Ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base
Qualcuno potrebbe aiutarmi? Ho registrato e trascritto le dimostrazioni del prof., ma proprio non riesco a capirle.
Mi perdo già nella prima parte del teorema, anche se so che cos'è una base e un sistema di generatori e riesco a fare qualche esercizio.
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$. Nell'ipotesi che $V$ risulti finito questo teorema si dimostra facilmente come segue.
Cominciamo a provare che, se $S$ è un sistema di generatori dello spazio vettoriale finito $V$, allora $EE$ un sottinsieme finito $S'subS$, che è ancora un sistema di generatori di $V$.
Infatti, per ipotesi - quale? - $EE$ un sistema finito $T$ ( $x_1$, $x_2$, . . ., $x_n$ ) : $L(T)=V$. Ma risulta anche $L(S) =V$. Allora, ogni elemento $x_iinT$ risulta combinazione lineare di un numero finito $r_i$ di elementi di $S$ - siano essi ($y_(i1)$, $y_(i2)$, . . ., $y_(ir_i)$ ) per $i$ $=$ $(1,2, . . ., n)$. Detto, quindi, $S'$ l'insieme finito che costituisce l'unione - perché occorre quest'insieme "inaspettato"? - degli elementi $y_(ir_i) $, risulta $S'subS$ - ed è chiaro per com'è stato costruito anche se non riesco a capire a che cosa serva! - e $TsubL(S')$ - il che mi risulta oscuro! -.
Da quest'ultima considerazione consegue che $V=L(T)subL(S')$. Quindi, l'insieme finito $S'$ genera $V$ - non proseguo perché a questo rigo mi sono già perso . . . -" .
Grazie $\infty$ a chi riesce, gentilmente, a rimettermi in careggiata.
Mi perdo già nella prima parte del teorema, anche se so che cos'è una base e un sistema di generatori e riesco a fare qualche esercizio.
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$. Nell'ipotesi che $V$ risulti finito questo teorema si dimostra facilmente come segue.
Cominciamo a provare che, se $S$ è un sistema di generatori dello spazio vettoriale finito $V$, allora $EE$ un sottinsieme finito $S'subS$, che è ancora un sistema di generatori di $V$.
Infatti, per ipotesi - quale? - $EE$ un sistema finito $T$ ( $x_1$, $x_2$, . . ., $x_n$ ) : $L(T)=V$. Ma risulta anche $L(S) =V$. Allora, ogni elemento $x_iinT$ risulta combinazione lineare di un numero finito $r_i$ di elementi di $S$ - siano essi ($y_(i1)$, $y_(i2)$, . . ., $y_(ir_i)$ ) per $i$ $=$ $(1,2, . . ., n)$. Detto, quindi, $S'$ l'insieme finito che costituisce l'unione - perché occorre quest'insieme "inaspettato"? - degli elementi $y_(ir_i) $, risulta $S'subS$ - ed è chiaro per com'è stato costruito anche se non riesco a capire a che cosa serva! - e $TsubL(S')$ - il che mi risulta oscuro! -.
Da quest'ultima considerazione consegue che $V=L(T)subL(S')$. Quindi, l'insieme finito $S'$ genera $V$ - non proseguo perché a questo rigo mi sono già perso . . . -" .
Grazie $\infty$ a chi riesce, gentilmente, a rimettermi in careggiata.
Risposte
"ROMA91":
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$.
Nell'ipotesi che $V$ risulti finito questo teorema si dimostra facilmente come segue.
L'ipotesi è che il sottospazio abbia dimensione finita.
Non ho idea del perché ai professori piaccia complicarsi la vita...
Tenendo presente che l'insieme dei vettori l.i. è un sottospazio dell'insieme dei generatori, questo teorema lo si può dimostrare applicando l'algoritmo degli scarti continui, grazie al lemma di eliminazione . In poche parole:
prendi un insieme di generatori ${v_1, ..., v_n}$, se sono indipendenti, allora l'insieme è una base; tanto meglio!
Se invece ${v_1, ..., v_n}$ è l.d., ciò implica che $v_n$ sia C.L. dei rimanenti e, per tanto, posso eliderlo in base al lemma di eliminazione.
Ora, se ${v_1, ..., v_(n-1)}$ sono l.i. abbiamo trovato la nostra base, altrimenti ripetiamo di nuovo il procedimento.
