Dubbio esercizio Assegnato Sottospazio Vettoriale
Ciao ragazzi, l'esercizio mi chiede:
Dire, giustificando la risposta, se i seguenti sottoinsiemi di \(\displaystyle R^{3,3} \) sono sottospazi vettoriali.
I sottoinsiemi sono: \(\displaystyle W_{2} =((c,d,0),(0,0,0),(a,b,0)) \) ed \(\displaystyle W_{1}=((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0)) \).
Prima di tutto per dimostrare se siano sottospazi vettoriali devo dimostrare che gli insiemi siano chiusi rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalari.
Quello che mi salta all'occhio è che \(\displaystyle W_1 \) , non contenendo il vettore nullo, non può essere un sottospazio vettoriale.
Passo ora a \(\displaystyle W_2 \) ma è proprio qui che nascono i miei dubbi su come dimostrarlo (sono, per me, le prime dimostrazioni non uccidetemi se non sono capace a farle).
Per fare ciò, potrei considerare degli elementi all'interno delle matrice tipo W_{2}_1 =((c_1,d_1,0),(0,0,0),(a_1,b_1,0)) \) e W_{2}_2 =((c_2,d_2,0),(0,0,0),(a_2,b_2,0)) \) e successivamente provare la somma e il prodotto per uno scalare?
grazie mille a coloro che risponderanno!
Dire, giustificando la risposta, se i seguenti sottoinsiemi di \(\displaystyle R^{3,3} \) sono sottospazi vettoriali.
I sottoinsiemi sono: \(\displaystyle W_{2} =((c,d,0),(0,0,0),(a,b,0)) \) ed \(\displaystyle W_{1}=((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0)) \).
Prima di tutto per dimostrare se siano sottospazi vettoriali devo dimostrare che gli insiemi siano chiusi rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalari.
Quello che mi salta all'occhio è che \(\displaystyle W_1 \) , non contenendo il vettore nullo, non può essere un sottospazio vettoriale.
Passo ora a \(\displaystyle W_2 \) ma è proprio qui che nascono i miei dubbi su come dimostrarlo (sono, per me, le prime dimostrazioni non uccidetemi se non sono capace a farle).
Per fare ciò, potrei considerare degli elementi all'interno delle matrice tipo W_{2}_1 =((c_1,d_1,0),(0,0,0),(a_1,b_1,0)) \) e W_{2}_2 =((c_2,d_2,0),(0,0,0),(a_2,b_2,0)) \) e successivamente provare la somma e il prodotto per uno scalare?
grazie mille a coloro che risponderanno!
Risposte
nessuno che possa aiutarmi? 
I tuoi sottospazi di $\mathbb{R}^{3,3}$ li scriverei più efficacemente così':
$W_1={((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0))|(a,b) \in \mathbb{R}^2}$, $W_2= {((c,d,0),(0,0,0),(a,b,0))|(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4}$
Giustamente, come hai detto anche tu stesso, $W_1$ non è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^{3,3}$ perchè per nessun $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ la generica matrice $((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0))$ di $W_1$ è la matrice nulla!
Giustissimo!
Le matrici che hai preso tu, però, non chiamarle $W_{{2}_1}$ e $W_{{2}_2}$! Chiamale $A$ e $B$ magari! Tanto basta solo che da qualche parte dici di averle prese da $W_2$!
$W_1={((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0))|(a,b) \in \mathbb{R}^2}$, $W_2= {((c,d,0),(0,0,0),(a,b,0))|(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4}$
Giustamente, come hai detto anche tu stesso, $W_1$ non è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^{3,3}$ perchè per nessun $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ la generica matrice $((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0))$ di $W_1$ è la matrice nulla!
"Dave95":
potrei considerare degli elementi all'interno delle matrice tipo $W_{{2}_1} =((c_1,d_1,0),(0,0,0),(a_1,b_1,0))$ e $W_{{2}_2} =((c_2,d_2,0),(0,0,0),(a_2,b_2,0))$ e successivamente provare la somma e il prodotto per uno scalare?
Giustissimo!
Le matrici che hai preso tu, però, non chiamarle $W_{{2}_1}$ e $W_{{2}_2}$! Chiamale $A$ e $B$ magari! Tanto basta solo che da qualche parte dici di averle prese da $W_2$!
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