltre, per come scritto l'esercizio, manca un dettaglio: che dimensione ha \(PG(\mathbb{V})\) in funzione di \(n\)?
potresti gentilmente scrivere il testo usando le formule in \(\LaTeX\).
Grazie della collaborazione.[/xdom]
Inoltre, per come scritto l'esercizio, manca un dettaglio: che dimensione ha \(PG(\mathbb{V})\) in funzione di \(n\)?
Ciao, riformulo la domanda:
Sia \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale di dimensione finita \(\displaystyle n + 1 \) su un campo \(\mathbb{K}\) e denotiamo con \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di \(\mathbb{V}\), che chiameremo punti di \(\displaystyle P G(\mathbb{V}) \).
Provare che due rette distinte di un piano di \(\displaystyle P G(\mathbb{V}) \) si intersecano in esattamente un punto.
Riporto tutte le info che ho (l'esercizio compare nella teoria di alcuni appunti di geometria combinatoria):
Sia \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale di dimensione finita \(\displaystyle n + 1 \) su un campo \(\mathbb{K}\) e denotiamo con \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di \(\mathbb{V}\), che chiameremo punti di \(\displaystyle P G(\mathbb{V}) \).
Se \(\mathbb{W}\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{V}\) di dimensione\(\displaystyle h+1, 0 ≤ h ≤ n \), denotiamo con [W] il sottoinsieme di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) costituito dai sottospazi 1−dimensionali di \(\mathbb{V}\) contenuti in \(\mathbb{W}\), poniamo cioè [W] =\(\displaystyle PG(\mathbb{W} ) \); un insieme di questo tipo prende il nome di sottospazio proiettivo, o sottospazio lineare, o più semplicemente sottospazio, di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \), di dimensione \(\displaystyle h \). Il sottospazio proiettivo [W] si dice associato al sottospazio vettoriale W, o proiezione di W. Osserviamo
che il sottoinsieme vuoto di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \), in quanto proiezione del sottospazio nullo di \(\mathbb{V}\) è l’unico sottospazio proiettivo di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \)di dimensione −1. I sottospazi di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) di dimensione 0 sono ovviamente i punti di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \), quelli di dimensione \(\displaystyle 1, 2, n − 1 \) prendono rispettivamente il nome di rette, piani, iperpiani.
Sia \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale di dimensione finita \(\displaystyle n + 1 \) su un campo \(\mathbb{K}\) e denotiamo con \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di \(\mathbb{V}\), che chiameremo punti di \(\displaystyle P G(\mathbb{V}) \).
Provare che due rette distinte di un piano di \(\displaystyle P G(\mathbb{V}) \) si intersecano in esattamente un punto.
Riporto tutte le info che ho (l'esercizio compare nella teoria di alcuni appunti di geometria combinatoria):
Sia \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale di dimensione finita \(\displaystyle n + 1 \) su un campo \(\mathbb{K}\) e denotiamo con \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di \(\mathbb{V}\), che chiameremo punti di \(\displaystyle P G(\mathbb{V}) \).
Se \(\mathbb{W}\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{V}\) di dimensione\(\displaystyle h+1, 0 ≤ h ≤ n \), denotiamo con [W] il sottoinsieme di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) costituito dai sottospazi 1−dimensionali di \(\mathbb{V}\) contenuti in \(\mathbb{W}\), poniamo cioè [W] =\(\displaystyle PG(\mathbb{W} ) \); un insieme di questo tipo prende il nome di sottospazio proiettivo, o sottospazio lineare, o più semplicemente sottospazio, di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \), di dimensione \(\displaystyle h \). Il sottospazio proiettivo [W] si dice associato al sottospazio vettoriale W, o proiezione di W. Osserviamo
che il sottoinsieme vuoto di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \), in quanto proiezione del sottospazio nullo di \(\mathbb{V}\) è l’unico sottospazio proiettivo di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \)di dimensione −1. I sottospazi di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \) di dimensione 0 sono ovviamente i punti di \(\displaystyle PG(\mathbb{V} ) \), quelli di dimensione \(\displaystyle 1, 2, n − 1 \) prendono rispettivamente il nome di rette, piani, iperpiani.
Perfetto, quindi una retta nel piano \(PG(\mathbb{V})\) corrisponde a un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{V}\) avente dimensione...
"j18eos":
Perfetto, quindi una retta nel piano \(PG(\mathbb{V})\) corrisponde a un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{V}\) avente dimensione...
1!
No, le rette proiettive hanno (giustamente) dimensione \(1\), ma queste corrispondo a quali sottospazi vettoriali di \(\mathbb{V}\)?
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