Nella peggiore delle ipotesi, dopo un certo numero finito di passaggi, potremo trovare che $V$ sia generato da un solo vettore $v_i$ e quindi $V=mathcal (L)(v_i)$ (ovviamente con l'aggiunta dell'ipotesi che $V$ sia diverso dall'insieme nullo[nota]L'insieme nullo non ha generatori (di conseguenza nemmeno basi).[/nota]; altrimenti il nostro vettore $v_i$ potrebbe essere nullo e quindi l.d.).
"Magma":
[quote="ROMA91"]
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$.
Nell'ipotesi che $V$ risulti finito questo teorema si dimostra facilmente come segue.
L'ipotesi è che il sottospazio abbia dimensione finita.
Non ho idea del perché ai professori piaccia complicarsi la vita...
Tenendo presente che l'insieme dei vettori l.i. è un sottospazio dell'insieme dei generatori, questo teorema lo si può dimostrare applicando l'algoritmo degli scarti continui, grazie al lemma di eliminazione . In poche parole:
prendi un insieme di generatori ${v_1, ..., v_n}$, se sono indipendenti, allora l'insieme è una base; tanto meglio!
Se invece ${v_1, ..., v_n}$ è l.d., ciò implica che $v_n$ sia C.L. dei rimanenti e, per tanto, posso eliderlo in base al lemma di eliminazione.
Ora, se ${v_1, ..., v_(n-1)}$ sono l.i. abbiamo trovato la nostra base, altrimenti ripetiamo di nuovo il procedimento.
Nella peggiore delle ipotesi, dopo un certo numero finito di passaggi, potremo trovare che $V$ sia generato da un solo vettore $v_i$ e quindi $V=mathcal (L)(v_i)$ (ovviamente con l'aggiunta dell'ipotesi che $V$ sia diverso dall'insieme nullo[nota]L'insieme nullo non ha generatori (di conseguenza nemmeno basi).[/nota]; altrimenti il nostro vettore $v_i$ potrebbe essere nullo e quindi l.d.).[/quote]
Sei stato davvero gentilissimo e chiaro e ti ringrazio $\infty$mente. Il mio problema, purtroppo, è che all'esame il prof. chiede la sua dimostrazione. Essendo vispo, si accorge benissimo di chi la studia a semi-memoria o in altre modalità "disdicevoli". Io avrei la buona volontà di capirla - senza doverla imparare a memoria -, ma non ci riesco e le frasi del
professore correttamente trascritte non riescono a dirmi nulla . . . Anch'io pensavo fosse più immediato il tutto, ma un
senso dev'esserci, potresti aiutarmi? Perché estrae l'ultima coordinata di tutti i vettori $inT$ espressi mediante $S$ e crea il sottinsieme $S'$? A che gli serve? Sono proprio i passaggi che non riesco a capire.
Grazie $\infty$ se puoi.
Mi dispiace, ma questa dimostrazione non la conosco; così tronca non riesco a capire molto, sa magari riesci a postarla per intero potrei provarci 
Comunque vagamente ho inteso che:
Sia l'insieme finito $T={x_1, ..., x_n} : T=mathcal (L)V$.
Però anche $S=mathcal (L)V$[nota]Credo che $S$ sia pensato come l'insieme di tutti i generatori di $V$.[/nota].
Quindi ogni $ x_i in T$ è C.L. di un numero finito $r_i$ dei vettori appartenenti ad $S={y_(i1), y_(i2) ..., y_(ir_i)}$.
$S'={ y_(ir_i)} $ e $S'subeS $(cioè $S'$ è quel sottospazio di $S$ composto esclusivamente dagli elementi necessari per generare i vettori $x_i$ [vengono cioè esclusi tutti i generatori che nella CL dei $x_i$ avranno gli scalari nulli, cioè i multipli di generatori già usati in precedenza])
Dimostrando, così, che da un insieme (infinito, a mio modo di vedere ma può essere che ho travisato tutto[nota]In quanto non sempre da un insieme di generatori se ne può ricavare un suo sottospazio, a meno di non considerare il sottospazio banale (esempio $WsubeW$).[/nota]) di generatori, si può trovare un sottoinsieme (più piccolo) di generatori.
Restringendo sempre più il numero dei generatori si arriverà ad un punto in cui si avrà un insieme in cui i vettori saranno anche l.i.; cioè avremo trovato la base cercata.
Comunque vagamente ho inteso che:
Sia l'insieme finito $T={x_1, ..., x_n} : T=mathcal (L)V$.
Però anche $S=mathcal (L)V$[nota]Credo che $S$ sia pensato come l'insieme di tutti i generatori di $V$.[/nota].
Quindi ogni $ x_i in T$ è C.L. di un numero finito $r_i$ dei vettori appartenenti ad $S={y_(i1), y_(i2) ..., y_(ir_i)}$.
