Matrice associata alla riflessione.
Salve a tutti , sto studiando da tre giorni il seguente problema che non riesco a completare.
In pratica ho uno spazio vettoriale V di equazioni cartesiane x=y , z=t ed F è un applicazione di "riflessione" rispetto allo spazio V di cui ho dato le equazioni cartesiane.Dovendo trovare il nucleo e l'immagine di F dovrei prima trovare la matrice associata e da lì procedere per trovare il nucleo e immagine (che do fare benissimo) il problema è che non so come trovare la matrice anche perchè sono in uno spazio a 4componenti.Se fossi stato in 23 componenti sarei riuscito a farlo , perché la riflessione da quanto ho capito è trovare il punto simmetrico rispetto ad un piano.Ma in 4 dimensioni , non riesco a capire il vettore normale al piano che mi identifica una retta perpendicolare al piano.Qualche suggerimento generale (non pretendo i calcoli passaggio per passaggio) .Grazie per eventuali suggerimenti.
Giuseppe
In pratica ho uno spazio vettoriale V di equazioni cartesiane x=y , z=t ed F è un applicazione di "riflessione" rispetto allo spazio V di cui ho dato le equazioni cartesiane.Dovendo trovare il nucleo e l'immagine di F dovrei prima trovare la matrice associata e da lì procedere per trovare il nucleo e immagine (che do fare benissimo) il problema è che non so come trovare la matrice anche perchè sono in uno spazio a 4componenti.Se fossi stato in 23 componenti sarei riuscito a farlo , perché la riflessione da quanto ho capito è trovare il punto simmetrico rispetto ad un piano.Ma in 4 dimensioni , non riesco a capire il vettore normale al piano che mi identifica una retta perpendicolare al piano.Qualche suggerimento generale (non pretendo i calcoli passaggio per passaggio) .Grazie per eventuali suggerimenti.
Giuseppe
Risposte
Ciao Giuseppe.
Tu vuoi trovare il nucleo e l'immagine della simmetria $F$ rispetto al piano $V={x-y=z-t=0}$.
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OSS:Ti voglio far notare una cosa:
Metti che tu voglia trovare la riflessione di un punto $P$ rispetto ad una retta $r$ per l'origine in $\mathbb{R}^3$, dove $P$ è esterno alla retta.
Quello che tu fai è prendere $W:=L(P,r)$, cioè il più piccolo sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$ tale che contiene $P$ e la retta $r$, che è il piano $W$.
La retta $r$ giacerà sul piano $W$, insieme al punto $P$, per cui lì dentro il piano $W$, tu "saprai" cosa significa riflettere un punto rispetto ad una retta. Quel punto però sarà un punto di $\mathbb{R}^3$, dunque, alla fine della fiera, avrai mandato il punto $P$ di $\mathbb{R}^3$ nel suo riflesso rispetto alla retta $r$, cioè $P'$.
Ora, se tu pensassi nella stessa maniera in $\mathbb{R}^4$, potresti prendere come $W$ il 3-spazio che contiene il punto $P$ che vuoi riflettere ed il piano $V$, fare la riflessione dentro $W$ perchè là dentro la sai fare, e poi "sollevare" tutto di nuovo in $\mathbb{R}^4$.
Facciamolo operativamente:
Sia ${v_1,v_2}$ una base di $V$. Sia $w \in \mathbb{R}^4$ il generatore della retta che contiene un generico punto P esterno al piano. Questo $w$ lo possiamo scegliere ortogonale a $V$, nel supplementare di $V$,che ha dimensione 2.
Adesso sappiamo scrivere la matrice di $F_{|W}: W \rightarrow W$ nella base $\mathcal{B}={w,v_1,v_2}$ in partenza ed in arrivo.
$$[F_{|W}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
e poi si continua...
fine dell OSS.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Comunque era piuttosto evidente sin dall'inizio che nel tuo caso hai un piano di punti fissi, che è il piano $V$. Ogni punto esterno al piano, è immagine di un solo punto tramite la simmetria, quindi quest'ultima è biunivoca e dunque ha per immagine tutto lo spazio e per nucleo solo l'origine.
Spero di averti aiutato in qualche modo. Ciao
Tu vuoi trovare il nucleo e l'immagine della simmetria $F$ rispetto al piano $V={x-y=z-t=0}$.
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OSS:Ti voglio far notare una cosa:
Metti che tu voglia trovare la riflessione di un punto $P$ rispetto ad una retta $r$ per l'origine in $\mathbb{R}^3$, dove $P$ è esterno alla retta.
Quello che tu fai è prendere $W:=L(P,r)$, cioè il più piccolo sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$ tale che contiene $P$ e la retta $r$, che è il piano $W$.
La retta $r$ giacerà sul piano $W$, insieme al punto $P$, per cui lì dentro il piano $W$, tu "saprai" cosa significa riflettere un punto rispetto ad una retta. Quel punto però sarà un punto di $\mathbb{R}^3$, dunque, alla fine della fiera, avrai mandato il punto $P$ di $\mathbb{R}^3$ nel suo riflesso rispetto alla retta $r$, cioè $P'$.
Ora, se tu pensassi nella stessa maniera in $\mathbb{R}^4$, potresti prendere come $W$ il 3-spazio che contiene il punto $P$ che vuoi riflettere ed il piano $V$, fare la riflessione dentro $W$ perchè là dentro la sai fare, e poi "sollevare" tutto di nuovo in $\mathbb{R}^4$.
Facciamolo operativamente:
Sia ${v_1,v_2}$ una base di $V$. Sia $w \in \mathbb{R}^4$ il generatore della retta che contiene un generico punto P esterno al piano. Questo $w$ lo possiamo scegliere ortogonale a $V$, nel supplementare di $V$,che ha dimensione 2.
Adesso sappiamo scrivere la matrice di $F_{|W}: W \rightarrow W$ nella base $\mathcal{B}={w,v_1,v_2}$ in partenza ed in arrivo.
$$[F_{|W}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
e poi si continua...
fine dell OSS.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Comunque era piuttosto evidente sin dall'inizio che nel tuo caso hai un piano di punti fissi, che è il piano $V$. Ogni punto esterno al piano, è immagine di un solo punto tramite la simmetria, quindi quest'ultima è biunivoca e dunque ha per immagine tutto lo spazio e per nucleo solo l'origine.
Spero di averti aiutato in qualche modo. Ciao
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