Esercizio Matrice con Esponente

[Dave951]

Sera, ragazzi mi si presenta il seguente esercizio:
Determinare una matrice $A∈R^{2,2} $ non nulla in ciascuno dei seguenti casi:
a)$A^2=O $ (matrice nulla);
b)$ A^2=A $;
c)$ A^2=I $ (matrice unita') ;

Io ho determinato le seguenti matrici:
a) vedo $A^2$ come $A*A$ tale che $ A*A=0$ quindi A=$((0,1),(0,0))$ * $((0,1),(0,0))$= $((0,0),(0,0))$

b) vedo $A^2$ come $A*A$ tale che $ A*A=A $ quindi A=$((1,0),(0,0))$ * $((1,0),(0,0))$= $((1,0),(0,0))$

c) vedo $A^2$ come $A*A$ tale che $ A*A=I$ quindi A=$((1,0),(0,1))$ * $((1,0),(0,1))$= $((1,0),(0,1))$

possono andare come matrici ?

grazie mille a tutti colore che mi risponderanno buona serata!

[isaac888]

Certo! Per il punto c) poteva andare anche $((0,1),(1,0))$, oltre all'identità (che andava bene anche per il punto c) )!
Prova a trovare una matrice $A$ 2x2 tale che:
$A^2 = - I$
è comunque interessante sapere quale può essere.

[Dave951]

Isaac888 ormai sei diventato il mio maestro di geometria ahah grazie mille! Uhm..allora $A^2=-I $ lo vedrei come $ A^2+I=0 $ che in campo reale non ha soluzione. Sei d'accordo?

grazie mille per la disponibilità!

[isaac888]

"Dave95": in campo reale non ha soluzione. Sei d'accordo?

E invece le soluzioni ce le ha! Esiste una matrice $A\in \mathcal{M}(2,\mathbb{R})$ tale che $A^2=-I$.

"Dave95":allora $A^2=−I$ lo vedrei come $A^2+I=0$

"Quasi" ...

C'è un'interessante analogia fra $\mathbb{C}$ ed il sottospazio di $\mathcal{M}(2,\mathbb{R})$ generato dalle matrici $I,J$ (dove $I$ è l'identità e $J$ e la matrice che ti avevo detto di trovare. $J$ è tale che $J^2=-I$)

C'è un isomorfismo lineare (quando saprai cosa significa questa parola) tra $\mathbb{C}$ (come spazio vettoriale di dimensione $2$ su $\mathbb{R}$) e $Span(I,J)$ definito così: $1\mapsto I$ e $i\mapsto J$.

Quando studierai gli isomorfismi capirai...

Questa cosa te l'ho detta solo per invogliarti (un'anticipazione diciamo)... però procedi per gradi! Non strafare.

PS: per quanto riguarda la disponibilità, per me è un piacere

[Dave951]

Il quasi mi ha illuminato! mi hai reso orgoglioso !
Allora non vedo l'ora di iniziare gli isomorfismi!
Sarai la mia fonte vitale Isaac888 per poter affrontare le avversità di questa materia ahah