$S'={ y_(ir_i)} $ e $S'subeS $(cioè $S'$ è quel sottospazio di $S$ composto esclusivamente dagli elementi necessari per generare i vettori $x_i$ [vengono cioè esclusi tutti i generatori che nella CL dei $x_i$ avranno gli scalari nulli, cioè i multipli di generatori già usati in precedenza])
Dimostrando, così, che da un insieme (infinito, a mio modo di vedere ma può essere che ho travisato tutto[nota]In quanto non sempre da un insieme di generatori se ne può ricavare un suo sottospazio, a meno di non considerare il sottospazio banale (esempio $WsubeW$).[/nota]) di generatori, si può trovare un sottoinsieme (più piccolo) di generatori.
Restringendo sempre più il numero dei generatori si arriverà ad un punto in cui si avrà un insieme in cui i vettori saranno anche l.i.; cioè avremo trovato la base cercata.
Provo a postare tutta la dimostrazione, esattamente come la dimostra il prof. e come la richiede da noi.
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$. Nell'ipotesi che $V$ risulti finito questo teorema si dimostra facilmente come segue.
Cominciamo a provare che, se $S$ è un sistema di generatori dello spazio vettoriale finito $V$, allora $EE$ un sottinsieme finito $S'subS$, che è ancora un sistema di generatori di $V$.
Infatti, per ipotesi - quale? - $EE$ un sistema finito $T$ ( $x_1$, $x_2$, . . ., $x_n$ ) : $L(T)=V$. Ma risulta anche $L(S) =V$. Allora, ogni elemento $x_iinT$ risulta combinazione lineare di un numero finito $r_i$ di elementi di $S$ - siano essi ($y_(i1)$, $y_(i2)$, . . ., $y_(ir_i)$ ) per $i$ $=$ $(1,2, . . ., n)$. Detto, quindi, $S'$ l'insieme finito che costituisce l'unione - perché occorre quest'insieme "inaspettato"? - degli elementi $y_(ir)$, risulta $S'subS$ - ed è chiaro per com'è stato costruito anche se non riesco a capire a che cosa serva! - e $TsubL(S')$ - il che mi risulta oscuro! -.
Da quest'ultima considerazione consegue che $V=L(T)subL(S')$. Quindi, l'insieme finito $S'$ genera $V$.
Denotati, quindi, più semplicemente, mediante $y_1$, $y_2$, . . ., $y_m$ gli elementi di $S'$ si dimostra agevolmente che $S'$ include una base di $V$.
Infatti, se $S'$ risulta essere parte libera di $V$, $S'$ è già la base di $V$ cercata e la tesi risulta provata.
Se così non fosse, esisteranno, comunque, $m$ scalari $lambda_1$, $lambda_2$, . . . , $lambda_m$ - non tutti nulli - $:$ $lambda_1y_1$ $+$ $lambda_2y_2$ $+$ . . . $+$ $lambda_my_m$ $=$ $0$. Se è $lambda_i==$, se ne deduce che $y_i$ risulta combinazione lineare dei rimanenti elementi di $S'$: $y_iinL(S'-y_i)$. Posto, allora, $S_1=S'-y_i$, risulta $S'subL(S_1)$, da cui consegue $V=L(S')subL(S_1)$, da cui si deduce che $S_1$ - sottinsieme proprio di $S'$ - genera $V$. Se $S_1$ non risulta libero, si ripeta sostituendo ad $S'$ $S_1$. Si perverrà, così, ad una base finita per $V$ contenuta in $S$."
Questa è la trascrizione - parola per parola - della dimostrazione del prof.. Gli è stato anche fatto osservare che sembra che usi il "verso" del simbolo d'inclusione in relazione al significato dello "Span" in modo antiintuitivo, ma il prof. sostiene che il modo - la "direzione" - in cui lui utilizza il simbolo d'inclusione rappresenta la modalità migliore per riuscire a capire.
Già la parte della tesi in cui enuncia che, comunque dato un sistema finito di generatori, ne esiste un sottinsieme che costituisce ancora un sistema di generatori, se s'intende sottinsieme in senso proprio, non è vero e il non voler mai usare il simbolo d'inclusione, se non in modo - almeno, graficamente, "stretto" - anche quando significa "incluso o coincidente" e - a mio modestissimo avviso - ci starebbe bene anche un bell'eguale sottostante, è fonte - in molti principianti - di disorientamento.
Grazie $\infty$ se potrai aggiungere qualche chiarimento che mi consenta di capire.
