Esplicitare una espressione e scrivere matrice associata
Salve a tutti signori/e, chiedo il vostro aiuto perché mi è stato presentato un problema di geometria che mi sta facendo impazzire e non riesco a venirne a capo perché, sicuramente, mi sfugge qualcosa.
Sia f: R³ -> R³ l'endomorfismo di R³ tale che (1,1,-1) è un autovettore di f relativo all'autovalora 2, (0,1,1) è un autovettore di f relativo all'autovalore 1 e f(0,1,0) = (1,2,-1)
Esplicitare l'espressione di f(x,y,z) e scrivere la matrice A associata a f rispetto alla base canonica di R³
io sono partito col mettere a sistema questo
f*v1 = λ1*v1
f*v2 = λ2*v2
f(0,1,0) = (2,1,-2)
Ma quando trovo i valori a b c della matrice associata non mi ritrovo con il valore degli autovalori che già possiedo. Potete darmi una mano per favore? Grazie a tutti
Sia f: R³ -> R³ l'endomorfismo di R³ tale che (1,1,-1) è un autovettore di f relativo all'autovalora 2, (0,1,1) è un autovettore di f relativo all'autovalore 1 e f(0,1,0) = (1,2,-1)
Esplicitare l'espressione di f(x,y,z) e scrivere la matrice A associata a f rispetto alla base canonica di R³
io sono partito col mettere a sistema questo
f*v1 = λ1*v1
f*v2 = λ2*v2
f(0,1,0) = (2,1,-2)
Ma quando trovo i valori a b c della matrice associata non mi ritrovo con il valore degli autovalori che già possiedo. Potete darmi una mano per favore? Grazie a tutti
Risposte
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Fin qui sono ci sono arrivato e mi sono ritrovato con questa matrice associata
A = $((0,1,-1),(-1,2,-1),(1,-1,2))$
Ma non mi è chiaro come esplicitare la funzione
Inoltre, provando a controllare [A-$\lamba$I] = 0 non mi ritrovo con gli zeri corrispondenti ai valori di $\lamba$ 1 e 2
A = $((0,1,-1),(-1,2,-1),(1,-1,2))$
Ma non mi è chiaro come esplicitare la funzione
Inoltre, provando a controllare [A-$\lamba$I] = 0 non mi ritrovo con gli zeri corrispondenti ai valori di $\lamba$ 1 e 2
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Spesso questi esercizi sono più semplici di quanto si pensi...e non è nemmeno necessario risolvere sistemi: basta andare ad occhio 
La matrice associata è in base canonica quindi vogliamo sapere dove manda la base canonica.
$f(e_2)=f[(0,1,0)]=(1,2,-1)$ c'è l'hanno già dato, ergo abbiamo già la seconda colonna della matrice.
Notiamo anche che $f(e_1)=f(1,0,0)=f[(1,1,-1)+(0,1,1)-2(0,1,0)]=f[(1,1,-1)]+f[(0,1,1)]-2f[(0,1,0)]$
per linearità.
Disponiamo quindi di tutte le informazioni per calcolare $f(e_1)=2*(1,1,-1)+1*(0,1,1)-2*(1,2,-1)=(0,-1,1)$
Questa è la prima colonna della matrice associata. In modo analogo troviamo la terza colonna.
$f(e_3)=f[(0,0,1)]=f[(0,1,1)-(0,1,0)]=f[(0,1,1)]-f[(0,1,0]=1*(0,1,1)-(1,2,-1)=(-1,-1,2)$
La matrice associata è in base canonica quindi vogliamo sapere dove manda la base canonica.
$f(e_2)=f[(0,1,0)]=(1,2,-1)$ c'è l'hanno già dato, ergo abbiamo già la seconda colonna della matrice.
Notiamo anche che $f(e_1)=f(1,0,0)=f[(1,1,-1)+(0,1,1)-2(0,1,0)]=f[(1,1,-1)]+f[(0,1,1)]-2f[(0,1,0)]$
per linearità.
Disponiamo quindi di tutte le informazioni per calcolare $f(e_1)=2*(1,1,-1)+1*(0,1,1)-2*(1,2,-1)=(0,-1,1)$
Questa è la prima colonna della matrice associata. In modo analogo troviamo la terza colonna.
$f(e_3)=f[(0,0,1)]=f[(0,1,1)-(0,1,0)]=f[(0,1,1)]-f[(0,1,0]=1*(0,1,1)-(1,2,-1)=(-1,-1,2)$
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Grazie, mi hai messo in imbarazzo 
...ma effettivamente è quello che ho fatto io in questi anni. Leggendo le varie risposte, ho imparato dal prossimo!
"sellacollesella":
Leggendovi sicuramente si migliorerà!
...ma effettivamente è quello che ho fatto io in questi anni. Leggendo le varie risposte, ho imparato dal prossimo!
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