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$. Nell'ipotesi che $V$ risulti finito questo teorema si dimostra facilmente come segue.
Cominciamo a provare che, se $S$ è un sistema di generatori dello spazio vettoriale finito $V$, allora $EE$ un sottinsieme finito $S'subS$, che è ancora un sistema di generatori di $V$.
Infatti, per ipotesi - quale? - $EE$ un sistema finito $T$ ( $x_1$, $x_2$, . . ., $x_n$ ) : $L(T)=V$. Ma risulta anche $L(S) =V$. Allora, ogni elemento $x_iinT$ risulta combinazione lineare di un numero finito $r_i$ di elementi di $S$ - siano essi ($y_(i1)$, $y_(i2)$, . . ., $y_(ir_i)$ ) per $i$ $=$ $(1,2, . . ., n)$. Detto, quindi, $S'$ l'insieme finito che costituisce l'unione - perché occorre quest'insieme "inaspettato"? - degli elementi $y_(ir)$, risulta $S'subS$ - ed è chiaro per com'è stato costruito anche se non riesco a capire a che cosa serva! - e $TsubL(S')$ - il che mi risulta oscuro! -.
Da quest'ultima considerazione consegue che $V=L(T)subL(S')$. Quindi, l'insieme finito $S'$ genera $V$.
Denotati, quindi, più semplicemente, mediante $y_1$, $y_2$, . . ., $y_m$ gli elementi di $S'$ si dimostra agevolmente che $S'$ include una base di $V$.
Infatti, se $S'$ risulta essere parte libera di $V$, $S'$ è già la base di $V$ cercata e la tesi risulta provata.
Se così non fosse, esisteranno, comunque, $m$ scalari $lambda_1$, $lambda_2$, . . . , $lambda_m$ - non tutti nulli - $:$ $lambda_1y_1$ $+$ $lambda_2y_2$ $+$ . . . $+$ $lambda_my_m$ $=$ $0$. Se è $lambda_i==$, se ne deduce che $y_i$ risulta combinazione lineare dei rimanenti elementi di $S'$: $y_iinL(S'-y_i)$. Posto, allora, $S_1=S'-y_i$, risulta $S'subL(S_1)$, da cui consegue $V=L(S')subL(S_1)$, da cui si deduce che $S_1$ - sottinsieme proprio di $S'$ - genera $V$. Se $S_1$ non risulta libero, si ripeta sostituendo ad $S'$ $S_1$. Si perverrà, così, ad una base finita per $V$ contenuta in $S$."
Questa è la trascrizione - parola per parola - della dimostrazione del prof.. Gli è stato anche fatto osservare che sembra che usi il "verso" del simbolo d'inclusione in relazione al significato dello "Span" in modo antiintuitivo, ma il prof. sostiene che il modo - la "direzione" - in cui lui utilizza il simbolo d'inclusione rappresenta la modalità migliore per riuscire a capire.
Già la parte della tesi in cui enuncia che, comunque dato un sistema finito di generatori, ne esiste un sottinsieme che costituisce ancora un sistema di generatori, se s'intende sottinsieme in senso proprio, non è vero e il non voler mai usare il simbolo d'inclusione, se non in modo - almeno, graficamente, "stretto" - anche quando significa "incluso o coincidente" e - a mio modestissimo avviso - ci starebbe bene anche un bell'eguale sottostante, è fonte - in molti principianti - di disorientamento.
Grazie $\infty$ se potrai aggiungere qualche chiarimento che mi consenta di capire.
"ROMA91":
Cominciamo a provare che, se $S$ è un sistema di generatori dello spazio vettoriale finito $V$, allora $EE$ un sottinsieme finito $S'subS$, che è ancora un sistema di generatori di $V$.
Intanto non è $S'subS$, ma è $S' \subseteq S$. Ti spiego il perchè:
Supponi che $V=\mathbb{R}^2$, prendi $S={e_1,e_2}$. Questo è un sistema di generatori per $V$. Poichè (casualmente) risulta essere una base, la vedo dura a trovare un $S'$ più piccolo che sia un sistema di generatori per $V$. Qualunque $S'$ che generi $V$, sottoinsieme di $S$, dovrà necessariamente contenere $S$.
Faccio notare una cosa importantissima: Qui si parla di "spazio vettoriale finito" che è diverso da "spazio vettoriale di dimensione finita". Cioè $V$, in questo contesto, risulta essere un insieme finito di vettori su cui è presente una struttura di spazio vettoriale.
OSS:Spazi vettoriali finiti sono di dimensione finita (naturalmente!). Spazi vettoriali di dimensione finita non sono necessariamente finiti! vedi $\mathbb{R}$.
Il tuo prof. ha detto espressamente "nell'ipotesi che $V$ risulti finito"!
"ROMA91":
per ipotesi - quale? - $ EE $ un sistema finito $ T $ ( $ x_1 $, $ x_2 $, . . ., $ x_n $ ) : $ L(T)=V $.
L'ipotesi che ti sfugge è che $V$ sia finito! Cerco di farti capire perchè facendo delle osservazioni:
OSS1) $V$ stesso è (sempre!) un sistema di generatori di $V$. $V$ è addirittura un sistema finito di generatori per $V$! (finito perchè $V$ è finito come insieme!).
OSS2) Per definizione, un insieme di un solo vettore non nullo, è un sistema di vettori linearmente indipendenti.
OSS3) Qualunque $T\subseteq V | L(T)=V$ (al limite $T$ potrebbe essere anche $V$ stesso!) deve contenere almeno un vettore non nullo (se $V\ne{0}$), cioè linearmente indipendente. Quindi, in $T$ è lecito che ci sia un certo numero finito di vettori linearmente indipendenti (data la finitezza di $T$ come sottoinsieme di $V$) che generano $V$.
OSS4) Se $V$ non fosse stato finito, e sfortunatamente $V=\mathbb{R}[x]$ (di dimensione non finita) non saresti riuscito mai a trovare un sistema finito $T$ di generatori di $V$, come ha fatto il tuo prof. nella dimostrazione. (Ci saresti riuscito solo se $V$ fosse stato di dimensione finita, anche se non finito!).
Continuiamo la dimostrazione:
Dall'ipotesi che $S$ è un sistema di generatori di $V$, si ha che $L(S)=V$.
Essendo che $T \subseteq V$, e visto che $S$ genera $V$, chiaramente $S$ genera anche tutti i vettori che ci sono in $T$.
Diciamo, ad esempio, che un certo elemento $x_i\in T$ è combinazione lineare di un certo sottoinsieme di vettori di $S$ (non necessariamente tutti i vettori di $S$, nè tanto meno in ordine, ecco perchè usiamo un sottoindice).
Diciamo che siano $r_i$ in numero i vettori di $S$ la cui combinazione lineare ci dà $x_i \in T$. Diamogli un nome: $(y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}})$. Questo naturalmente vale per tutte le $x_i \in T$ (al variare di $i \in {1,...,n}$).
Se $\forall i \in {1,...,n}$ chiamo per semplicità con $S_i := {y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}}} \subseteq S$. E' chiarissimo che $\bigcup_{i=1}^n S_i\subseteq S$ no?! Beh, allora chiamo $S':=\bigcup_{i=1}^n S_i$.
A questo punto è ovvio che non mi serve tutto $S$ per generare $T$, ma mi basta $S'$. E' costruito in modo che lì ci possa trovare tutti gli ingredienti per generare $T$. Questo si traduce con $T\subseteq L(S')$.
Quindi, $V=L(T) \subseteq L(S')$! ma $S'\subseteq S$... quindi la tesi è vera! (con il contenuto o uguale!). Dunque $S'$ genera $V$.
"ROMA91":
Denotati, quindi, più semplicemente, mediante $ y_1 $, $ y_2 $, . . ., $ y_m $ gli elementi di $ S' $ si dimostra agevolmente che $ S' $ include una base di $ V $.
Infatti, se $ S' $ risulta essere parte libera di $ V $, $ S' $ è già la base di $ V $ cercata e la tesi risulta provata.
Se così non fosse, esisteranno, comunque, $ m $ scalari $ lambda_1 $, $ lambda_2 $, . . . , $ lambda_m $ - non tutti nulli - $ : $ $ lambda_1y_1 $ $ + $ $ lambda_2y_2 $ $ + $ . . . $ + $ $ lambda_my_m $ $ = $ $ 0 $. Se è $ lambda_i== $, se ne deduce che $ y_i $ risulta combinazione lineare dei rimanenti elementi di $ S' $: $ y_iinL(S'-y_i) $. Posto, allora, $ S_1=S'-y_i $, risulta $ S'subL(S_1) $, da cui consegue $ V=L(S')subL(S_1) $, da cui si deduce che $ S_1 $ - sottinsieme proprio di $ S' $ - genera $ V $. Se $ S_1 $ non risulta libero, si ripeta sostituendo ad $ S' $ $ S_1 $. Si perverrà, così, ad una base finita per $ V $ contenuta in $ S $."
Questa ultima parte ti risulta chiara no?! Comunque, per la cronaca ti dice che: alla luce del fatto che si sa (a questo punto) che $V$ ammette una base finita, la base o è $S'$ trovata sopra, oppure da $S'$ si può ottenere una lista di vettori più piccola che genera $V$. Questo procedimento si può iterare solo un numero finito di volte, perchè ad un certo punto ti ritroveresti in mano una base, a cui non potresti togliere più nulla, altrimenti questa non genererebbe $V$. Ripeto, di questa cosa ne sei sicuro, perchè se $V\ne {0}$, contiene almeno un vettore non nullo. Una lista di un solo vettore non nullo è una lista di vettori linearmente indipendenti per def.!
Fammi sapere, perchè il testo è lungo e ci sta che mi sia potuto sfuggire qualcosa oppure in qualche frase non mi sia espresso tanto bene!
"Isaac888":
[quote="ROMA91"]Cominciamo a provare che, se $S$ è un sistema di generatori dello spazio vettoriale finito $V$, allora $EE$ un sottinsieme finito $S'subS$, che è ancora un sistema di generatori di $V$.
Intanto non è $S'subS$, ma è $S' \subseteq S$. Ti spiego il perchè:
Supponi che $V=\mathbb{R}^2$, prendi $S={e_1,e_2}$. Questo è un sistema di generatori per $V$. Poichè (casualmente) risulta essere una base, la vedo dura a trovare un $S'$ più piccolo che sia un sistema di generatori per $V$. Qualunque $S'$ che generi $V$, sottoinsieme di $S$, dovrà necessariamente contenere $S$.
Faccio notare una cosa importantissima: Qui si parla di "spazio vettoriale finito" che è diverso da "spazio vettoriale di dimensione finita". Cioè $V$, in questo contesto, risulta essere un insieme finito di vettori su cui è presente una struttura di spazio vettoriale.
OSS:Spazi vettoriali finiti sono di dimensione finita (naturalmente!). Spazi vettoriali di dimensione finita non sono necessariamente finiti! vedi $\mathbb{R}$.
"ROMA91":
per ipotesi - quale? - $ EE $ un sistema finito $ T $ ( $ x_1 $, $ x_2 $, . . ., $ x_n $ ) : $ L(T)=V $.
L'ipotesi che ti sfugge è che $V$ sia finito! Cerco di farti capire perchè facendo delle osservazioni:
OSS1) $V$ stesso è (sempre!) un sistema di generatori di $V$. $V$ è addirittura un sistema finito di generatori per $V$! (finito perchè $V$ è finito come insieme!).
OSS2) Per definizione, un insieme di un solo vettore non nullo, è un sistema di vettori linearmente indipendenti.
OSS3) Qualunque $T\subseteq V | L(T)=V$ (al limite $T$ potrebbe essere anche $V$ stesso!) deve contenere almeno un vettore non nullo (se $V\ne{0}$), cioè linearmente indipendente. Quindi, in $T$ è lecito che ci sia un certo numero finito di vettori linearmente indipendenti (data la finitezza di $T$ come sottoinsieme di $V$) che generano $V$.
Continuiamo la dimostrazione:
Dall'ipotesi che $S$ è un sistema di generatori di $V$, si ha che $L(S)=V$.
Essendo che $T \subseteq V$, e visto che $S$ genera $V$, chiaramente $S$ genera anche tutti i vettori che ci sono in $T$.
Diciamo, ad esempio, che un certo elemento $x_i\in T$ è combinazione lineare di un certo sottoinsieme di vettori di $S$ (non necessariamente tutti i vettori di $S$, nè tanto meno in ordine, ecco perchè usiamo un sottoindice).
Diciamo che siano $r_i$ in numero i vettori di $S$ la cui combinazione lineare ci dà $x_i \in T$. Diamogli un nome: $(y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}})$. Questo naturalmente vale per tutte le $x_i \in T$ (al variare di $i \in {1,...,n}$).
Se $\forall i \in {1,...,n}$ chiamo per semplicità con $S_i := {y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}}} \subseteq S$. E' chiarissimo che $\bigcup_{i=1}^n S_i\subseteq S$ no?! Beh, allora chiamo $S':=\bigcup_{i=1}^n S_i$.
A questo punto è ovvio che non mi serve tutto $S$ per generare $T$, ma mi basta $S'$. E' costruito in modo che lì ci possa trovare tutti gli ingredienti per generare $T$. Questo si traduce con $T\subseteq L(S')$.
Quindi, $V=L(T) \subseteq L(S')$! ma $S'\subseteq S$... quindi la tesi è vera! (con il contenuto o uguale!). Dunque $S'$ genera $V$.
"ROMA91":
Denotati, quindi, più semplicemente, mediante $ y_1 $, $ y_2 $, . . ., $ y_m $ gli elementi di $ S' $ si dimostra agevolmente che $ S' $ include una base di $ V $.
Infatti, se $ S' $ risulta essere parte libera di $ V $, $ S' $ è già la base di $ V $ cercata e la tesi risulta provata.
Se così non fosse, esisteranno, comunque, $ m $ scalari $ lambda_1 $, $ lambda_2 $, . . . , $ lambda_m $ - non tutti nulli - $ : $ $ lambda_1y_1 $ $ + $ $ lambda_2y_2 $ $ + $ . . . $ + $ $ lambda_my_m $ $ = $ $ 0 $. Se è $ lambda_i== $, se ne deduce che $ y_i $ risulta combinazione lineare dei rimanenti elementi di $ S' $: $ y_iinL(S'-y_i) $. Posto, allora, $ S_1=S'-y_i $, risulta $ S'subL(S_1) $, da cui consegue $ V=L(S')subL(S_1) $, da cui si deduce che $ S_1 $ - sottinsieme proprio di $ S' $ - genera $ V $. Se $ S_1 $ non risulta libero, si ripeta sostituendo ad $ S' $ $ S_1 $. Si perverrà, così, ad una base finita per $ V $ contenuta in $ S $."
Questa ultima parte ti risulta chiara no?! Comunque, per la cronaca ti dice che: alla luce del fatto che si sa (a questo punto) che $V$ ammette una base finita, la base o è $S'$ trovata sopra, oppure da $S'$ si può ottenere una lista di vettori più piccola che genera $V$. Questo procedimento si può iterare solo un numero finito di volte, perchè ad un certo punto ti ritroveresti in mano una base, a cui non potresti togliere più nulla, altrimenti questa non genererebbe $V$. Ripeto, di questa cosa ne sei sicuro, perchè se $V\ne {0}$, contiene almeno un vettore non nullo. Una lista di un solo vettore non nullo è una lista di vettori linearmente indipendenti per def.!
Fammi sapere, perchè il testo è lungo e ci sta che mi sia potuto sfuggire qualcosa oppure in qualche frase non mi sia espresso tanto bene![/quote]
Grazie $\infty$ e chapeaux - il singolare chapeau non basta! -. Sei stato bravissimo e ti sei espresso benissimo!
Se puoi, soltanto due piccole precisazioni:
1) perché il prof. si ostina pervicacemente - non sono io ad aver copiato male - a non voler usare il simbolo $sube$, ma usa sempre $sub$ anche quando si tratta chiaramente di sottinsieme proprio di un insieme dato? C'è una ragione didattica - come asserisce - o teorica o si tratta di una caratteristica di personalità? Fa così sempre;
2) non so se ho colto bene l'esigenza del pedice $r_i$ nell'i-esimo vettore $(y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}})$. Capisco che l'espressione del generico vettore $x_i \in T$ in termini di elementi appartenenti ad $S$ originerà C.L. di lunghezza diversa ($r_i$) - a causa dei possibili coefficienti nulli - a seconda del generico vettore che così va espresso. Capisco bene?
Ancora grazie davvero
P.S.: il prof. ha detto che si tratta di una dimostrazione meramente didattica - è per questo che la chiede - e che andrà rifatta premettendo il lemma di Zorn perché possa avere validità, ad es., nei "normali" spazi geometrici in cui si opera - $R^2$, $R^3$ et c. -.
"ROMA91":
Grazie $\infty$ e chapeaux - il singolare chapeau non basta! -. Sei stato bravissimo e ti sei espresso benissimo!
Ti ringrazio del complimento
."ROMA91":
1) perché il prof. si ostina pervicacemente - non sono io ad aver copiato male - a non voler usare il simbolo $sube$, ma usa sempre $sub$ anche quando si tratta chiaramente di sottinsieme proprio di un insieme dato? C'è una ragione didattica - come asserisce - o teorica o si tratta di una caratteristica di personalità? Fa così sempre;
Non ci trovo alcuna alcun senso in quello che fa il tuo prof. Tuttavia non è la prima volta che mi capita di trovare questa "singolare" notazione. Purchè sia chiaro quello che si intende, secondo me, si può parlare di una "caratteristica di personalità". Se vuole che tu gliela scriva così, fallo! Ma sappi che hai ragione tu nel voler precisare che il contenimento può essere uguale. Forse lui intende sia il contenimento stretto che quello debole con quella notazione. Ti ripeto, non è la prima volta che vedo scriverlo così da qualcuno! L'ho trovato anche in alcuni libri! Comunque tu non sbagli! E' sempre meglio distinguere i due tipi di contenimenti a mio avviso!
"ROMA91":
2) non so se ho colto bene l'esigenza del pedice $r_i$ nell'i-esimo vettore $(y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}})$. Capisco che l'espressione del generico vettore $x_i \in T$ in termini di elementi appartenenti ad $S$ originerà C.L. di lunghezza diversa ($r_i$) - a causa dei possibili coefficienti nulli - a seconda del generico vettore che così va espresso. Capisco bene?
Hai capito perfettamente.
"ROMA91":
P.S.: il prof. ha detto che si tratta di una dimostrazione meramente didattica - è per questo che la chiede - e che andrà rifatta premettendo il lemma di Zorn perché possa avere validità, ad es., nei "normali" spazi geometrici in cui si opera - $R^2$, $R^3$ et c. -.
Il lemma di Zorn serve appunto per generalizzare la dimostrazione ai casi $V$ infinito di dimensione finita e $V$ infinito di dimensione infinita (numerabile). Quelli infiniti di dimensione finita sono i $\mathbb{K}^n$ (a meno di isomorfismo) generalmente. Quelli di dimensione infinita sono ad esempio gli spazi di polinomi come ad esempio: $\mathbb{K}[x]$.
In tutti i casi intendevo $\mathbb{K}$ campo di caratteristica $0$. Esempio: $\mathbb{K}=\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q}$.
"Isaac888":
[quote="ROMA91"]Grazie $\infty$ e chapeaux - il singolare chapeau non basta! -. Sei stato bravissimo e ti sei espresso benissimo!
Ti ringrazio del complimento
."ROMA91":
1) perché il prof. si ostina pervicacemente - non sono io ad aver copiato male - a non voler usare il simbolo $sube$, ma usa sempre $sub$ anche quando si tratta chiaramente di sottinsieme proprio di un insieme dato? C'è una ragione didattica - come asserisce - o teorica o si tratta di una caratteristica di personalità? Fa così sempre;
Non ci trovo alcuna alcun senso in quello che fa il tuo prof. Tuttavia non è la prima volta che mi capita di trovare questa "singolare" notazione. Purchè sia chiaro quello che si intende, secondo me, si può parlare di una "caratteristica di personalità". Se vuole che tu gliela scriva così, fallo! Ma sappi che hai ragione tu nel voler precisare che il contenimento può essere uguale. Forse lui intende sia il contenimento stretto che quello debole con quella notazione. Ti ripeto, non è la prima volta che vedo scriverlo così da qualcuno! L'ho trovato anche in alcuni libri! Comunque tu non sbagli! E' sempre meglio distinguere i due tipi di contenimenti a mio avviso!
"ROMA91":
2) non so se ho colto bene l'esigenza del pedice $r_i$ nell'i-esimo vettore $(y_{i_1}, ..., y_{i_{r_i}})$. Capisco che l'espressione del generico vettore $x_i \in T$ in termini di elementi appartenenti ad $S$ originerà C.L. di lunghezza diversa ($r_i$) - a causa dei possibili coefficienti nulli - a seconda del generico vettore che così va espresso. Capisco bene?
Hai capito perfettamente.
"ROMA91":
P.S.: il prof. ha detto che si tratta di una dimostrazione meramente didattica - è per questo che la chiede - e che andrà rifatta premettendo il lemma di Zorn perché possa avere validità, ad es., nei "normali" spazi geometrici in cui si opera - $R^2$, $R^3$ et c. -.
Il lemma di Zorn serve appunto per generalizzare la dimostrazione ai casi $V$ infinito di dimensione finita e $V$ infinito di dimensione infinita (numerabile). Quelli infiniti di dimensione finita sono i $\mathbb{K}^n$ (a meno di isomorfismo) generalmente. Quelli di dimensione infinita sono ad esempio gli spazi di polinomi come ad esempio: $\mathbb{K}[x]$.
In tutti i casi intendevo $\mathbb{K}$ campo di caratteristica $0$.[/quote]
Ancora grazie $\infty$ e complimenti per la chiarezza espositiva!
"ROMA91":
Ancora grazie $\infty$ e complimenti per la chiarezza espositiva!
E' stato un piacere
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